Vektorräume und lineare Abbildungen: Online-Quiz für Elektrotechnik-Studierende

Question 1

Welche Aussage zur Definition eines Vektorraums ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum kann eine unendliche Menge sein.

Answer

Ein Vektorraum ist eine nichtleere Menge von Vektoren.

Answer

Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor im selben Vektorraum.

Answer

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ergibt einen Vektor im selben Vektorraum.

Question 2

Gegeben sind zwei Vektorräume V und W über dem Körper K. T und S sind lineare Abbildungen von V nach W mit gleichem Kern. Welche Aussage über die Bilder von T und S ist korrekt?

Accepted Answer

Die Bilder von T und S sind identisch.

Answer

Die Dimension von V entspricht der Dimension des Bildes von T.

Answer

T und S sind identische Abbildungen.

Question 3

Sind die Vektoren (1, 2, 3) und (4, 5, 6) im dreidimensionalen Vektorraum R³ linear unabhängig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur (1, 2, 3)

Answer

Nur (4, 5, 6)

Question 4

Welche der folgenden Aussagen ist **nicht** wahr für Vektorräume?

Accepted Answer

Sie haben immer eine Basis.

Answer

Sie sind über die Vektoraddition und skalare Multiplikation abgeschlossen.

Answer

Sie haben einen eindeutigen Nullvektor.

Answer

Sie können endlich oder unendlich dimensional sein.

Question 5

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert **nicht** eine lineare Abbildung von ℝ² nach ℝ³?

Accepted Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 2], [3, 4], [5, 6]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Question 6

Was ist der Kern einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf einen von Null verschiedenen Vektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Question 7

Welcher der folgenden Vektorräume ist **nicht** isomorph zum zweidimensionalen euklidischen Raum?

Accepted Answer

Die Menge aller reellen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]

Answer

Die Menge aller komplexen Zahlen

Answer

Die Menge aller Polynome zweiten Grades

Answer

Die Menge aller Matrizen der Größe 2x2

Question 8

Welche Eigenschaft gilt **nicht** für orthogonale Vektoren?

Accepted Answer

Sie sind parallel.

Answer

Ihr Skalarprodukt ist Null.

Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie stehen senkrecht aufeinander.

Question 9

Welche Bedeutung hat die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Sie gibt die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren an.

Answer

Sie gibt die Anzahl der Vektoren im Vektorraum an.

Answer

Sie gibt die Anzahl der Teilräume des Vektorraums an.

Answer

Sie gibt die Anzahl der Basen des Vektorraums an.

Question 10

In welchen Bereichen der Elektrotechnik finden Vektorräume und lineare Abbildungen Anwendung?

Accepted Answer

Alle genannten Bereiche

Answer

Schaltungsanalyse

Answer

Signalverarbeitung

Answer

Bildverarbeitung

Question 11

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt einen Vektor im dreidimensionalen Raum dar?

Accepted Answer

(2, 3, 0)

Answer

2 * x + 3

Answer

sin(x)

Answer

2x * y

Question 12

Welche Aussage über den Rang einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Er entspricht der Dimension des Kerns.

Answer

Er entspricht der Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren.

Answer

Er entspricht der Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren.

Answer

Er entspricht der Dimension des Bildraums.

Question 13

Welches der folgenden linearen Gleichungssysteme hat keine Lösung?

Accepted Answer

x + y = 0 und 2x + 2y = 3

Answer

x + y = 1

Answer

2x + 2y = 2

Answer

x - y = 0

Question 14

Welche der folgenden Anwendungen ist ein Beispiel für eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Modellieren elektrischer Schaltungen

Answer

Berechnen von Kräften in einem statischen System

Answer

Optimieren von Produktionsprozessen

Answer

Erkennen von Mustern in Daten

Question 15

Welcher Begriff beschreibt eine lineare Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist?

Accepted Answer

Bijektiv

Answer

Isomorph

Answer

Homomorph

Answer

Ähnlich

Question 16

Welche Aussage über den Eigenwert eines linearen Operators ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung des Operators.

Answer

Er ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Er beschreibt die Größe des Operators.

Answer

Er beschreibt die Richtung des Operators.

Question 17

Welche der folgenden Abbildungen ist nicht linear und warum?

Accepted Answer

f(x) = x^2

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = e^x

Question 18

Welche Operation auf Vektoren ist **nicht** linear?

Accepted Answer

Quotient zweier Vektoren

Answer

Skalarmultiplikation

Answer

Multiplikation mit einer festen Zahl

Answer

Addition

Question 19

Welche Eigenschaft trifft auf jeden Vektorraum zu?

Accepted Answer

Die Summe des Nullvektors mit jedem anderen Vektor ergibt diesen Vektor.

Answer

Die Summe zweier Vektoren ist stets kleiner als ihre Länge

Answer

Es gibt genau einen Einheitsvektor

Answer

Jeder Vektor ist ein Vielfaches eines Basisvektors

Question 20

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert **keine** lineare Abbildung?

Accepted Answer

[1 2; 2 4]

Answer

[1 2; 0 3]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[1 -1; 0 1]

Question 21

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist **falsch**?

Accepted Answer

Sie ist gleich der Anzahl aller Vektoren im Vektorraum

Answer

Sie ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Vektoren

Answer

Sie ist gleich der Anzahl aller Basen des Vektorraums

Question 22

Welche Operation ist in einem Vektorraum nicht definiert?

Accepted Answer

Division eines Vektors durch einen anderen Vektor

Answer

Subtraktion von Vektoren

Answer

Skalare Multiplikation eines Vektors

Answer

Addition von Vektoren

Question 23

Welche Aussage beschreibt eine lineare Abbildung korrekt?

Accepted Answer

Eine Abbildung, die lineare Kombinationen auf lineare Kombinationen abbildet und dabei die Skalierung und Addition bewahrt.

Answer

Eine Abbildung, die Skalarprodukte bewahrt.

Answer

Eine Abbildung, die Vektoren auf Vektoren abbildet.

Question 24

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf eine lineare Abbildung zu?

Accepted Answer

Erhaltung der Vektoraddition und Skalierung

Answer

Erhaltung des Skalarprodukts

Answer

Injektivität

Answer

Erhaltung der Norm

Question 25

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Kern einer linearen Abbildung korrekt?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller linear unabhängigen Vektoren.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Question 26

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Bildraum einer linearen Abbildung korrekt?

Accepted Answer

Die Menge aller Bilder von Vektoren unter der Abbildung.

Answer

Die Menge aller Urbilder von Vektoren unter der Abbildung.

Answer

Die Menge aller linear unabhängigen Bilder.

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Question 28

Welche Aussage über den Kern einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Der Kern ist der Untervektorraum aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Kern ist immer der Nullvektor.

Answer

Der Kern ist gleich dem Bild der Abbildung.

Question 29

Welche Matrix repräsentiert eine Drehung um den Winkel α im R²?

Accepted Answer

[[cos(α), -sin(α)], [sin(α), cos(α)]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [-1, 0]]

Question 30

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Isomorphismus?

Accepted Answer

f: R² → R², f(x, y) = (x, 2y)

Answer

f: R² → R, f(x, y) = x + y

Answer

f: R³ → R², f(x, y, z) = (x, y)

Question 31

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Skalare, die die Richtung eines Vektors bei einer linearen Transformation nicht verändern.

Answer

Eigenwerte sind immer ganzzahlig.

Answer

Eigenwerte sind immer negativ.

Question 32

Welche Eigenschaft gilt NICHT für einen Vektorraum?

Accepted Answer

Die Addition ist nicht assoziativ.

Answer

Zu jedem Vektor existiert ein inverses Element bezüglich der Addition.

Answer

Die skalare Multiplikation ist distributiv.

Answer

Es gibt ein neutrales Element bezüglich der Addition.

Question 33

Welche der folgenden Mengen ist KEIN Vektorraum über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge aller Polynome mit ungeradem Grad.

Answer

Die Menge aller 2x2-Matrizen.

Answer

Die Menge aller Vektoren der Form (x, 0, 0) mit x ∈ ℝ.

Answer

Die Menge aller reellen Zahlen.

Question 34

Welche Aussage über lineare Abbildungen ist FALSCH?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung erhält immer die Länge von Vektoren.

Answer

Eine lineare Abbildung bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab.

Answer

Eine lineare Abbildung bildet Linearkombinationen auf entsprechende Linearkombinationen ab.

Question 35

Sei T: ℝ³ → ℝ² eine lineare Abbildung mit T(1, 0, 0) = (2, 1) und T(0, 1, 0) = (1, -1). Was ist T(1, 1, 0)?

Accepted Answer

(3, 0)

Answer

(1, 1)

Answer

(2, 1)

Answer

(1, -2)

Question 36

Was ist der Kern der linearen Abbildung T: ℝ² → ℝ² mit T(x, y) = (x + y, x - y)?

Accepted Answer

{(0, 0)}

Answer

ℝ²

Answer

{(x, y) | x = -y}

Answer

{(x, y) | x = y}

Question 37

Was ist der Rang einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Dimension des Bildraums der Abbildung.

Answer

Die Anzahl der Spalten der Matrix, die die Abbildung darstellt.

Answer

Die Anzahl der Zeilen der Matrix, die die Abbildung darstellt.

Answer

Die Dimension des Definitionsbereichs der Abbildung.

Question 38

Welche Aussage über die Dimension eines Vektorraums ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in jeder beliebigen Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist eindeutig definiert.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren.

Answer

Ein Vektorraum mit Dimension n hat n linear unabhängige Vektoren, die den gesamten Raum aufspannen.

Question 39

Welche Aussage über die Basis eines Vektorraums ist RICHTIG?

Accepted Answer

Eine Basis eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Answer

Eine Basis eines Vektorraums kann nur aus linear abhängigen Vektoren bestehen.

Answer

Eine Basis eines Vektorraums ist immer eindeutig.

Answer

Eine Basis eines Vektorraums muss alle Vektoren des Vektorraums enthalten.

Question 40

Welcher der folgenden Vektoren ist linear unabhängig von den Vektoren (1, 0, 1) und (0, 1, 1)?

Accepted Answer

(1, 1, 0)

Answer

(1, 1, 2)

Answer

(2, 1, 1)

Answer

(0, 0, 1)

Question 41

Sei f: R² -> R² eine lineare Abbildung mit f(1,0) = (2,1) und f(0,1) = (-1,1). Was ist f(2,3)?

Accepted Answer

(1, 5)

Answer

(-1, 3)

Answer

(4, 2)

Answer

(3, 4)

Question 42

Welche der folgenden Mengen ist ein Untervektorraum von R³?

Accepted Answer

{(x, y, z) ∈ R³ | x + y - z = 0}

Answer

{(x, y, z) ∈ R³ | x = y = z}

Answer

{(x, y, z) ∈ R³ | x² + y² + z² = 1}

Answer

{(x, y, z) ∈ R³ | x > 0, y > 0, z > 0}

Question 43

Was ist die Dimension des Vektorraums der reellen Polynome vom Grad ≤ 2?

Accepted Answer

3

Answer

Unendlich

Answer

2

Question 44

Sei A eine 3x3 Matrix mit det(A) = 2. Was ist det(2A)?

Accepted Answer

16

Answer

2

Answer

8

Answer

4

Question 45

Sei f: R³ -> R² eine lineare Abbildung. Was ist die maximale Dimension des Kerns von f?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Answer

0

Question 46

Welche Aussage ist im Allgemeinen falsch?

Accepted Answer

Die Summe zweier linear abhängiger Vektoren ist immer linear abhängig.

Answer

Die skalare Multiplikation eines Vektors mit 0 ergibt den Nullvektor.

Answer

Jeder Vektorraum enthält den Nullvektor.

Question 47

Sei V der Vektorraum der stetigen Funktionen von [0,1] nach R. Welche der folgenden Mengen ist keine Basis von V?

Accepted Answer

{1, x, x²}

Answer

{1, x, sin(x), cos(x)}

Answer

{e^x, e^(2x)}

Answer

{sin(x), cos(x)}

Question 48

Eine lineare Abbildung f: R² -> R² wird durch die Matrix A = [[1, 2], [3, 4]] bezüglich der Standardbasis dargestellt. Was ist die Darstellung von f bezüglich der Basis B = {(1,1), (1,-1)}?

Accepted Answer

[[5, -1], [2, 2]]

Answer

[[1, 3], [2, 4]]

Answer

[[4, 3], [2, 1]]

Question 49

Ein elektrisches Netzwerk kann durch das lineare Gleichungssystem Ax = b beschrieben werden, wobei A die Knotenadmittanzmatrix, x der Vektor der Knotenspannungen und b der Vektor der Stromeinspeisungen ist. Was bedeutet es, wenn das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat?

Accepted Answer

Das Netzwerk ist nicht eindeutig lösbar, es gibt mehrere mögliche Spannungsverteilungen.

Answer

Das Netzwerk ist unterbestimmt, es fehlen Informationen.

Answer

Das Netzwerk ist kurzgeschlossen.