Analysis II: Online-Quizze für Studierende der Betriebswirtschaftslehre

Question 1

Die Funktion f(x) ist für alle x größer als 0 positiv. Wie lautet der Grenzwert von f(x), wenn x gegen unendlich geht?

Accepted Answer

Unendlich

Answer

Minus unendlich

Answer

Null

Answer

Unbestimmt

Question 2

Welche Aussage ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz des Grenzwerts $limlimits_{x 	o a} f(x) = L$?

Accepted Answer

Für jedes beliebig kleine $epsilon > 0 $ gibt es ein $delta > 0$, sodass $|f(x) - L| < epsilon$ für alle $x$ mit $0 < |x - a| < delta$.

Answer

Die Funktion $f$ ist an der Stelle $a$ stetig.

Answer

Die Funktion $f$ ist an der Stelle $a$ differenzierbar.

Answer

Die Funktion $f$ ist in einer Umgebung von $a$ beschränkt.

Question 3

Welche Eigenschaft beschreibt eine Funktion, die an allen Stellen ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist?

Accepted Answer

Stetige Differenzierbarkeit

Answer

Unstetigkeit an einzelnen Punkten

Answer

Ableitung an einzelnen Stellen unendlich

Answer

Numerische Näherung der Ableitung

Question 4

Welches der folgenden Konzepte gehört NICHT zu einem metrischen Raum?

Accepted Answer

Normierte Vektorräume

Answer

Abstandsfunktion

Answer

Offene Kugeln

Answer

Cauchy-Folgen

Question 5

Überprüfen Sie die Konvergenz des unendlichen Produkts $$ Π_{n=1}^∞ (1 + rac{1}{n^2}) $$. Nennen Sie den verwendeten Konvergenztest.

Accepted Answer

Konvergent nach dem Satz von Weierstraß

Answer

Divergent nach dem Quotientenkriterium

Answer

Divergent nach dem Wurzeltest

Answer

Oszillierend

Question 6

Berechnen Sie die Ableitung der rationalen Funktion f(x) = (x³ - 2x² + 3x - 5) / (x - 1) mit Hilfe der Quotientenregel.

Accepted Answer

3x² - 4x + 3 / (x - 1)²

Answer

x³ - 2x² + 3x - 5

Answer

(x³ - 2x² + 3x - 5) * (x - 1)

Answer

1 / (x - 1)²

Question 7

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1.

Accepted Answer

3x² - 6x + 2

Answer

x² - 2x + 1

Answer

3x - 6 + 2

Answer

x³ - 3x² + 2

Question 8

Berechne den Grenzwert von ln(x² + 1) / x, wenn x gegen unendlich geht.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

-unendlich

Question 9

Ermitteln Sie den Grenzwert von ( (sin(2x)) / (x) ) als x gegen 0 strebt.

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

Unbestimmt

Question 10

Ermitteln Sie, ob die Folge konvergiert. Falls ja, bestimmen Sie ihren Grenzwert:

$ a_n = rac{(2n^2-5n+3)(n+2)}{n^3-7n^2+6n} $

Accepted Answer

Die Folge konvergiert gegen 2.

Answer

Die Folge divergiert gegen Unendlich.

Answer

Die Folge oszilliert und konvergiert nicht.

Answer

Die Konvergenz der Folge kann nicht bestimmt werden.

Question 11

Berechnen Sie den Wert des Integrals: $intlimits_{-1}^1 (x^3 + 2x^2 - 3x + 2),dx$.

Accepted Answer

1/12

Answer

0

Answer

1

Question 12

Definieren Sie einen vollständig metrischen Raum prägnant, indem Sie seine wesentlichen Merkmale auflisten.

Accepted Answer

Ein vollständig metrischer Raum ist ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert.

Answer

Ein vollständig metrischer Raum ist ein metrischer Raum mit einer endlichen Anzahl von Elementen.

Answer

Ein vollständig metrischer Raum ist ein metrischer Raum, in dem jeder Punkt einen eindeutig definierten Abstand zu jedem anderen Punkt hat.

Question 13

Ermitteln Sie den Grenzwert von lim(x → 0) (sin(x) - x) / x³. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 14

Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x² - 1)³ + e^(x+2) mithilfe der Kettenregel.

Accepted Answer

6x(x² - 1)² + e^(x+2)

Answer

3(x² - 1)² + e^(x+2)

Answer

(x² - 1)³ + e^(x+2)

Answer

2x(x² - 1)³ + e^(x+2)

Question 15

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (1 + x)^n, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Accepted Answer

n * (1 + x)^(n-1)

Answer

(1 + x)^n

Answer

n

Question 16

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑(n=1 bis unendlich) (1/n^2) konvergiert. Begründen Sie Ihre Antwort unter Verwendung der Grenzwertrelation für Konvergenz.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert, da der Grenzwert von 1/n^2 gegen 0 geht, wenn n gegen unendlich geht.

Answer

Die Reihe divergiert, da der Grenzwert von 1/n^2 gegen 1 geht, wenn n gegen unendlich geht.

Answer

Die Reihe divergiert, da der allgemeine Term 1/n^2 nicht gegen 0 geht.

Question 17

Betrachten wir den metrischen Raum (X, d). Nennen Sie ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in X, die nicht konvergiert. Begründen Sie, warum diese Folge Cauchy ist, aber nicht konvergiert.

Accepted Answer

(1, 1/2, 1/4, 1/8, ...)

Answer

(1, 2, 3, 4, ...)

Answer

(1, 1, 1, 1, ...)

Question 18

Sei $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeigen Sie, dass gilt: $$  |  \int\limits_{a}^{b} f(x) dx  | \le \int\limits_{a}^{b} | f(x) | dx $$

Accepted Answer

Durch die Definition des Integrals

Answer

Durch den Mittelwertsatz der Integralrechnung

Answer

Durch Umkehren des Integrals

Answer

Durch Umkehren der Betragsfunktion

Question 19

Überprüfen Sie, ob die Folge von Funktionen $$(f_n)_{ninmathbb{N}}, quad	mit quad f_n(x) = rac{x}{n}$$ auf dem Intervall $[0, 1]$ gleichmäßig konvergiert.

Accepted Answer

Ja, die Folge $(f_n)$ konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion auf $[0, 1]$.

Answer

Nein, die Folge $(f_n)$ konvergiert nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion auf $[0, 1]$.

Question 20

Betrachte den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P). Es seien A und B unabhängige Ereignisse in Ω. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit von A ∩ B?

Accepted Answer

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Answer

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

Answer

P(A ∩ B) = P(A) - P(B)

Answer

P(A ∩ B) = P(A) + P(B)

Question 21

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑ (-1)^n n

Answer

∑ 1/n

Answer

∑ n^2

Answer

∑ e^n

Question 22

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x³ + 2x² - 5x + 3) / (x² - 4) mit der Quotientenregel.

Accepted Answer

[(3x² + 4x - 5) * (x² - 4) - (x³ + 2x² - 5x + 3) * (2x)] / (x² - 4)²

Answer

(3x² + 4x - 5) / (x² - 4)²

Answer

x² - 4

Question 23

Sei (X, Σ, μ) ein Maßraum und f eine messbare Funktion auf X. Definieren Sie g(x) = ∫[A] f dμ für jede messbare Teilmenge A von X. Erklären Sie, warum g messbar ist.

Accepted Answer

g ist messbar, da das Integral über eine messbare Menge eine messbare Funktion ist.

Answer

g ist messbar, da f messbar ist.

Answer

g ist nicht messbar, da die Messbarkeit von A vom gewählten Maß abhängt.

Question 24

Frage: Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (X, Σ, μ) und eine Zufallsvariable X auf X. Beweisen Sie, dass die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) für alle x ∈ ℝ monoton fallend ist.

Accepted Answer

F(x) ist für alle x ∈ ℝ monoton fallend.

Answer

F(x) ist für alle x ∈ ℝ konstant.

Answer

F(x) ist für alle x ∈ ℝ stetig.

Question 25

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) (-1)^n / n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1 / n^2

Answer

∑(n=1 bis unendlich) sin(n)

Question 26

Welche der folgenden Gleichungen ist eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

∂u/∂x + ∂u/∂y = 0

Answer

y'' + y' = x

Answer

y' = sin(x) + y

Answer

u(x,y) = x^2 + y^2

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist eine Funktion mehrerer Variablen?

Accepted Answer

f(x,y) = x^2 + y^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = e^x

Question 28

Welche Differentialgleichung beschreibt die Bewegung eines Teilchens mit konstanter Beschleunigung a?

Accepted Answer

y'' = a

Answer

y' = a

Answer

y''' = a

Answer

y = a

Question 29

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

Σ_(n=1)^∞ (-1)^n / n

Answer

Σ_(n=1)^∞ 1 / n^2

Answer

Σ_(n=1)^∞ n / (n + 1)

Answer

Σ_(n=1)^∞ e^(-n)

Question 30

Welcher Satz kann verwendet werden, um die Konvergenz einer Reihe zu überprüfen?

Accepted Answer

Satz von Cauchy

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Answer

Bolzano-Weierstraß-Satz

Answer

Satz von Leibniz

Question 31

Welche der folgenden Folgen ist eine Cauchy-Folge?

Accepted Answer

1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

Answer

1, 2, 4, 8, ...

Answer

0, 1, 0, 1, ...

Answer

1, -1, 1, -1, ...

Question 32

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 33

Welche der folgenden Gleichungen stellt eine homogene Differentialgleichung dar?

Accepted Answer

y'' - y = 0

Answer

y' + 2y = x

Answer

y' = y^2 + x^2

Answer

y' = x/y

Question 34

Welche der folgenden Anwendungen von Differentialgleichungen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Lösung von Rätseln

Answer

Modellierung des Wachstums einer Population

Answer

Berechnung der Schwingungen eines Feder-Masse-Systems

Answer

Bestimmung des elektrischen Stroms in einem Stromkreis

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte von Summen ist korrekt?

Accepted Answer

lim(n→∞) ∑(k=1)^n a_k = lim(n→∞) a_n für jede konvergente Folge (a_n)

Answer

lim(n→∞) ∑(k=1)^n a_k divergiert für jede Folge (a_n)

Answer

lim(n→∞) ∑(k=1)^n a_k = a_n für jede Folge (a_n)

Answer

lim(n→∞) ∑(k=1)^n a_k = 0 für jede Folge (a_n)

Question 36

Welche Bedingung muss eine Folge (a_n) erfüllen, damit sie konvergent ist?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein N ∈ ℕ, sodass für alle n ≥ N gilt: |a_n - a| < ε

Answer

Für jedes N ∈ ℕ existiert ein ε > 0, sodass für alle n ≥ N gilt: |a_n - a| < ε

Answer

Es existiert ein N ∈ ℕ, sodass für alle n ≥ N gilt: a_n = a

Question 37

Welche Aussage über Funktionen mehrerer Variablen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen nach einer ihrer Variablen ist ein Vektor.

Answer

Die Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen ist ein Skalar.

Answer

Die Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen ist eine Matrix.

Question 38

Welche Differentialgleichung beschreibt eine Exponentialfunktion y = e^(kt)?

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = -ky

Answer

y' = y

Answer

y' = -y

Question 39

Welche Aussage über die Taylor-Reihe einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Taylor-Reihe einer Funktion konvergiert in einer Umgebung des Entwicklungspunktes unter bestimmten Bedingungen.

Answer

Die Taylor-Reihe einer Funktion konvergiert für alle x.

Answer

Die Taylor-Reihe einer Funktion ist immer ein Polynom.

Question 40

Welche Aussage über die Gamma-Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Gamma-Funktion ist eine Verallgemeinerung der Fakultätsfunktion für komplexe Zahlen.

Answer

Die Gamma-Funktion ist eine elementare Funktion.

Answer

Die Gamma-Funktion ist eine trigonometrische Funktion.

Question 41

Welche Aussage über asymptotische Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Asymptotische Reihen liefern eine Näherung für eine Funktion in einer Umgebung eines singulären Punktes, aber ihre Konvergenz kann nicht garantiert werden.

Answer

Asymptotische Reihen liefern eine exakte Darstellung einer Funktion.

Question 42

Geben Sie die Summe der unendlichen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... an.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

1/2

Answer

-1

Question 43

Bestimmen Sie die divergente Reihe.

Accepted Answer

∑(1/n)

Answer

∑(cos(n))

Answer

∑(1/n^2)

Answer

∑(e^(-n))

Question 44

Welche Aussage über die Konvergenz von Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer Partialsummen einen Grenzwert besitzt.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Glieder gegen Null konvergieren.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer Glieder monoton ist.

Question 45

Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Funktion f(x,y) = x^2y + y^3 nach der Variablen x.

Accepted Answer

2xy

Answer

x^2

Answer

y^3

Question 46

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + y = x

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

y'y = x

Question 47

Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = sin(x) um den Punkt x = 0 bis zur dritten Ordnung.

Accepted Answer

x - x^3/3! + x^5/5!

Answer

x - x^3/3! + x^5/5! + ...

Answer

x + x^3/3! - x^5/5!

Answer

x + x^3/3! - x^5/5! + ...

Question 48

Welche der folgenden Reihen ist **absolut** konvergent?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n / n^2

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n / n

Answer

∑_(n=1)^∞ 1 / n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n

Question 49

Die Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0 ist:

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞  (x^n) / (n!)

Answer

∑_(n=0)^∞  (x^(2n)) / ((2n)!)

Answer

∑_(n=0)^∞  x^n

Answer

∑_(n=0)^∞  (-1)^n (x^n) / (n!)

Question 50

Die partielle Ableitung der Funktion f(x, y) = x^2 + y^2 nach x ist:

Accepted Answer

2x

Answer

x + y

Answer

2x + 2y

Answer

2y

Question 51

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist **linear**?

Accepted Answer

y' + 2y = x

Answer

y' + y^2 = x

Answer

y' + y^3 = 0

Answer

y' + sin(y) = 0

Question 52

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' = 2y ist:

Accepted Answer

y(x) = Ce^(2x)

Answer

y(x) = Ce^(-2x)

Answer

y(x) = C + 2x

Answer

y(x) = Ce^(x²)

Question 53

Die **Divergenz** des Vektorfelds F(x, y) = (x^2, y^2) ist:

Accepted Answer

2x + 2y

Answer

x^2 + y^2

Answer

2x - 2y

Question 54

Der Gradient der Funktion f(x, y) = x^2 + y^2 ist:

Accepted Answer

(2x, 2y)

Answer

(x^2, y^2)

Answer

(2y, 2x)

Answer

(1, 1)

Question 55

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Question 56

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

d²y/dx² - 3dy/dx + 2y = 0

Answer

dy/dx + y² = x

Answer

d²z/dx² + ∂²z/∂y² = 0

Question 57

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

∂²z/∂x² + ∂²z/∂y² = 0

Answer

d²y/dx² + dy/dx + y = 0

Answer

dy/dx + y = x

Question 58

Welche der folgenden Reihen ist absolut konvergent?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n^2

Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1/n

Question 59

Berechne die partielle Ableitung der Funktion f(x,y) = x^2 * y^3 nach x.

Accepted Answer

2xy^3

Answer

x^2

Answer

2x

Answer

2xy

Question 60

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen 0?

Accepted Answer

a_n = 1/n^2

Answer

a_n = n

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = 1/n

Question 61

Bestimme den Gradienten der Funktion f(x,y) = x^2 + y^2 im Punkt (1,2).

Accepted Answer

(2,4)

Answer

(2,2)

Answer

(1,2)

Answer

(4,4)

Question 62

Welche der folgenden Reihen divergiert?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1/(n+1)

Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1/n^2

Question 63

Löse die Differentialgleichung y' = y.

Accepted Answer

y = Ce^x

Answer

y = Cx

Answer

y = C

Question 64

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x,y) = x^2 + y^2 ist korrekt?

Accepted Answer

f besitzt ein lokales Minimum im Punkt (0,0).

Answer

f besitzt einen Sattelpunkt im Punkt (0,0).

Answer

f besitzt ein lokales Maximum im Punkt (0,0).

Answer

f besitzt keinen kritischen Punkt.