Vektorräume verstehen: Interaktive Quizfragen für Klasse 13

Question 1

Welcher folgende Raum ist ein Vektorraum über ℝ?

Accepted Answer

Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten

Answer

Menge aller Matrizen der Ordnung 2 × 2

Answer

Menge aller rationalen Zahlen

Answer

Menge aller komplexen Zahlen

Question 2

Welche der folgenden Teilmengen von ℝ³ ist eine Basis?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}

Answer

{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 0)}

Question 3

Wie groß ist die Dimension von ℝ³?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 4

Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren mit Addition und Skalarmultiplikation, die den Vektorraumaxiomen genügen.

Answer

Eine Menge von Vektoren mit komponentenweiser Addition und Multiplikation.

Answer

Eine Menge von Matrizen mit Addition und Multiplikation.

Answer

Eine Menge von Funktionen mit Addition und Multiplikation.

Question 5

Was beschreibt die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Anzahl aller Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Summe der Komponenten aller Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Differenz der Anzahl der Zeilen und Spalten in einer Darstellungsmatrix.

Question 6

Welche Aussage über eine Basis eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis ist eine minimale Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge linear abhängiger Vektoren.

Answer

Eine Basis ist eine beliebige Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die eine bestimmte Matrix darstellen.

Question 7

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 8

Was ist der Kern einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Menge der Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge der Vektoren, die auf einen konstanten Vektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge der Vektoren, die linear unabhängig sind.

Answer

Die Menge der Vektoren, die einen Untervektorraum bilden.

Question 9

Welche Aussage zur Diagonalisierbarkeit von Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie eine vollständige Menge linear unabhängiger Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie invertierbar ist.

Answer

Keine der oben genannten Aussagen ist korrekt.

Question 10

Was ist die korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist und in der die Distributivgesetze gelten.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Subtraktion von Vektoren abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist und in der die Assoziativgesetze gelten.

Question 11

Welche Aussage über Vektorräume ist falsch?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss eine endliche Anzahl von Elementen enthalten.

Answer

Ein Vektorraum ist eine nicht-leere Menge mit zwei Verknüpfungen: Addition und skalare Multiplikation.

Answer

Die Addition in einem Vektorraum ist assoziativ und kommutativ.

Question 12

Welcher der folgenden Vektorräume ist endlich-dimensional?

Accepted Answer

Menge aller Matrizen der Dimension 3x3

Answer

Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten

Answer

Menge aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]

Answer

Menge aller unendlich langen Folgen von reellen Zahlen

Question 13

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis für den Vektorraum R³?

Accepted Answer

{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }

Answer

{ (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) }

Answer

{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1) }

Answer

{ (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) }

Question 14

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Alle der oben genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist gleich der Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist genau dann trivial, wenn die Abbildung injektiv ist.

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über Untervektorräume ist falsch?

Accepted Answer

Ein Untervektorraum kann die gleiche Dimension wie der übergeordnete Vektorraum haben.

Answer

Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum.

Answer

Ein Untervektorraum muss den Nullvektor enthalten.

Answer

Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge des übergeordneten Vektorraums.

Question 16

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge, in der zwei Vektoren addiert und mit Skalaren multipliziert werden können.

Answer

Eine Menge, in der jeder Vektor eine Länge hat.

Answer

Eine Menge, in der alle Vektoren parallel sind.

Answer

Eine leere Menge.

Question 17

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis für den Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2?

Accepted Answer

{1, x, x^2}

Answer

{1, x, x-1}

Answer

{1, x, x+1}

Answer

{1, x^2, x^3}

Question 18

Wie lautet die Dimension des Vektorraums R^n?

Accepted Answer

n

Answer

n+1

Answer

n-1

Answer

unendlich

Question 19

Welche Aussage über die Spannweite einer Menge von Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Die Spannweite einer Menge von Vektoren kann nur endlich viele Vektoren enthalten.

Answer

Die Spannweite einer Menge von Vektoren ist der kleinste Untervektorraum, der alle Vektoren der Menge enthält.

Answer

Die Spannweite einer Menge von Vektoren ist eine Teilmenge des Vektorraums.

Answer

Die Spannweite einer Menge von Vektoren ist ein Vektorraum.

Question 20

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = x+1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 21

Welche Aussage über den Kern einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist immer eine Teilmenge des Bildraums.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist stets ein eindimensionaler Vektorraum.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist immer leer.

Question 22

Welche Matrix repräsentiert einen linearen Operator, der eine Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn ausführt?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix}$

Question 23

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine Teilmenge S eines Vektorraums V ein Untervektorraum ist?

Accepted Answer

S ist unter der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen und enthält den Nullvektor.

Answer

S ist unter der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Answer

S ist unter der Vektoraddition abgeschlossen.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass ein Vektorraum endlichdimensional ist?

Accepted Answer

Er besitzt eine endliche Basis.

Answer

Er hat eine endliche Dimension.

Answer

Er besitzt eine unendliche Erzeugendenmenge.

Answer

Er ist ein Untervektorraum eines endlichdimensionalen Vektorraums.

Question 25

Gegeben sei eine Menge von Vektoren {v1, v2, v3} in einem Vektorraum V. Welche der folgenden Aussagen beschreibt die lineare Abhängigkeit dieser Vektoren?

Accepted Answer

Es gibt Skalare a1, a2, a3, nicht alle Null, sodass a1*v1 + a2*v2 + a3*v3 = 0.

Answer

Die Vektoren sind paarweise orthogonal zueinander.

Answer

Die Vektoren erzeugen den Vektorraum V.

Question 26

Sei V ein Vektorraum über den reellen Zahlen. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent dazu, dass {v1, v2, v3} eine Basis von V bildet?

Accepted Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig und erzeugen den Vektorraum V.

Answer

Die Vektoren sind eine Teilmenge von V.

Answer

Die Vektoren sind paarweise orthogonal zueinander.

Question 27

Sei V ein Vektorraum der Dimension n. Wie viele linear unabhängige Vektoren kann V maximal enthalten?

Accepted Answer

n

Answer

Unendlich viele

Answer

n-1

Answer

n+1

Question 28

Sei V ein Vektorraum und u und v zwei Vektoren aus V. Welche Aussage impliziert, dass u und v ein Erzeugendensystem von V bilden?

Accepted Answer

Jeder Vektor in V kann als Linearkombination von u und v dargestellt werden.

Answer

u und v sind linear unabhängig.

Answer

u und v sind orthogonal zueinander.

Question 29

Gegeben sei eine Menge von Vektoren {v1, v2, v3} in einem Vektorraum V. Welche Aussage beschreibt das orthogonale Komplement von {v1, v2, v3}?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren aus V, die orthogonal zu jedem der Vektoren v1, v2, v3 sind.

Answer

Die Menge aller Vektoren aus V, die Vielfache von v1, v2, v3 sind.

Answer

Die Menge aller Vektoren aus V, die linear unabhängig von v1, v2, v3 sind.

Question 30

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und seien u1, ..., un eine Basis von V. Wie viele Elemente hat eine Basis von V?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

Unendlich viele

Answer

n+1

Question 31

Sei V ein Vektorraum und U ein Unterraum von V. Welche Aussage ist IMMER richtig?

Accepted Answer

U enthält den Nullvektor von V.

Answer

Jeder Vektor in V ist auch in U.

Answer

U hat nur eine Basis.

Answer

U hat die gleiche Dimension wie V.

Question 32

Sei B = {(1, 0), (1, 1)} eine Basis des R². Wie lautet die Darstellung des Vektors v = (3, 2) bezüglich der Basis B?

Accepted Answer

(1, 2)

Answer

(-1, 2)

Answer

(3, 2)

Answer

(2, 1)

Question 33

Welche Aussage über orthogonale Vektoren im R³ ist FALSCH?

Accepted Answer

Zwei orthogonale Vektoren sind immer linear unabhängig.

Answer

Das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist 0.

Answer

Der Nullvektor ist orthogonal zu jedem Vektor.

Question 34

Welche der folgenden Aussagen ist NICHT eine Eigenschaft eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Schnittmenge zweier Vektorräume ist immer ein Vektorraum.

Answer

Abgeschlossenheit bezüglich Vektoraddition

Answer

Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation

Answer

Vorhandensein eines Nullvektors

Question 35

Ein Vektorraum hat die Dimension 3. Wie viele linear unabhängige Vektoren kann dieser maximal enthalten?

Accepted Answer

3

Answer

Unendlich

Answer

2

Answer

4

Question 36

Welche der folgenden Teilmengen eines Vektorraums bildet eine Basis?

Accepted Answer

Eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den gesamten Vektorraum aufspannen.

Answer

Die Menge aller linear unabhängigen Vektoren.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Die Menge aller Vektoren des Vektorraums.

Question 37

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Drehung im Vektorraum

Answer

Quadratische Funktion

Answer

Exponentialfunktion

Answer

Verschiebung im Vektorraum

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über orthogonal komplementäre Unterräume ist korrekt?

Accepted Answer

Jeder Vektor des Vektorraums lässt sich eindeutig als Summe eines Vektors aus jedem Unterrraum darstellen.

Answer

Ihre Summe ergibt den gesamten Vektorraum.

Answer

Sie sind orthogonal zueinander.

Answer

Ihr Schnitt ist der Nullvektor.

Question 39

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Dimension des Lösungsraums eines homogenen linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Defekt

Answer

Basis

Answer

Nullraum

Answer

Rang

Question 40

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine orthogonale Transformation?

Accepted Answer

Orthogonalmatrix

Answer

Diagonalmatrix

Answer

Dreiecksmatrix

Answer

Symmetrische Matrix

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Jeder Eigenwert hat mindestens einen zugehörigen Eigenvektor.

Answer

Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer orthogonal.

Answer

Eigenvektoren sind immer linear unabhängig.

Answer

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist immer Null.

Question 42

Welche der folgenden Anwendungen von Vektorräumen wird in der Informatik eingesetzt?

Accepted Answer

Computergrafik

Answer

Medizin

Answer

Chemie

Answer

Biologie