Zufallsvariablen verstehen: Online-Quiz für Klasse 12 Gymnasium

Question 1

Welche Zufallsvariable ist binomialverteilt?

Accepted Answer

Anzahl der geworfenen Sechsen bei 10 Würfen eines fairen Würfels

Answer

Zeitspanne bis zum Eintreffen des nächsten Busses

Answer

Tageshöchsttemperatur am 1. Januar

Answer

Körpergröße einer zufällig ausgewählten Person

Question 2

Wie berechnet man den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X mit Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = x)?

Accepted Answer

E(X) = Σ(x * P(X = x)) über alle möglichen Werte von x

Answer

E(X) = ∫(x * P(X = x)dx) über alle möglichen Werte von x

Answer

E(X) = P(X = x) für den häufigsten Wert von x

Answer

E(X) = Σ((x - μ)^2 * P(X = x)) über alle möglichen Werte von x

Question 3

Was ist die Varianz einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert

Answer

Die Summe der Abweichungen vom Erwartungswert

Answer

Die Standardabweichung quadriert

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt

Question 4

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist nicht normalverteilt?

Accepted Answer

Anzahl fehlerhafter Produkte in einer Fertigungslinie

Answer

Körpergröße von Männern

Answer

Temperatur in einem geschlossenen Raum

Answer

Geburtsgewicht von Neugeborenen

Question 5

Was ist die kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Eine Funktion, die für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Zufallsvariable kleiner oder gleich x ist

Answer

Eine Funktion, die für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Zufallsvariable gleich x ist

Answer

Eine Funktion, die für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Zufallsvariable größer als x ist

Answer

Eine Funktion, die für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Zufallsvariable zwischen 0 und x liegt

Question 6

Welche Aussage zur Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist richtig?

Accepted Answer

Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt.

Answer

Sie ist für jeden Wert x definiert.

Answer

Sie ist eine stetige Funktion.

Answer

Sie ist eine monoton fallende Funktion.

Question 7

Wie berechnet man den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

Durch Multiplikation der möglichen Werte von X mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und anschließender Summierung

Answer

Durch Lösen der Gleichung E(X) = ∫f(x)dx

Answer

Durch Berechnung des Mittelwerts aller möglichen Werte von X

Answer

Durch Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von X über den gesamten Definitionsbereich

Question 8

Welche Funktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Normalverteilung mit Erwartungswert μ und Varianz σ²?

Accepted Answer

f(x) = (2πσ²)⁻¹/²exp(-(x - μ)²/(2σ²))

Answer

f(x) = μσ²exp(-(x - μ)²/(2σ²))

Answer

f(x) = (σ²)⁻¹/²exp(-(x - μ)²/(2σ))

Answer

f(x) = μ(σ²)⁻¹/²exp(-(x - μ)²/(2σ))

Question 9

Was beschreibt eine Zufallsvariable am besten?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert zuordnet.

Answer

Eine Zahl, die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses angibt.

Answer

Eine Größe, die zufällig variiert.

Question 10

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f(x) berechnet sich nach folgender Formel:

Accepted Answer

∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx

Answer

∫_{-∞}^{∞} f(x) dx

Answer

∫_{-∞}^{∞} xf'(x) dx

Answer

f(x) dx

Question 11

Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X einen Wert zwischen a und b annimmt?

Accepted Answer

Fläche unter der Verteilungsfunktion von a bis b berechnen

Answer

Wahrscheinlichkeiten aller Werte im Intervall [a, b] addieren

Answer

Verteilungsfunktion an den Grenzen [a, b] subtrahieren

Answer

Kehrwert der Verteilungsfunktion im Intervall [a, b] berechnen

Question 12

Welche Aussage beschreibt korrekt eine Zufallsvariable?

Accepted Answer

Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine eindeutige Zahl zuordnet.

Answer

Zahl, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments angibt.

Answer

Variable, deren Wert zufällig bestimmt wird.

Answer

Funktion, die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet.

Question 13

Welche Aussage zum zentralen Grenzwertsatz ist korrekt?

Accepted Answer

Die Verteilung der Stichprobenmittelwerte einer großen Stichprobe ist näherungsweise normalverteilt.

Answer

Er gilt nur für große Stichproben.

Answer

Die Verteilung der Zufallsvariablen einer großen Stichprobe ist näherungsweise normalverteilt.

Answer

Er gilt nur für diskrete Verteilungen.

Question 14

Eine Zufallsvariable ist definiert als:

Accepted Answer

Eine Funktion, die einem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Answer

Ein Ereignis, dem eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird.

Answer

Eine Zufallsgröße, die nur diskrete Werte annehmen kann.

Answer

Eine Zufallsgröße, die nur stetige Werte annehmen kann.

Question 15

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X repräsentiert:

Accepted Answer

Den langfristigen Durchschnittswert der Zufallsvariablen.

Answer

Eine ganze Zahl.

Answer

Einen Wert, der größer als die Varianz ist.

Answer

Einen negativen Wert.

Question 16

Die Formel für die Varianz einer Zufallsvariablen X mit Erwartungswert μ lautet:

Accepted Answer

Var(X) = E((X - μ)²)

Answer

Var(X) = E(X²) - μ²

Answer

Var(X) = μ - E(X²)

Answer

Var(X) = E(X) - μ²

Question 17

Eine Zufallsvariable X folgt einer binomialverteilten Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie:

Accepted Answer

Die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit Wahrscheinlichkeit p für Erfolg zählt.

Answer

Die Zeit bis zum ersten Erfolg in n unabhängigen Versuchen mit Wahrscheinlichkeit p für Erfolg misst.

Answer

Die Summe der Werte in n Würfelwürfen ist.

Answer

Die maximale Temperatur an einem zufälligen Tag im Jahr ist.

Question 18

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ ist:

Accepted Answer

f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x - μ)² / (2σ²))

Answer

f(x) = (1 / σ) * e^(-x²)

Answer

f(x) = (1 / (μ√(2π))) * e^(-(x - σ)² / (2μ²))

Answer

f(x) = (1 / (2π√σ)) * e^(-(x - μ)² / (2σ²))

Question 19

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass:

Accepted Answer

Die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen näherungsweise normalverteilt ist.

Answer

Der zentrale Grenzwertsatz gilt nur für Zufallsvariablen mit einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Answer

Der zentrale Grenzwertsatz gilt nur für Zufallsvariablen mit einem Erwartungswert von 0.

Answer

Die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen näherungsweise binomialverteilt ist.

Question 20

Zwei Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig, wenn:

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt, nicht von der Wahrscheinlichkeit abhängt, dass Y einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt, von der Wahrscheinlichkeit abhängt, dass Y einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Die Zufallsvariablen X und Y die gleiche Verteilungsfunktion haben.

Answer

Die Zufallsvariablen X und Y den gleichen Erwartungswert haben.

Question 21

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Korrelation zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y?

Accepted Answer

ρ(X, Y) = E((X - μx)(Y - μy)) / (σx * σy)

Answer

ρ(X, Y) = P(X = Y)

Answer

ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (E(X) * E(Y))

Answer

ρ(X, Y) = 1 - P(X ≠ Y)

Question 22

Welche Aussage über eine Zufallsvariable X ist **korrekt**?

Accepted Answer

X kann sowohl diskrete als auch stetige Werte annehmen.

Answer

X nimmt ausschließlich diskrete Werte an.

Answer

X nimmt ausschließlich stetige Werte an.

Answer

X ist immer eine positive Zahl.

Question 23

Welche der folgenden Verteilungen **wird nicht** durch eine Dichtefunktion beschrieben?

Accepted Answer

Hypergeometrische Verteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 24

Bestimmte den Erwartungswert einer gleichverteilten Zufallsvariablen X auf dem Intervall [a, b].

Accepted Answer

(a + b) / 2

Answer

(a - b) / 2

Answer

a

Answer

b

Question 25

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable gibt an:

Accepted Answer

Den Wert, den die Zufallsvariable im Mittel annimmt.

Answer

Den wahrscheinlichsten Wert, den die Zufallsvariable annimmt.

Answer

Die Streuung der Werte der Zufallsvariable.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.

Question 26

Die Varianz einer Zufallsvariable berechnet sich nach folgender Formel:

Accepted Answer

Var(X) = E[(X - μ)²]

Answer

Var(X) = μ²

Answer

Var(X) = σ²

Answer

Var(X) = ∑(x - μ) * P(X = x)

Question 27

Welche Aussage zum zentralen Grenzwertsatz ist falsch?

Accepted Answer

Die Approximation wird genauer, je kleiner die Anzahl der Zufallsvariablen ist.

Answer

Er besagt, dass die Summe vieler unabhängiger Zufallsvariablen näherungsweise normalverteilt ist.

Answer

Er gilt nur für identisch verteilte Zufallsvariablen.

Answer

Er kann bei der Schätzung unbekannter Parameter verwendet werden.

Question 28

Welche der folgenden Zufallsvariablen hat eine Binomialverteilung?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Experimenten

Answer

Anzahl der Sechsen beim Würfeln

Answer

Zeit bis zum nächsten Anruf in einem Callcenter

Answer

Gewicht eines neugeborenen Babys

Question 29

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 30

Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion F(x) = 1 - e^(-x/2) für x >= 0. Welchen Typ von Verteilung hat X?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 31

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Zufallsvariable?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Geometrische Verteilung

Question 32

Welche der folgenden Aussagen zum Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

Er kann positiv, negativ oder null sein.

Answer

Er gibt den wahrscheinlichsten Wert der Zufallsvariablen an.

Answer

Er beschreibt die Streuung der Zufallsvariablen.

Answer

Er ist immer ein ganzzahliger Wert.

Question 33

Die Varianz einer Zufallsvariablen X misst:

Accepted Answer

Die durchschnittliche Abweichung von ihrem Erwartungswert

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der größer als ihr Erwartungswert ist

Answer

Die Anzahl der möglichen Werte von X

Answer

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für alle Werte von X

Question 34

Welche der folgenden Aussagen zur Zentralen Grenzwerttheorie ist korrekt?

Accepted Answer

Sie besagt, dass die Summe einer großen Anzahl von unabhängigen Zufallsvariablen eine Normalverteilung approximiert.

Answer

Sie gilt nur für Zufallsvariablen mit endlicher Varianz.

Answer

Sie gilt für alle Verteilungen von Zufallsvariablen.

Answer

Sie liefert eine exakte Vorhersage der Verteilung der Summe von Zufallsvariablen.

Question 35

Welches der folgenden Ereignisse kann als Zufallsexperiment bezeichnet werden?

Accepted Answer

Das Werfen einer Münze

Answer

Die Größe eines neugeborenen Kindes

Answer

Die Höhe des Dow Jones Index

Answer

Die Anzahl der Sonnentage in einem Jahr

Question 36

Welche Aussage über eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist richtig?

Accepted Answer

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann negativ sein.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist immer größer als 0.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann größer als 1 sein.

Question 37

Welche Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Question 38

Was beschreibt eine Zufallsvariable?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet

Answer

Eine Zahl, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments darstellt

Answer

Eine Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments

Answer

Eine Häufigkeitsverteilung

Question 39

Welches Maß gibt den mittleren Wert einer Zufallsvariablen an?

Accepted Answer

Erwartungswert

Answer

Standardabweichung

Answer

Varianz

Answer

Modus

Question 40

Was ist der Erwartungswert einer exponentialverteilten Zufallsvariablen mit dem Parameter λ?

Accepted Answer

1 / λ

Answer

1 / λ^2

Answer

λ

Answer

λ^2

Question 41

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang eines Zufallsexperiments einen eindeutigen Zahlenwert zu.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 42

Die Verteilungsfunktion F(x) einer Zufallsvariablen X gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 43

Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X ist der gewichtete Mittelwert aller möglichen Werte von X, wobei die Gewichte die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 44

Die Varianz Var(X) einer Zufallsvariablen X ist ein Maß für die mittlere quadratische Abweichung der Werte von X von ihrem Erwartungswert.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 45

Eine Poisson-Verteilung wird verwendet, um die Anzahl von Ereignissen zu modellieren, die in einem bestimmten Zeit- oder Rauminintervall auftreten, wobei die Ereignisrate konstant ist.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 46

Welche der folgenden Zufallsvariablen hat unter den gegebenen Bedingungen eine Normalverteilung?

Accepted Answer

Die Summe der Werte von drei unabhängig voneinander normalverteilten Zufallsvariablen mit den Erwartungswerten 0 und 1

Answer

Die Anzahl der Erfolge in 50 unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit 0,6

Answer

Die Lebensdauer einer Glühbirne, die exponentiell verteilt ist

Question 47

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Verteilung des Mittelwerts einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen, unabhängig von ihrer Ursprungsverteilung, ungefähr normalverteilt ist.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 48

Welche der folgenden Anwendungen ist **nicht** typisch für die Stochastik?

Accepted Answer

Modellierung von chemischen Reaktionen

Answer

Analyse von Wetterdaten

Answer

Vorhersage von Aktienkursen

Question 49

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments:

Accepted Answer

Eine Zahl zuordnet.

Answer

Eine Farbe zuordnet.

Answer

Ein Wort zuordnet.

Answer

Ein Bild zuordnet.

Question 50

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist ihr:

Accepted Answer

Mittelwert.

Answer

Median.

Answer

Modus.

Answer

Varianz.

Question 51

Eine diskrete Zufallsvariable nimmt nur:

Accepted Answer

Ganze Zahlen an.

Answer

Positive Zahlen an.

Answer

Negative Zahlen an.

Answer

Reelle Zahlen an.

Question 52

Eine Zufallsvariable definiert eine Abbildung von welchen Ereignissen auf welche Werte?

Accepted Answer

Ergebnisse eines Zufallsexperiments auf reelle Zahlen

Answer

Wahrscheinlichkeiten auf Zeiträume

Answer

Stochastische Prozesse auf Wahrscheinlichkeiten

Answer

Verteilungen auf Zufallsvariablen

Question 53

Welche Eigenschaft trifft auf die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable zu?

Accepted Answer

Nicht-negativ und monoton steigend

Answer

Negativ und monoton fallend

Answer

Positiv und monoton fallend

Answer

Nicht-negativ und monoton fallend

Question 54

Wie berechnet man den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable?

Accepted Answer

Als Summe aus Wahrscheinlichkeit und Wert für alle möglichen Werte

Answer

Als Summe aus Wert und Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Werte

Answer

Als Integral über die Verteilungsfunktion

Answer

Als Differenz aus Varianz und Mittelwert

Question 55

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist binomialverteilt?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit

Answer

Zeit bis zum nächsten Anruf bei einem Callcenter

Answer

Größe einer Stichprobe aus einer Normalverteilung

Answer

Gewicht eines neugeborenen Kindes

Question 56

Unabhängige Zufallsvariablen zeichnen sich dadurch aus, dass:

Accepted Answer

Ihre Wahrscheinlichkeiten unabhängig voneinander sind

Answer

Ihre Verteilungsfunktionen identisch sind

Answer

Ihre Erwartungswerte gleich sind

Answer

Ihre Varianzen gleich sind

Question 57

Wie lautet die mathematische Definition der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

F(x) = P(X ≤ x)

Answer

F(x) = P(X ≥ x)

Answer

F(x) = P(X = x)

Answer

F(x) = P(X < x)

Question 58

Was versteht man unter dem Erwartungswert einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

E(X) = ∫x · f(x) dx

Answer

E(X) = σ²(X)

Answer

E(X) = μ(X)

Answer

E(X) = ∫f(x) dx

Question 59

Welche mathematische Formel beschreibt die Varianz einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

Var(X) = E((X - E(X))²)

Answer

Var(X) = μ(X)²

Answer

Var(X) = E(X²)

Answer

Var(X) = σ(X)

Question 60

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist eine stetige Verteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 61

Wie lautet die gemeinsame Verteilungsfunktion zweier unabhängiger Zufallsvariablen X und Y?

Accepted Answer

F(x, y) = F(x) · F(y)

Answer

F(x, y) = F(x + y)

Answer

F(x, y) = F(x) + F(y)

Answer

F(x, y) = F(y/x)

Question 62

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang eines zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraums eine reelle Zahl zu. Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion vom Wahrscheinlichkeitsraum in die reellen Zahlen.

Answer

Eine Zufallsvariable ist ein Wahrscheinlichkeitsraum, dem jedem Ausgang eine reelle Zahl zugeordnet ist.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine reelle Zahl, die jedem Ausgang des Wahrscheinlichkeitsraums zugeordnet ist.

Question 63

Was gibt die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen an?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt oder unterschreitet.

Answer

Die Varianz der Zufallsvariablen.

Answer

Den Erwartungswert der Zufallsvariablen.

Question 64

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf den Erwartungswert einer Zufallsvariablen zu?

Accepted Answer

Er ist das gewichtete Mittel aller möglichen Werte der Zufallsvariablen.

Answer

Er ist immer positiv.

Answer

Er ist immer ganzzahlig.