Vektorräume: Online-Quizze für Klasse 12 Gymnasium

Question 1

Wie viele linear unabhängige Vektoren kann ein dreidimensionaler Vektorraum maximal enthalten?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 2

Sei **V** ein Vektorraum und **U** ein Untervektorraum von **V**. Welche Aussage über die Dimension von **U** ist immer wahr?

Accepted Answer

Die Dimension von **U** ist kleiner oder gleich der Dimension von **V**.

Answer

Die Dimension von **U** ist größer oder gleich der Dimension von **V**.

Answer

Die Dimension von **U** ist gleich der Dimension von **V**.

Answer

Die Dimension von **U** kann jede beliebige Zahl sein.

Question 3

Welche der folgenden Mengen stellt eine Basis für den Vektorraum R² dar?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 1), (0, 1)}

Answer

{(1, 0), (1, 1)}

Answer

{(0, 1), (0, 1)}

Question 4

Was beschreibt die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Die Anzahl aller Vektoren im Vektorraum.

Answer

Die Anzahl der Untervektorräume des Vektorraums.

Answer

Die Anzahl der Basen des Vektorraums.

Question 5

Was berechnet die Determinante einer Matrix?

Accepted Answer

Das Volumen des von den Zeilenvektoren aufgespannten Parallelepipeds.

Answer

Das Produkt der Eigenwerte der Matrix.

Answer

Die Summe der Hauptelemente der Matrix.

Answer

Das Quadrat der Spur der Matrix.

Question 6

Welche der folgenden Matrizen ist **nicht** invertierbar?

Accepted Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 6]]

Answer

[[2, 1], [4, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 7

Ein Untervektorraum von V ist eine Teilmenge von V, die ebenfalls ein Vektorraum über K ist. Welcher der folgenden Begriffe beschreibt diese Teilmenge?

Accepted Answer

Untervektorraum

Answer

Basis

Answer

Spanning Set

Answer

Linearkombination

Question 8

Die Dimension eines Vektorraums V gibt die Anzahl der Elemente in einer Basis von V an. Wie viele Elemente hat eine Basis von V, wenn V die Dimension n hat?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Answer

beliebig viele

Question 9

Welche der folgenden Mengen ist kein Vektorraum?

Accepted Answer

Die Menge {0, 1, 2}

Answer

Die Menge aller reellen Zahlen

Answer

Die Menge aller Polynome zweiten Grades

Answer

Die Menge aller symmetrischen 3x3-Matrizen

Question 10

Was ist ein Untervektorraum? Nenne die Bedingungen, die eine Teilmenge eines Vektorraums zu einem Untervektorraum machen.

Accepted Answer

Eine Teilmenge, die selbst ein Vektorraum ist.

Answer

Eine linear unabhängige Teilmenge.

Answer

Eine Teilmenge, die eine Basis für den Vektorraum bildet.

Question 11

Welche Vektormenge bildet eine Basis des Vektorraums ℝ³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}

Answer

{(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2)}

Answer

Keine der oben genannten

Question 12

Welche der folgenden Definitionen beschreibt einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge mit einer Additionsoperation und einer Skalarmultiplikation.

Answer

Eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist.

Answer

Eine Gruppe von Vektoren, die linear unabhängig sind.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthalten.

Question 13

Welche der folgenden Angaben zur Anzahl von Basen in einem Vektorraum ist richtig?

Accepted Answer

Ein Vektorraum hat unendlich viele Basen.

Answer

Ein Vektorraum hat genau eine Basis.

Answer

Die Anzahl der Basen in einem Vektorraum ist gleich der Anzahl der Vektoren im Vektorraum.

Answer

Die Anzahl der Basen in einem Vektorraum ist gleich der Dimension des Vektorraums.

Question 14

Welche Aussage ist notwendig und hinreichend für die lineare Unabhängigkeit von n Vektoren?

Accepted Answer

Die Determinante der Matrix mit diesen Vektoren als Zeilen ist ungleich null.

Answer

Die Vektoren spannen den Vektorraum auf.

Answer

Die Vektoren sind paarweise orthogonal.

Answer

Die Vektoren haben alle die gleiche Länge.

Question 15

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis für den Vektorraum { (a, b) | a, b ∈ ℝ }?

Accepted Answer

{ (1, 0), (0, 1) }

Answer

{ (1, 1), (0, 0) }

Answer

{ (0, 1), (1, 1) }

Answer

{ (1, 2), (2, 1) }

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über Basen eines Vektorraums ist falsch? (Korrekt, Prägnant)

Accepted Answer

Eine Basis kann erweitert werden, indem ein linear abhängiger Vektor hinzugefügt wird.

Answer

Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Answer

Jeder Vektorraum hat mindestens eine Basis.

Answer

Die Anzahl der Vektoren in einer Basis ist eindeutig bestimmt.

Question 17

Welche der folgenden Teilmengen ist die Faktormenge V/W? (Prägnant, Korrekt)

Accepted Answer

Die Menge aller Äquivalenzklassen von Vektoren in V, wobei zwei Vektoren äquivalent sind, wenn ihre Differenz in W liegt.

Answer

Die Menge aller Vektoren in V, die nicht in W liegen.

Answer

Die Menge aller Untervektorräume von V, die W enthalten.

Answer

Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W.

Question 18

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine Menge von Vektoren eine Basis bildet? (Klar, Korrekt)

Accepted Answer

Sie ist linear unabhängig und ein Erzeugendensystem.

Answer

Sie ist linear abhängig und ein Erzeugendensystem.

Answer

Sie ist linear unabhängig und kein Erzeugendensystem.

Answer

Sie ist linear abhängig und kein Erzeugendensystem.

Question 19

Welche der folgenden Teilmengen ist ein Untervektorraum des Vektorraums R³?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren mit der ersten Koordinate gleich 0

Answer

Die Menge aller Vektoren mit einer Norm kleiner als 1

Answer

Die Menge aller Vektoren mit ungeraden Koordinaten

Question 20

Welches der folgenden Kriterium ist notwendig und hinreichend für die lineare Unabhängigkeit von Vektoren?

Accepted Answer

Die einzige Linearkombination der Vektoren, die den Nullvektor ergibt, ist die triviale Linearkombination.

Answer

Die Vektoren sind paarweise linear unabhängig.

Answer

Die Vektoren sind nicht der Nullvektor.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen entspricht der Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine nichtleere Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen (+, ·), genannt Vektoraddition und Skalarmultiplikation, die bestimmte Axiome erfüllen.

Answer

Eine Menge von Lösungen eines linearen Gleichungssystems

Answer

Eine Menge paralleler Vektoren in einem Koordinatensystem

Question 22

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Welche der folgenden Teilmengen von V ist ein Untervektorraum?

Accepted Answer

Die Menge aller Vielfachen eines Vektors v in V

Answer

Die Menge aller Vektoren in V mit Norm 1

Answer

Die Menge aller Vektoren in V, die mit einem gegebenen Vektor kollinear sind

Answer

Die Menge aller Vektoren in V, die senkrecht zu einem gegebenen Vektor stehen

Question 23

Welche der folgenden Aussagen zu Vektoren v₁, v₂, ..., vₙ in einem Vektorraum V ist äquivalent zur linearen Unabhängigkeit?

Accepted Answer

Die Gleichung c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0 hat nur die triviale Lösung c₁ = c₂ = ... = cₙ = 0.

Answer

Die Anzahl der Vektoren v₁, v₂, ..., vₙ ist gleich der Dimension von V.

Answer

Die Vektoren v₁, v₂, ..., vₙ spannen V auf.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen zu einem Vektorraum V über einem Körper K ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Skalar in V ist ein Element aus K.

Answer

Ein Skalar in V ist ein Vektor aus V.

Answer

Ein Skalar in V ist eine Abbildung von V nach K.

Answer

Ein Skalar in V ist eine Menge von Vektoren aus V.

Question 25

Sei V ein Vektorraum und U ein Untervektorraum von V. Was ist ein Komplement von U in V?

Accepted Answer

Eine Menge W von Vektoren in V, so dass V die direkte Summe von U und W ist.

Answer

Eine Menge W von Vektoren in V, so dass U ∩ W = {0}.

Answer

Eine Menge W von Vektoren in V, so dass U + W = V.

Question 26

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Welches der folgenden Elemente ist eine lineare Abbildung von V nach V?

Accepted Answer

Eine Abbildung f: V → V, die den Vektoradditionen und der skalaren Multiplikation erhält.

Answer

Eine Abbildung f: V → V, die der skalaren Multiplikation erhält.

Answer

Eine Abbildung f: V → V, die den Vektoradditionen erhält.

Question 27

Welcher der folgenden Vektoren ist eine Linearkombination von (1, 2, 3) und (4, 5, 6)?

Accepted Answer

(7, 9, 11)

Answer

(3, 6, 9)

Answer

(2, 4, 6)

Question 28

Welche der folgenden Abbildungen ist ein linearer Operator?

Accepted Answer

f: R³ → R³, f(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x)

Answer

h: R³ → R³, h(x, y, z) = (x, |y|, |z|)

Answer

g: R³ → R³, g(x, y, z) = (x², y², z²)

Answer

k: R³ → R³, k(x, y, z) = (1, 0, 0)

Question 29

Sei V ein Vektorraum und seien v_1, v_2, ..., v_n Vektoren aus V. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur linearen Unabhängigkeit der Vektoren v_1, v_2, ..., v_n?

Accepted Answer

Die einzige Linearkombination, die den Nullvektor ergibt, ist die triviale Linearkombination (a_1 = 0, a_2 = 0, ..., a_n = 0).

Answer

Die Vektoren v_1, v_2, ..., v_n bilden eine Basis von V.

Question 30

Sei V ein Vektorraum und sei B eine Teilmenge von V. Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig und hinreichend dafür, dass B eine Basis von V ist?

Accepted Answer

B ist linear unabhängig und B spannt V auf.

Answer

B ist linear unabhängig.

Answer

B spannt V auf.

Question 31

Sei V ein Vektorraum der Dimension n. Wie viele linear unabhängige Vektoren kann eine Teilmenge von V maximal enthalten?

Accepted Answer

n

Answer

2n

Answer

n - 1

Answer

n + 1

Question 32

Sei V ein Vektorraum und sei T: V → V eine lineare Abbildung. Welches der folgenden Aussagen ist äquivalent zur Injektivität von T?

Accepted Answer

Der Kern von T ist der Nullvektorraum.

Answer

T ist surjektiv.

Answer

T ist invertierbar.

Answer

Das Bild von T ist der gesamte Vektorraum V.

Question 33

Sei V ein Vektorraum und sei S eine Teilmenge von V. Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig dafür, dass S einen Untervektorraum von V aufspannt?

Accepted Answer

Jede Linearkombination von Vektoren aus S ist ein Vektor aus S.

Answer

S enthält den Nullvektor.

Answer

S ist linear unabhängig.

Question 34

Sei V ein Vektorraum der Dimension n. Wie viele Vektoren benötigt man mindestens in einer Teilmenge von V, um V aufzuspannen?

Accepted Answer

n

Answer

n - 1

Answer

2n

Answer

n + 1

Question 35

Welches der folgenden Tripel ist ein Erzeugendensystem des Vektorraums R³?

Accepted Answer

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

Answer

(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

Answer

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2)

Answer

(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)

Question 36

Ist die Menge {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} linear unabhängig im Vektorraum R²?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur (1, 0) und (0, 1) sind linear unabhängig

Answer

Nein

Question 37

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für einen Vektorraum V mit dim(V) = n?

Accepted Answer

Jede Menge von n Vektoren in V bildet eine Basis von V.

Answer

Jede Menge von n+1 Vektoren in V bildet eine Basis von V.

Answer

Jede Menge von n-1 Vektoren in V bildet eine Basis von V.

Question 38

Ist der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 ein Untervektorraum von R[x]?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur, wenn die Leitkoeffizienten ungleich Null sind

Answer

Nur, wenn die Koeffizienten reell sind

Answer

Nein

Question 39

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung von R³ nach R²?

Accepted Answer

f(x, y, z) = (x + y, z - 2)

Answer

f(x, y, z) = (x, y², z²)

Answer

f(x, y, z) = (x², y, z)