Analysis: Differential- und Integralrechnung - Online-Quizzes für Klasse 11

Question 1

Welche der folgenden Funktionen besitzt keine Stammfunktion, die sich mit elementaren Funktionen ausdrücken lässt?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = ln(x)

Question 2

Welche Aussage zur Ableitung der Funktion f(x) = c, wobei c eine beliebige reelle Zahl ist, ist richtig?

Accepted Answer

f '(x) = 0

Answer

f '(x) = 1

Answer

f '(x) = c

Answer

f '(x) = x

Question 3

Was gibt die erste Ableitung einer Funktion f(x) an?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an einen beliebigen Punkt des Graphen

Answer

Die Änderungsrate der Funktion zwischen zwei beliebigen Punkten

Answer

Den maximalen Wert der Funktion auf einem gegebenen Intervall

Answer

Das Vorzeichen der Funktion an einem beliebigen Punkt

Question 4

Welche Funktion ist an der Stelle x = 2 nicht definiert?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x - 2)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = |x - 2|

Question 5

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x^2 - 6x + 5) mit Hilfe der Kettenregel.

Accepted Answer

4xe^(2x^2 - 6x + 5)

Answer

e^(2x^2 - 6x + 5)

Answer

2(2x^2 - 6x + 5)e^(2x^2 - 6x + 5)

Answer

2xe^(x^2)

Question 6

Welche Funktion hat an der Stelle **x = 0** eine senkrechte Tangente? Eine senkrechte Tangente liegt vor, wenn die Steigung unendlich ist.

Accepted Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Question 7

Welcher Satz beschreibt am besten die Hauptaufgabe der Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Funktion liefert die momentane Änderungsrate der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Answer

Die Ableitung einer Funktion berechnet die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion über ein Intervall.

Answer

Die Ableitung einer Funktion bestimmt die Extrempunkte (Maxima und Minima) der Funktion.

Question 8

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die von der x-Achse, der y-Achse und der Parabel f(x) = x² im Intervall von 0 bis 2 eingeschlossen wird.

Accepted Answer

8/3

Answer

4/3

Answer

16/3

Question 9

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = (x² - 3x + 2) * e^x unter Verwendung der Produktregel.

Accepted Answer

(f'(x) = (2x - 3) * e^x + (x² - 3x + 2) * e^x)

Answer

(f'(x) = (x² - 3x + 2) * e^x + x * e^x)

Answer

(f'(x) = 2x * e^x - 3 * e^x + 2 * e^x)

Question 10

Welche Formel berechnet die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (a, f(a))?

Accepted Answer

f'(a)

Answer

f'(x)

Answer

(f(a) - f'(x)) / (a - x)

Answer

(f'(x) - f(a)) / (x - a)

Question 11

Bestimme die Steigung der Tangente an die Funktion f(x) = ln(x) im Punkt P(1, 0).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

e

Answer

-1

Question 12

Betrachte die Funktion (f(x) = |x - 2|). Zeichne den Graphen von (f(x)) und bestimme die Steigung der Tangente an einem beliebigen Punkt des Graphen.

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente ist an allen Punkten (x) mit (x < 2) gleich -1 und an allen Punkten (x) mit (x ≥ 2) gleich 1.

Answer

Die Steigung der Tangente ist an allen Punkten (x) gleich 1.

Answer

Die Steigung der Tangente ist an allen Punkten (x) gleich (x - 2).

Answer

Die Steigung der Tangente ist an allen Punkten (x) mit (x < 2) gleich 1 und an allen Punkten (x) mit (x ≥ 2) gleich -1.

Question 13

Gegeben sei eine zweimal differenzierbare Funktion f(x). Beweise, dass die Funktion g(x) = f(x)² eine nicht-negative zweite Ableitung besitzt.

Accepted Answer

Die erste Ableitung von g(x) ist 2f(x)f'(x) und die zweite Ableitung ist 2(f'(x))² + 2f(x)f''(x).

Answer

Die erste Ableitung von g(x) ist 2f(x) und die zweite Ableitung ist 2f'(x).

Answer

Die erste Ableitung von g(x) ist 2f'(x) und die zweite Ableitung ist 2f''(x).

Answer

Die zweite Ableitung von g(x) ist immer 0.

Question 14

Es sei f(x) eine differenzierbare Funktion mit positivem Graphen. Begründen Sie, dass der Graph von f(x) konkav nach oben ist, wenn f''(x) > 0 für alle x gilt.

Accepted Answer

Die Tangenten an den Graphen von f(x) werden mit wachsendem x immer steiler.

Answer

Die erste Ableitung f'(x) ist für alle x positiv.

Answer

Der Graph von f(x) liegt unterhalb der Tangente an den Graphen in jedem Punkt.

Answer

Die zweite Ableitung f''(x) ist für alle x negativ.

Question 15

Gegeben ist die Funktion $f(x) = e^{-x^2} + \ln(x + 1)$. Bestimme die x-Koordinate des Wendepunktes und gib seine Art an.

Accepted Answer

x = 0, Wendepunkt nach oben

Answer

x = 0, Wendepunkt nach unten

Answer

x = 1, Wendepunkt nach oben

Answer

x = 1, Wendepunkt nach unten

Question 16

Welches Integral repräsentiert die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = 2x und der x-Achse im Intervall [0, 5]?

Accepted Answer

∫[0, 5] 2x dx

Answer

∫[5, 0] 2x dx

Answer

∫[5, 0] -2x dx

Answer

∫[0, 5] -2x dx

Question 17

Welche Funktion besitzt eine horizontale Tangente im Punkt x = 3?

Accepted Answer

f(x) = x² - 9

Answer

f(x) = x³ - 6x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x - 3|

Question 18

Bestimme die Stammfunktion der Funktion f(x) = e^2x.

Accepted Answer

e^2x + C

Answer

x e^2x

Answer

e^2x

Answer

1/ e^2x

Question 19

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 20

Analysiere die Funktion j(x) = x^4 - 2x³ + x² - x auf ihr Monotonieverhalten, lokale Extrema und Wendepunkte.

Accepted Answer

j(x) hat ein lokales Maximum bei x = 0 und einen Wendepunkt bei x = 1/2.

Answer

j(x) steigt streng monoton an und hat weder lokale Extrema noch Wendepunkte.

Answer

j(x) hat ein lokales Minimum bei x = 0 und einen Wendepunkt bei x = 1.

Answer

j(x) fällt streng monoton ab und hat weder lokale Extrema noch Wendepunkte.

Question 21

Welches Verfahren ist am besten geeignet, um die Extrempunkte einer differenzierbaren Funktion f(x) auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] zu finden?

Accepted Answer

Ableitungsgleichung lösen

Answer

Zweite Ableitung berechnen

Answer

Grenzwerte an den Intervallgrenzen berechnen

Answer

Mittelwertsatz anwenden

Question 22

Zeige durch Anwendung der Differentialquotientendefinition, dass die Funktion f(x) = |x| für alle x differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.

Accepted Answer

f'(x) = { 1 für x > 0, -1 für x < 0 }

Answer

Die Funktion ist nicht differenzierbar.

Answer

f'(x) = |x|

Answer

f'(x) = 0

Question 23

Bestimme die Monotonie und mögliche Wendepunkte der Funktion **f(x) = x^4 - 3x³ + 2x² - 1**. Nenne die Koordinaten der Wendepunkte.

Accepted Answer

f(x) hat zwei Wendepunkte bei (-1, -3) und (1, 1).

Answer

f(x) ist streng monoton steigend.

Answer

f(x) hat keinen Wendepunkt.

Question 24

Besitzt die Funktion **f(x) = x^4 - 3x³ + 2x² - 1** an der Stelle **x = 1** einen Wendepunkt?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Die Funktion ist gerade, daher kann kein Wendepunkt vorliegen.

Answer

Die vorliegenden Informationen reichen nicht aus, um zu bestimmen, ob ein Wendepunkt vorliegt.

Question 25

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Satz von Rolle korrekt?

Accepted Answer

Wenn eine Funktion in einem abgeschlossenen Intervall stetig ist und im Inneren differenzierbar ist, dann gibt es mindestens eine Stelle im Inneren des Intervalls, an der die Ableitung den Mittelwert der Funktionswerte an den Intervallgrenzen annimmt.

Answer

Wenn eine Funktion in einem Intervall stetig ist, dann gibt es mindestens eine Stelle, an der die Ableitung Null ist.

Question 26

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

|x|

Answer

x^2

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Question 27

Welche der folgenden Substitutionen kann für das Integral ∫(x^2 + 1)/(x^3 + x) dx verwendet werden?

Accepted Answer

u = x^3 + x

Answer

u = x^2 + 1

Answer

u = x + 1

Answer

u = x

Question 28

Welche der folgenden Anwendungen von Differentialgleichungen ist im Bereich der Biologie relevant?

Accepted Answer

Modellierung von Populationswachstum

Answer

Analyse von Verkehrsflüssen

Answer

Vorhersage von Börsenkursen

Answer

Optimierung von Anlagestrategien

Question 29

Welche Aussage beschreibt die Ableitung einer Funktion (f(x))?

Accepted Answer

Der Grenzwert des Differenzenquotienten, der den momentanen Änderungsrate an einem Punkt darstellt.

Answer

Die Steigung der Sekante durch zwei beliebige Punkte auf der Kurve

Answer

Die Zunahme der Funktion pro Einheit

Answer

Die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion über ein Intervall

Question 30

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5.

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

x³ - 4x

Answer

3x - 4

Answer

x² - 2x

Question 31

Welche Ableitungsregel wird verwendet, um die Ableitung des Produkts zweier Funktionen f(x) und g(x) zu berechnen?

Accepted Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Answer

Summenregel

Answer

Quotientenregel

Question 32

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

x cos(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Question 33

Bestimme die Ableitung von f(x) = 3x² - 2x + 5. Berechne dabei den Differentialquotienten für einen beliebigen Wert h ≠ 0 und löse den Grenzwert lim (h->0) des Differentialquotienten.

Accepted Answer

f'(x) = 6x - 2

Answer

f'(x) = 6x² - 2x + 5

Answer

f'(x) = 6x

Answer

f'(x) = 3x - 2

Question 34

Ein Objekt bewegt sich entlang einer geraden Linie mit der Positionsfunktion s(t) = t² + 4t - 1, wobei s in Metern und t in Sekunden angegeben ist. Berechne die Geschwindigkeit des Objekts bei t = 3 Sekunden.

Accepted Answer

13 m/s

Answer

4 m/s

Answer

11 m/s

Question 35

Bestimme das unbestimmte Integral von f(x) = 2x + 3. Begründe deine Vorgehensweise.

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

2x + C

Answer

2x² + 3x + C

Answer

x² + C

Question 36

Berechne den Grenzwert von lim (x -> 2) (x² - 4) / (x - 2). Vereinfache die Funktion, bevor du den Grenzwert bestimmst.

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

0

Question 37

Welche Aussage über eine Funktion f(x) impliziert, dass sie konstant ist?

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) ist an allen Stellen Null.

Answer

Die Ableitung von f(x) an einer Stelle ist Null.

Answer

Der Graph von f(x) ist eine Gerade.

Answer

Die Stammfunktion von f(x) existiert.

Question 38

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x - 1. Wende dabei die Potenzregel der Ableitung an.

Accepted Answer

f '(x) = 3x² + 2

Answer

f '(x) = 3x - 2

Answer

f '(x) = x³ - 2x + 1

Answer

f '(x) = x² + 2

Question 39

Bestimme den Grenzwert von lim (x->∞) (2x³ - x² + 1)/(x² - 1). Wende dabei Grenzwertregeln an und vereinfache den Ausdruck nach Möglichkeit.

Accepted Answer

∞

Answer

2

Answer

1

Answer

-∞

Question 40

Bestimme das unbestimmte Integral von f(x) = sin(x) + cos(x). Erläutere deine Vorgehensweise.

Accepted Answer

-cos(x) + sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

1/e^x

Answer

x * e^x

Answer

e^x - C

Question 42

Wie lautet die asymptotische Entwicklung der Funktion f(x) = (1 - x)^-1 für x gegen 1?

Accepted Answer

1 + x + x² + x³ + ...

Answer

1 - x + x² - x³ + ...

Answer

1 - x - x² + x³ + ...

Answer

1 + x - x² + x³ + ...

Question 43

Welche Aussage über die Konvergenz der Reihe ∑(n=1 bis ∞) (n + 1)/(n³ + 2n² + 1) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert absolut.

Answer

Die Reihe konvergiert bedingt.

Answer

Die Reihe divergiert.

Question 44

Wie lautet die Taylorentwicklung der Funktion f(x) = sin(x) um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

x - x³/3! + x⁵/5! - ...

Answer

x + x³/2! + x⁵/4! - ...

Answer

x - x³/2! + x⁵/4! - ...

Answer

x + x³/3! + x⁵/5! - ...

Question 45

Welche Differentialgleichung beschreibt die exponentielle Funktion y = e^x?

Accepted Answer

y' - y = 0

Answer

y' + y = 0

Answer

y'' = e^x

Answer

y' = e^x

Question 46

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 1?

Accepted Answer

6x² - 10x + 3

Answer

2x² - 5x + 3

Answer

3x² - 5x + 1

Answer

6x - 10

Question 47

Welche Aussage über Grenzwerte ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann endlich oder unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann links- und rechtsseitig unterschiedlich sein.

Question 48

Welche der folgenden Funktionen hat keine Nullstelle?

Accepted Answer

x² + 2x + 1

Answer

x³ - 2x² + x - 2

Answer

2x² - 5x + 2

Answer

x² - 4

Question 49

Welche Differentialgleichung ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2xy = x

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y'y = x

Answer

y'' + y' = x

Question 50

Welche Funktion ist monoton fallend auf dem Intervall [-1,1]?

Accepted Answer

-x² + 2x - 1

Answer

x² - 4x + 2

Answer

x² - 2x + 1

Answer

-x² + 4x - 2

Question 51

Welche Funktion ist die Ableitung von f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x?

Accepted Answer

3x^2 + 4x - 5

Answer

3x^3 + 4x^2 - 5

Answer

x^4 + 2x^3 - 5x^2

Answer

x^2 + 4x - 5

Question 52

Die Funktion f(x) = ax² + bx + c hat im Punkt (2, 3) eine Tangente mit der Steigung -1. Bestimme den Wert von b.

Accepted Answer

-7

Answer

-1

Answer

7

Answer

1

Question 53

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 3x⁴ - 8x³ + 6x² ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat ein lokales Maximum bei x=8/3.

Answer

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei x=0.

Answer

Die Funktion hat einen Wendepunkt bei x=2.

Answer

Die Funktion hat keine lokalen Extrema.

Question 54

Bestimme die Fläche, die von der Kurve f(x) = sin(2x) zwischen x=0 und x=π/2 eingeschlossen wird.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0,5

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = e^-x ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist streng monoton fallend.

Answer

Die Funktion hat ein lokales Maximum bei x=0.

Answer

Die Funktion hat einen Wendepunkt bei x=0.

Answer

Die Funktion ist streng monoton steigend.

Question 56

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 57

Bestimme die Ableitung von f(x) = log₂(x).

Accepted Answer

1/(x*ln(2))

Answer

1/x

Answer

ln(2)*x

Question 58

Welche Aussage über die Ableitung einer Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung f'(x) gibt die momentane Änderungsrate der Funktion f(x) an.

Answer

Die Ableitung f'(x) gibt die Fläche unter dem Graphen von f(x) an.

Answer

Die Ableitung f'(x) gibt den Wert der Funktion f(x) an.

Question 59

Die Funktion f(x) = x³ - 3x² hat eine lokale Extremstelle bei x=1. Welche Aussage über die zweite Ableitung f''(x) bei x=1 ist korrekt?

Accepted Answer

f''(1) > 0

Answer

f''(1) ist nicht definiert.

Answer

f''(1) < 0

Answer

f''(1) = 0

Question 60

Welche der folgenden Funktionen hat die Stammfunktion ∫ f(x) dx = x⁴ + 2x² + 3?

Accepted Answer

f(x) = 4x³ + 4x + C

Answer

f(x) = 4x³ + 2x + C

Answer

f(x) = x⁴ + x² + 3

Question 61

Welche der folgenden Aussagen über das bestimmte Integral ∫[a,b] f(x) dx ist korrekt?

Accepted Answer

Es gibt den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x), der x-Achse und den Geraden x=a und x=b an.

Answer

Es gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an.

Answer

Es gibt den Wert der Funktion f(x) an.

Question 62

Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫[1,3] (2x + 1) dx.

Accepted Answer

8

Answer

12

Answer

6

Answer

10

Question 63

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2y = x

Answer

y'² + y = x

Answer

y' + y² = x

Answer

y'' + y' + y = x

Question 64

Die Funktion f(x) = e^x hat die Ableitung f'(x) = e^x. Welche Aussage über den Graphen von f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Der Graph hat keine Extremstellen.

Answer

Der Graph hat eine Wendepunktstelle bei x = 0.

Answer

Der Graph hat eine lokale Minimumstelle bei x = 0.

Answer

Der Graph hat eine lokale Maximumstelle bei x = 0.