Folgen und Reihen: Online-Quizze für Klasse 12 Gesamtschule

Question 1

Überprüfe, ob die alternierende Reihe ∑_(n=1)^∞ (-1)^n-1⋅(1/n) konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert nach dem Alternierenden Reihenkriterium.

Answer

Die Reihe konvergiert nach dem Majorantenkriterium.

Answer

Die Reihe divergiert nach dem Divergenzkriterium.

Answer

Die Reihe divergiert nach dem Quotientenkriterium.

Question 2

Begründe, dass die Folge (a_n) mit a_n = n² gegen unendlich divergiert. Nenne die entsprechende Grenzwertdefinition.

Accepted Answer

Für alle M > 0 existiert ein N > 0, sodass für alle n > N gilt: |a_n| > M.

Answer

Für alle M > 0 existiert ein N > 0, sodass für alle n > N gilt: |a_n| < M.

Answer

Für alle ε > 0 existiert ein N > 0, sodass für alle n > N gilt: |a_n - a| < ε.

Question 3

Erläutere, warum die Folge (a_n) mit a_n = (-1)ⁿ nach dem Folgenkriterium nicht konvergiert.

Accepted Answer

Die Folge wechselt zwischen zwei verschiedenen Werten und hat daher keinen Grenzwert.

Answer

Die Folge ist beschränkt, aber nicht konvergent.

Answer

Die Folge ist nicht monoton wachsend.

Answer

Die Folge ist nicht monoton fallend.

Question 4

Berechne den Grenzwert der Folge (a_n) mit a_n = (n + √n) / (n - √n) für n gegen unendlich.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

unendlich

Question 5

Begründen Sie, warum die Reihe ∑_(n=1)^∞ (n² + 1)/(n³ - 1) divergiert. Verwenden Sie dazu den Limit-Comparison-Test.

Accepted Answer

Option 1 Vergleichen Sie die Reihe mit der divergierenden Reihe ∑_(n=1)^∞ 1/n.

Answer

Option 2

Verwenden Sie den Quotienten-Test.

Answer

Option 3

Nutzen Sie den Wurzelt-Test.

Answer

Option 4

Diese Reihe konvergiert.

Question 6

Konstruiere eine Folge (a_n), die der Cauchy-Bedingung genügt, aber nicht konvergiert. Erläutere deine Vorgehensweise.

Accepted Answer

(a_n) = 1 + (-1)ⁿ

Answer

(a<sub>n</sub>) = n

Answer

(a_n) = 1/n

Answer

(a_n) = sin(n)

Question 7

Betrachte die Reihe ∑_(n=1)^∞ (1/2)ⁿ ⋅ cos(nπ/2). Nutze eine geometrische Darstellung, um zu bestimmen, ob die Reihe konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert, da die geometrische Reihe einen Quotienten kleiner als 1 hat.

Answer

Die Reihe divergiert, da die Folge der Summanden nicht gegen 0 konvergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert nicht, da die Folge der Summanden nicht alternierend ist.

Question 8

Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (a_n) mit a_n = (n² - 5n + 6) / (n² - 4n + 3) gegen 1 mithilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums.

Accepted Answer

Zeigen Sie, dass für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass |a_n - 1| < ε für alle n > δ gilt.

Answer

Beweisen Sie, dass die Folge monoton ist und obere und untere Schranken besitzt.

Answer

Bestimmen Sie den Grenzwert von a_n mithilfe der L'Hôpital-Regel.

Answer

Berechnen Sie den Grenzwert von a_n durch Entwicklung der Folge in eine Potenzreihe.

Question 9

Überprüfe mithilfe des Leibniz-Kriteriums, ob die Reihe ∑ (-1)^(n-1) * 1/n konvergiert.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert, da die Folge der Absolutbeträge der Summanden monoton fallend ist und gegen Null konvergiert.

Answer

Die Reihe divergiert, da die Folge der Summanden nicht alternierend ist.

Answer

Die Reihe konvergiert, da die Summe der ersten n Summanden für jedes n positiv ist.

Answer

Die Reihe divergiert, da der Grenzwert der Folge der Summanden nicht existiert.

Question 10

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe $sum_{n=0}^{infty} rac{(-1)^n x^n}{n^2+1}$

Accepted Answer

unendlich

Answer

1

Answer

2

Question 11

Überprüfe die Konvergenz der alternierenden Reihe ∑_(n=1)^∞ (-1)ⁿ·(√n / (n² + 1)).

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert bedingt.

Answer

Die Reihe konvergiert absolut.

Answer

Die Reihe divergiert.

Question 12

Beweisen Sie unter Verwendung der ε-δ-Definition, dass die Funktion f(x) = x² an der Stelle x = 1 stetig ist.

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit |x - 1| < δ gilt: |f(x) - f(1)| < ε.

Answer

Für jedes δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass für alle x mit |f(x) - f(1)| < ε gilt: |x - 1| < δ.

Answer

Für alle x gilt: |f(x) - f(1)| = |x² - 1| = |(x - 1)(x + 1)| = |x - 1| · |x + 1|.

Answer

Die Funktion f(x) = x² ist an allen Stellen stetig.

Question 13

Ist die Folge (a_n) mit a_n = (n² - 1) / (n² + 1) beschränkt? Begründe deine Antwort.

Accepted Answer

Ja, die Folge ist beschränkt, da ihr Absolutwert für alle n kleiner als 1 ist.

Answer

Nein, die Folge ist nicht beschränkt, da sie zwischen -1 und 1 liegt.

Answer

Nein, die Folge ist nicht beschränkt, da ihr Grenzwert nicht existiert.

Answer

Nein, die Folge ist nicht beschränkt, da sie divergiert.

Question 14

Untersuchen Sie, ob die Reihe ∑_(n=1)^∞ (1/n)⋅cos(nπ/2) konvergiert oder divergiert. Begründen Sie Ihre Antwort.

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Divergent

Answer

Unbestimmt

Question 15

Untersuche, ob die Funktion f(x) = (x² + |x| - 2) / (x - 1) an der Stelle x = 1 stetig ist.

Accepted Answer

Ja, denn der Grenzwert von f(x) für x gegen 1 existiert und ist gleich dem Funktionswert an der Stelle 1.

Answer

Nein, denn f(1) ist nicht definiert.

Answer

Nein, denn der Graph von f(x) hat an der Stelle x = 1 einen Sprung.

Question 16

Ermitteln Sie den Grenzwert der Folge a_n = (n^2 - 1) / (n^2 + 2).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

1/2

Answer

unendlich

Question 17

Bestimmen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Reihe Summe von n=1 bis unendlich von (n + 1) / (2n - 1).

Accepted Answer

Divergent

Answer

Konvergent

Answer

Bedingt konvergent

Answer

Unbedingt konvergent

Question 18

Verwenden Sie die Integralrechnung, um den Grenzwert der Folge a_n = (1 + 1/n)^n zu berechnen.

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 19

Welche der folgenden Aussagen ist über die Folge b_n = n^(-1/n) richtig?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen 0.

Answer

Sie divergiert gegen unendlich.

Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Answer

Sie oszilliert zwischen 0 und 1.

Question 20

Welche der folgenden Folgen ist eine geometrische Folge?

Accepted Answer

a_n = 2^n

Answer

a_n = n + 1

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = n!

Question 21

Welche Aussage über konvergente Folgen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie besitzen einen endlichen Grenzwert.

Answer

Ihre Teilabschnitte sind ausschließlich monoton steigend oder fallend.

Answer

Ihre Teilabschnitte können sowohl steigend als auch fallend sein.

Answer

Sie sind stets nicht beschränkt.

Question 22

Berechne die Taylor-Reihe zweiter Ordnung für die Funktion ( f(x) = e^x ) um den Entwicklungspunkt ( x = 0 ).

Accepted Answer

1 + x + x²/2

Answer

1 + x + x²

Answer

1 + 2x + 3x²

Answer

1 + x - x²/2

Question 23

Welche Aussage über die Restgliedabschätzung der Taylor-Formel ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist lediglich eine Annäherung an den tatsächlichen Restgliedwert.

Answer

Sie ist stets kleiner als der tatsächliche Restgliedwert.

Answer

Sie ist stets größer als der tatsächliche Restgliedwert.

Answer

Sie ist stets gleich dem tatsächlichen Restgliedwert.

Question 24

Welche der folgenden Funktionen lässt sich nicht als Potenzreihe darstellen?

Accepted Answer

( f(x) = sqrt{x} )

Answer

( f(x) = sin(x) )

Answer

( f(x) = cos(x) )

Answer

( f(x) = e^x )

Question 25

Überprüfen Sie, ob die Doppelreihe (sumlimits_{(m=1)}^{infty} sumlimits_{(n=1)}^{infty} rac{m}{n^3 + m}) konvergiert.

Accepted Answer

Die Doppelreihe konvergiert.

Answer

Die Doppelreihe divergiert.

Answer

Die Konvergenz der Doppelreihe kann nicht bestimmt werden.

Answer

Die Doppelreihe konvergiert bedingt.

Question 26

Überprüfen Sie, ob die Funktion f(x) = {x² + |x| - 2, falls x ≠ 1, 1, falls x = 1} an der Stelle x = 1 stetig ist.

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 stetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 unstetig vom Typ 1. Art.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 unstetig vom Typ 2. Art.

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über die geometrische Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Die geometrische Reihe konvergiert nur für $|r| < 1$.

Answer

Die geometrische Reihe konvergiert nur für $|r| > 1$.

Answer

Die geometrische Reihe konvergiert nur für $r = 0$.

Question 28

Welche der folgenden Aussagen über die Cauchy-Folge ist falsch?

Accepted Answer

Eine Cauchy-Folge ist beschränkt.

Answer

Eine konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

Question 29

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge $a_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1}$

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

$infty$

Question 30

Welche der folgenden Folgen ist eine Nullfolge?

Accepted Answer

$a_n = \frac{1}{n}$

Answer

$a_n = n^2$

Question 31

Konvergiert die Doppelreihe ∑_m=1^∞∑_n=1^∞ (1/(m² + n³))?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Unbekannt

Question 32

Die Folge {a_n} ist gegeben durch a_n = n² - 1. Welches Verhalten zeigt diese Folge?

Accepted Answer

Die Folge divergiert gegen unendlich.

Answer

Die Folge ist alternierend.

Answer

Die Folge konvergiert gegen -1.

Answer

Die Folge konvergiert gegen 0.

Question 33

Betrachte die Folge {a_n} mit a_n = (-1)^n. Was ist der Grenzwert dieser Folge?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

-1

Answer

0

Answer

1

Question 34

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/2)^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/n

Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n/n

Question 35

Bestimme den Grenzwert der Folge {a_n} mit a_n = ((-1)^n + 1)/2.

Accepted Answer

1/2

Answer

-1/2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

0

Question 36

Die geometrische Folge {a_n} hat das erste Glied a_1 = 1 und den Quotienten q = 2. Welche der folgenden Aussagen über diese Folge ist falsch?

Accepted Answer

Die Folge ist monoton fallend.

Answer

Die Summe der ersten n Glieder der Folge beträgt (2^n - 1).

Answer

Die Folge konvergiert nicht gegen null.

Answer

Der Grenzwert der Folge ist unendlich.

Question 37

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n/n

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/2^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/n^2

Question 38

Eine geometrische Folge hat das erste Glied 3 und den Quotienten 1/2. Wie lautet das allgemeine Glied dieser Folge?

Accepted Answer

a_n = 3 * (1/2)^(n-1)

Answer

a_n = 3 - (1/2)^(n-1)

Answer

a_n = 3 * (2)^(n-1)

Answer

a_n = 3 + (1/2)^(n-1)

Question 39

Welche Aussage ist NICHT korrekt für eine konvergente Reihe?

Accepted Answer

Die Summe der Reihe ist unendlich.

Answer

Die Folge der Partialsummen konvergiert.

Answer

Die Differenz aufeinanderfolgender Partialsummen konvergiert gegen Null.

Answer

Die Reihe ist beschränkt.

Question 40

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?  Eine geometrische Reihe ist eine Reihe, bei der jedes Glied das vorherige Glied mit einem konstanten Faktor multipliziert wird.

Accepted Answer

∑_{n=0}^∞ (1/2)^n

Answer

∑_{n=0}^∞ n

Answer

∑_{n=0}^∞ 1/(n+1)

Answer

∑_{n=0}^∞ n^2

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x? Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ist.

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x * e^x

Answer

1/e^x

Question 42

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe? Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, bei der die Vorzeichen der Glieder abwechselnd positiv und negativ sind.

Accepted Answer

∑_{n=1}^∞ (-1)^n / n

Answer

∑_{n=1}^∞ e^(-n)

Answer

∑_{n=1}^∞ 1/n

Answer

∑_{n=1}^∞ n^2

Question 43

Welche der folgenden Folgen konvergiert NICHT? Eine Folge konvergiert, wenn sie sich einem bestimmten Grenzwert nähert, wenn n gegen unendlich geht.

Accepted Answer

a_n = sin(n)

Answer

a_n = e^(-n)

Answer

a_n = 1/n^2

Answer

a_n = 1/(2n + 1)

Question 44

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen 0? Eine Folge konvergiert gegen 0, wenn sie sich dem Wert 0 nähert, wenn n gegen unendlich geht.

Accepted Answer

a_n = 1/n

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = n

Answer

a_n = 2^n

Question 45

Welche der folgenden Reihen konvergiert? Eine Reihe konvergiert, wenn die Summe ihrer Glieder einen endlichen Wert annimmt.

Accepted Answer

∑(1/n^2)

Answer

∑(n)

Answer

∑(1/n)

Question 46

Was ist der Grenzwert der Folge a_n = (n^2 + 1) / (n^2 - 1)? Der Grenzwert einer Folge ist der Wert, dem sich die Folge nähert, wenn n gegen unendlich geht.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

∞

Answer

0

Question 47

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe? Eine geometrische Reihe ist eine Reihe, bei der jedes Glied das vorherige Glied mit einem konstanten Faktor multipliziert wird.

Accepted Answer

∑(2^n/3^n)

Answer

∑(1/n)

Answer

∑(n^2)

Answer

∑((-1)^n/n)

Question 48

Welcher Wert wird durch die Reihe ∑(1/2^n) dargestellt? Diese Reihe ist eine geometrische Reihe mit einem konstanten Faktor von 1/2.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

2

Question 49

Welche der folgenden Aussagen über die Folge a_n = (-1)^n ist korrekt?

Accepted Answer

Die Folge ist alternierend und begrenzt, aber nicht konvergent.

Answer

Die Folge konvergiert gegen 0.

Answer

Die Folge divergiert.

Answer

Die Folge ist monoton wachsend.

Question 50

Welches Integral kann verwendet werden, um die Konvergenz der Reihe ∑(1/n^2) zu untersuchen?

Accepted Answer

∫(1/x^2) dx von 1 bis ∞

Answer

∫(x^2) dx von 1 bis ∞

Answer

∫(1/x) dx von 1 bis ∞

Answer

∫(1/x^3) dx von 1 bis ∞

Question 51

Welche der folgenden Reihen ist eine Teleskopreihe?

Accepted Answer

∑(1/(n(n+1)))

Answer

∑((-1)^n/n)

Answer

∑(1/n)

Answer

∑(n^2)

Question 52

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe ∑((-1)^n/n) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe ist konvergent, aber nicht absolut konvergent.

Answer

Die Reihe ist divergent.

Answer

Die Reihe ist absolut konvergent.

Question 53

Welches Verfahren kann verwendet werden, um die Summe der Reihe ∑(1/n^2) zu approximieren?

Accepted Answer

Partialsummen

Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Integralvergleichskriterium

Question 54

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen 0?

Accepted Answer

a_n = 1/n

Answer

a_n = 2^n

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = n

Question 55

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑ (1/n^2)

Answer

∑ (-1)^n

Answer

∑ (1/n)

Answer

∑ n

Question 56

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a_n = (n^2 + 1)/(n^2 - 1).

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

∞

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über die geometrische Reihe ∑ (1/2)^n ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert gegen 1.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 2.

Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 0.

Question 58

Berechnen Sie die Summe der unendlichen geometrischen Reihe ∑ (1/3)^n.

Accepted Answer

3/2

Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

1

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe ∑ (n/n+1)^n ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen ∞.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 1.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 0.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe ∑ (n^2)/n! ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 0.

Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe oszilliert.

Question 61

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a_n = (n+1)/n.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

∞

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe ∑ (-1)^n/n ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert bedingt.

Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert absolut.

Answer

Die Reihe oszilliert.

Question 63

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a_n = (n² + 1) / (n² - 1) für n → ∞.

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Answer

-1

Question 64

Welche der folgenden Reihen ist **konvergent**?

Accepted Answer

∑_n=1^∞ (1/2)ⁿ

Answer

∑_n=1^∞ 1

Answer

∑_n=1^∞ (-1)ⁿ

Answer

∑_n=1^∞ n