Analyse lernen: Online-Quizze und Übungen für Klasse 11 Gesamtschule

Question 1

Die Folge **a_n = (-1)^n** beschreibt das Verhalten einer Folge. Erkläre, warum diese Folge nicht konvergiert.

Accepted Answer

Die Folge schwankt zwischen -1 und 1 und hat keinen Grenzwert.

Answer

Die Folge wechselt zwischen -1 und 1 und nähert sich 0.

Answer

Die Folge nähert sich dem Wert 1.

Question 2

Definiere den Grenzwert einer Funktion an einer Stelle und berechne den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) an der Stelle a ist L, wenn für jedes positive ε ein δ > 0 existiert, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt: |f(x) - L| < ε.

Answer

Der Grenzwert von f(x) an der Stelle a ist L, wenn für alle x gilt: f(x) = L.

Answer

Der Grenzwert von f(x) an der Stelle a ist L, wenn für alle x außer a gilt: f(x) = L.

Question 3

Beweise mithilfe des Cauchy-Folge-Kriteriums, ob die Folge (a_n) mit (a_n = rac{n}{n+1}) konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Die Folge konvergiert gegen 0.

Answer

Die Folge divergiert gegen +∞.

Answer

Die Folge divergiert gegen -∞.

Question 4

Nennen Sie eine Funktion, die an einer Stelle stetig, aber nicht differenzierbar ist. Erklären Sie Ihre Wahl.

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 5

Aufgabe:

Überprüfe, ob die Reihe (sum_{n=1}^{infty} rac{n^2}{2^n}) nach dem Quotientenkriterium konvergiert.

Accepted Answer

Antwort A:

Die Reihe konvergiert, da (lim_{n	oinfty} rac{a_{n+1}}{a_n} = 0).

Answer

Antwort B:

Die Reihe divergiert, da (lim_{n	oinfty} rac{a_{n+1}}{a_n} = infty).

Answer

Antwort C:

Das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar, da die Reihe alternierend ist.

Answer

Antwort D:

Das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar, da der Limes des Quotienten nicht existiert.

Question 6

Überprüfe die Stetigkeit der Funktion (f(x) = egin{cases} x^2 & 		ext{für}  x ≤ 1  2x & 		ext{für}  x > 1 end{cases}) im Intervall [0, 2].

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 1 unstetig.

Answer

Die Funktion ist im Intervall [0, 2] stetig.

Answer

Die Funktion ist an den Stellen x = 0 und x = 1 unstetig.

Answer

Die Funktion ist im Intervall (0, 2) stetig.

Question 7

Sei f(x) = x³ - 4x² + 3x - 2. Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass es mindestens eine Nullstelle von f(x) im Intervall [0, 2] gibt.

Accepted Answer

Berechnen Sie f(0) und f(2) und wenden Sie den Zwischenwertsatz an.

Answer

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) und wenden Sie den Satz von Rolle an.

Answer

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) für x gegen unendlich und wenden Sie den Satz von Bolzano-Weierstraß an.

Answer

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) für x gegen 0 und wenden Sie den Satz von Heine an.

Question 8

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe $$sum_{n=1}^infty rac{(-1)^{n+1}n}{n^2+1}$$.

Accepted Answer

Die Reihe ist sowohl absolut als auch relativ konvergent.

Answer

Die Reihe ist absolut konvergent, aber nicht relativ konvergent.

Answer

Die Reihe ist relativ konvergent, aber nicht absolut konvergent.

Answer

Die Reihe ist weder absolut noch relativ konvergent.

Question 9

Was bedeutet die Konvergenzbedingung des Cauchy-Folge-Kriteriums?

Accepted Answer

Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert, wenn der Abstand zwischen beliebigen Folgengliedern beliebig klein werden kann, wenn man weit genug in der Folge betrachtet.

Answer

Die Konvergenzbedingung ist notwendig und ausreichend für die Konvergenz einer Folge.

Answer

Die Konvergenzbedingung gilt nur für monoton wachsende Folgen.

Answer

Eine Folge, die die Konvergenzbedingung erfüllt, konvergiert immer gegen den Grenzwert 0.

Question 10

Um zu zeigen, dass die Funktion (f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1) mindestens eine Nullstelle im Intervall [0, 1] hat, verwenden Sie den Zwischenwertsatz. Wie gehen Sie dabei vor?

Accepted Answer

Berechnen Sie (f(0)) und (f(1)) und wenden Sie den Zwischenwertsatz an.

Answer

Zeigen Sie, dass (f(x)) auf [0, 1] stetig ist, und wenden Sie den Satz von Rolle an.

Answer

Berechnen Sie die Ableitung von (f(x)) und wenden Sie den Mittelwertsatz an.

Answer

Berechnen Sie das Integral von (f(x)) und wenden Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an.

Question 11

Nenne eine Funktion, die an keiner Stelle differenzierbar, aber überall stetig ist. Erkläre auch die geometrische Bedeutung dieses Beispiels.

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 12

Untersuche die Funktion f(x) = |x - 1| an der Stelle x = 1. Ist sie dort differenzierbar und/oder stetig?

Accepted Answer

Stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

Differenzierbar und stetig

Answer

Differenzierbar, aber nicht stetig

Answer

Weder differenzierbar noch stetig

Question 13

Überprüfe anhand des direkten Vergleichskriteriums, ob die Reihe ∑(n=1 bis unendlich) ((n + 1) / (n² - 1)) konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Konvergiert, da der Grenzwert der Vergleichsreihe (n²) / (n²) = 1 größer als 0 ist und die gegebene Reihe elementweise kleiner als die Vergleichsreihe ist.

Answer

Konvergiert, da der Grenzwert der Vergleichsreihe 1 / ∞ = 0 kleiner als 1 ist.

Answer

Divergiert, da der Grenzwert der Vergleichsreihe (n²) / (n²) = 1 größer als 0 ist.

Answer

Divergiert, da der Grenzwert der Vergleichsreihe 1 / ∞ = 0 kleiner als 1 ist.

Question 14

Welche Funktion ist an einem Punkt differenzierbar, aber dort nicht stetig? Begründe deine Wahl.

Accepted Answer

$f(x) = |x|$ bei $x=0$

Answer

$f(x) = x^2$ bei $x=0$

Answer

$f(x) = 1/x$ bei $x=0$

Answer

$f(x) = e^x$ bei $x=0$

Question 15

Beweise mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass die Funktion (f(x) = x^4 - 2x^2 + 3) mindestens eine Nullstelle im Intervall ([-1, 1]) besitzt.

Accepted Answer

Bestimme die Funktionswerte (f(-1)) und (f(1)) und wende den Zwischenwertsatz an.

Answer

Zeige, dass (f(x)) im Intervall ([-1, 1]) stetig ist.

Answer

Erstelle eine Wertetabelle für (f(x)) im Intervall ([-1, 1]) und interpoliere die Nullstelle.

Question 16

Überprüfe die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0.

Accepted Answer

Stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

Stetig und differenzierbar

Answer

Nicht stetig und nicht differenzierbar

Answer

Nicht stetig, aber differenzierbar

Question 17

Frage: Beweisen Sie anhand des Majorantenkriteriums die Konvergenz der Reihe $$sum limits_{n = 1}^{∞} rac{n^2}{2^n}$$.

Accepted Answer

Antwort C: Die Reihe konvergiert, da sie mit der divergierenden geometrischen Reihe $$sum limits_{n = 1}^{∞} rac{1}{2^n}$$ majorisiert werden kann.

Answer

Antwort A: Die Reihe konvergiert, da der Zähler langsamer wächst als der Nenner.

Answer

Antwort B: Die Reihe konvergiert, da der Grenzwert des allgemeinen Terms gegen 0 geht.

Answer

Antwort D: Die Reihe konvergiert, da sie monoton wachsend ist.

Question 18

Überprüfe die Konvergenz der Folge $$a_n = \frac{n}{n+1}$$ mit dem Cauchyschen Folgekriterium.

Accepted Answer

Für jedes $$varepsilon > 0$$ gibt es ein $$N in ℕ$$, sodass für alle $$m, n > N$$ gilt $$|a_m - a_n| < varepsilon$$.

Answer

Für jedes $$varepsilon > 0$$ gibt es ein $$N in ℕ$$, sodass für alle $$n in ℕ$$ gilt $$|a_n| < varepsilon$$.

Answer

Für jedes $$varepsilon > 0$$ gibt es ein $$N in ℕ$$, sodass für alle $$n in ℕ$$ gilt $$|a_{n+1} - a_n| < varepsilon$$.

Answer

Für jedes $$varepsilon > 0$$ gibt es ein $$N in ℕ$$, sodass für alle $$n > N$$ gilt $$|a_n| > varepsilon$$.

Question 19

Frage: Sei $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Bestimmen Sie den Grenzwert von $f(x)$ für $x$ gegen unendlich mit Hilfe einer Termumformung.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

unbestimmt

Answer

-1

Question 20

Untersuche die Monotonie und Beschränktheit der Funktion f(x) = |x^2 - 1| im Intervall [-1, 1].

Accepted Answer

Monoton steigend auf [-1,0], monoton fallend auf [0,1] und beschränkt

Answer

Monoton steigend und beschränkt

Answer

Monoton fallend und beschränkt

Answer

Monoton steigend und unbeschränkt

Question 21

Überprüfe die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der stückweise definierten Funktion f(x) an der Stelle x = 0:
f(x) = { x² für x ≤ 0
        e^x für x > 0

Accepted Answer

Stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

Stetig und differenzierbar

Answer

Nicht stetig und nicht differenzierbar

Answer

Differenzierbar, aber nicht stetig

Question 22

Analysieren Sie die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion f(x) = {e^x für x ≥ 0, -e^x für x < 0} auf ihrem Definitionsbereich.

Accepted Answer

Stetig für alle x, aber nicht differenzierbar an der Stelle x = 0

Answer

Stetig und differenzierbar für alle x

Answer

Weder stetig noch differenzierbar für alle x

Answer

Monoton wachsend für alle x

Question 23

Besitzt die Funktion f(x) = (x³ - 8) / (x² - 4) eine Definitionslücke bei x = 2? Wenn ja, welcher Typ von Lücke liegt vor?

Accepted Answer

Hebbare Lücke

Answer

Sprunghafte Lücke

Answer

Definitionslücke vom Typ unendlich

Answer

Keine Definitionslücke

Question 24

Ermitteln Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

-1

Answer

0

Answer

unendlich

Question 25

Berechnen Sie die Summe der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

2

Answer

unendlich

Answer

1/2

Answer

die Reihe konvergiert nicht

Question 26

Berechnen Sie das Integral von f(x) = e^x + sin(x).

Accepted Answer

e^x - cos(x) + C

Answer

e^x + cos(x) + C

Answer

(1 / e) * e^x + (-1 / sin) * sin(x) + C

Answer

e^x * sin(x) + C

Question 27

Welcher Konvergenztest ist für die Reihe ∑_n=1^∞ n/(n+1)² geeignet?

Accepted Answer

Quotientenkriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Majorantenkriterium

Answer

Minorantenkriterium

Question 28

Welche Aussage über die geometrische Reihe ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie konvergiert nur für |x|<1

Answer

Sie konvergiert für alle Werte von x

Answer

Sie konvergiert nur für |x|>1

Answer

Sie konvergiert immer

Question 29

Welche Aussage zur Ableitung einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Sie gibt die Steigung der Tangente an

Answer

Sie gibt das Maximum der Funktion an

Answer

Sie gibt das Minimum der Funktion an

Answer

Sie gibt den Wendepunkt der Funktion an

Question 30

Überprüfen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Reihe (sum_{n=1}^{infty} rac{cos(n)}{n^2+1}). Begründen Sie Ihre Antwort.

Accepted Answer

Die Reihe ist konvergent, da (|cos(n)| leq 1) für alle (n) und (rac{1}{n^2+1} 	o 0) für (n 	o infty).

Answer

Die Reihe ist divergent, da (|cos(n)| geq 1) für alle (n).

Answer

Die Reihe ist alternierend, da die Glieder abwechselnd positiv und negativ sind.

Answer

Die Reihe ist monoton wachsend, da die Glieder positiv sind.

Question 31

Überprüfe, ob die Funktion f(x) = { x+1 für x ≤ 1, x² für x > 1 } stetig und differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich ist.

Accepted Answer

f(x) ist stetig, aber nicht differenzierbar an x = 1.

Answer

f(x) ist stetig und differenzierbar auf ihrem gesamten Definitionsbereich.

Answer

f(x) ist weder stetig noch differenzierbar.

Answer

f(x) ist differenzierbar, aber nicht stetig an x = 1.

Question 32

Untersuchen Sie, ob die Funktion f(x) an der Stelle x = 0 stetig und differenzierbar ist.

f(x) = {
0 für x < 0
x² für x = 0
e^x für x > 0
}

Accepted Answer

Stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

Stetig und differenzierbar

Answer

Nicht stetig

Answer

Differenzierbar, aber nicht stetig

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Sie beschreiben das Verhalten einer Funktion an einem Punkt, dem sie sich beliebig annähern kann, ohne ihn zu erreichen.

Answer

Sie existieren nur für stetige Funktionen.

Answer

Sie geben den genauen Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt an.

Question 34

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/n²)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (e^n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (cos(n))

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n)

Question 35

Was beschreibt die Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Sie gibt die momentane Änderungsrate der Funktion an.

Answer

Sie ist immer negativ.

Answer

Sie ist identisch mit der Stammfunktion.

Answer

Sie wird nur für lineare Funktionen verwendet.

Question 36

Welche Methode wird verwendet, um die Fläche unter einer Kurve zu berechnen?

Accepted Answer

Integralrechnung

Answer

Trigonometrie

Answer

Differenzierung

Question 37

Was gibt ein bestimmtes Integral an?

Accepted Answer

Den Flächeninhalt zwischen der Kurve und der x-Achse in einem bestimmten Intervall.

Answer

Die Ableitung der Funktion.

Answer

Den Wert der Funktion an einem Punkt.

Question 38

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen 0?

Accepted Answer

a_n = 1 / (n + 1)^2

Answer

a_n = n

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = n^2 + 1

Question 39

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

a_n = 3^n

Answer

a_n = n + 1

Answer

a_n = 1 / n^2

Answer

a_n = n^2 + 1

Question 40

Welcher der folgenden Ausdrücke ist der Grenzwert der Funktion f(x) = x² für x gegen unendlich?

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

x

Answer

1

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über Stetigkeit ist zutreffend?

Accepted Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Funktionswert an dieser Stelle existiert und der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Graph an dieser Stelle keine Lücke hat.

Question 42

Welche der folgenden Folgen ist konvergent?

Accepted Answer

(1/2)^n

Answer

(2^n)

Answer

n² + 1

Question 43

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

|x|

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

x³

Question 44

Bestimme die Summe der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/32.

Accepted Answer

15/16

Answer

2

Answer

1

Answer

unendlich

Question 45

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x.

Accepted Answer

3x^2 - 2

Answer

x^3 - 2x^2

Answer

2x^2 - 3

Answer

x^2 - 2x

Question 46

Bestimme das bestimmte Integral von f(x) = 2x^2 + 3x - 1 auf dem Intervall [0, 2].

Accepted Answer

20/3

Answer

30/3

Answer

10/3

Answer

unendlich

Question 47

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x^2 + 1).

Accepted Answer

2x/(x^2 + 1)

Answer

(x^2 - 1)/x

Answer

2x/x^2

Answer

1/(x^2 + 1)

Question 48

Welcher der folgenden Ausdrücke repräsentiert einen Grenzwert?

Accepted Answer

lim (x -> 2) (x³ - 8)

Answer

f(x) = x³ + 2x

Answer

(d/dx) (sin(x))

Answer

∫ (x² - 1) dx

Question 49

Welche Aussage über eine stetige Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Ihr Graph besitzt keine abrupten Sprünge.

Answer

Sie ist an jeder Stelle differenzierbar.

Answer

Ihre Graphen sind stets Geraden.

Answer

Sie hat an jedem Punkt einen maximalen Wert.

Question 50

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen 0?

Accepted Answer

aₙ = 1/n

Answer

aₙ = (−1)^n

Answer

aₙ = cos(n)

Answer

aₙ = n

Question 51

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑ (1/n³)

Answer

∑ (1/n)

Answer

∑ (sin(n))

Answer

∑ n

Question 52

Welche Funktion hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x⁴ - 4x² + 2

Answer

f(x) = x³ - 2x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x² + 3

Question 53

Welches Integral ergibt die Funktion f(x) = x³ + x² - 2?

Accepted Answer

∫ (x³ + x² - 2) dx = (x⁴)/4 + (x³)/3 - 2x + C

Answer

∫ (x³ + x² - 2) dx = x⁴ + x³ - 2x + C

Answer

∫ (x³ + x² - 2) dx = 3x² + 2x - 2 + C

Question 54

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = eˣ?

Accepted Answer

F(x) = eˣ + C

Answer

F(x) = log(eˣ) + C

Answer

F(x) = 1/eˣ + C

Answer

F(x) = x * eˣ + C

Question 55

Welche Aussage trifft auf die Folge ((a_n) = rac{n}{n+1}) zu?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Answer

Sie divergiert gegen 1.

Answer

Sie divergiert gegen 0.

Answer

Sie alterniert.

Question 56

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

(sum_{n=1}^infty rac{1}{2^n})

Answer

(sum_{n=1}^infty rac{n}{n+1})

Answer

(sum_{n=1}^infty (-1)^n)

Answer

(sum_{n=1}^infty n^2)

Question 57

Welches Kriterium kann verwendet werden, um die Konvergenz einer alternierenden Reihe zu überprüfen?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Vergleichskriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 58

Gibt die Ableitung der Funktion (f(x) = x^3 - 2x + 1) an.

Accepted Answer

(3x^2 - 2)

Answer

(x^3 - 1)

Answer

(3x - 2)

Answer

(1)

Question 59

Welcher Satz garantiert, dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall beschränkt ist?

Accepted Answer

Satz von Weierstraß

Answer

Satz der Extremwerte

Answer

Satz von Taylor

Answer

Satz von Rolle

Question 60

Welche Eigenschaft trifft auf den Graphen der Funktion (f(x) = rac{1}{x}) zu?

Accepted Answer

Er besitzt eine vertikale Asymptote bei (x = 0).

Answer

Er besitzt einen Wendepunkt bei ((1, 1)).

Answer

Er schneidet die (y)-Achse bei ((0, 1)).

Answer

Er ist symmetrisch zur (x)-Achse.

Question 61

Die Folge a_n = 1/n konvergiert gegen welchen Wert?

Accepted Answer

0

Answer

∞

Answer

Die Folge konvergiert nicht.

Answer

1

Question 62

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** stetig bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e<sup>x</sup>

Answer

f(x) = sin(x)

Question 63

Die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... konvergiert gegen welchen Wert?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

∞

Answer

Die Reihe konvergiert nicht.

Question 64

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = cos(x) + sin(x)

Answer

f'(x) = sin(x) / cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)