Komplexe Zahlen: Verstehen, Rechnen und Anwenden

Question 1

Schreibe die komplexe Zahl **5(cos(π/3) + i sin(π/3))** in ihrer algebraischen Form.

Accepted Answer

5(1 + √3i/2)

Answer

5

Answer

5(1 - √3i/2)

Question 2

Wie sieht die geometrische Darstellung der Menge aller komplexen Zahlen mit einem Betrag von 2 in der Gaußschen Zahlenebene aus?

Accepted Answer

Ein Kreis mit Radius 2 um den Ursprung

Answer

Eine Gerade parallel zur x-Achse im Abstand 2

Answer

Eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung

Answer

Eine Hyperbel mit Brennpunkten im Ursprung

Question 3

Welche geometrische Figur entsteht, wenn man alle komplexen Zahlen mit dem Abstand **r** zum Ursprung betrachtet?

Accepted Answer

Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius **r**

Answer

Gerade durch den Ursprung mit Steigung **r**

Answer

Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung

Answer

Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung

Question 4

Wie lautet das Produkt zweier komplexer Zahlen in trigonometrischer Form? Begründe deine Antwort.

Accepted Answer

Das Produkt ist gleich dem Produkt der Beträge und der Summe der Argumente.

Answer

Das Produkt ist gleich dem Quotienten der Beträge und der Differenz der Argumente.

Answer

Das Produkt ist gleich der Summe der Beträge und dem Produkt der Argumente.

Answer

Das Produkt ist gleich der Differenz der Beträge und dem Quotienten der Argumente.

Question 5

Beweisen Sie, dass die Menge aller komplexen Zahlen mit dem Betrag 1 einen Kreis in der Gaußschen Zahlenebene bildet.

Accepted Answer

Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht ihrem Abstand zum Ursprung in der Gaußschen Zahlenebene.

Answer

Die Menge aller komplexen Zahlen mit dem Betrag 1 liegt auf einer Geraden.

Answer

Die Menge aller komplexen Zahlen mit dem Betrag 1 liegt auf der imaginären Achse.

Answer

Die Menge aller komplexen Zahlen mit dem Betrag 1 bildet eine Parabel.

Question 6

Beschreibe die Menge M geometrisch in der Gaußschen Zahlenebene. M ist die Menge aller komplexen Zahlen, deren Realteil größer als 2 und deren Imaginärteil kleiner als 1 ist.

Accepted Answer

Eine Halbebene rechts der vertikalen Geraden x = 2 und unterhalb der horizontalen Geraden y = 1

Answer

Ein Quadrat mit den Eckpunkten (2,0), (2,1), (3,1) und (3,0)

Answer

Ein Kreis mit dem Mittelpunkt (2,0) und dem Radius 1

Answer

Die leere Menge

Question 7

Wie lässt sich der Betrag einer komplexen Zahl anhand ihres Real- und Imaginärteils korrekt beschreiben?

Accepted Answer

Der Betrag ist die Entfernung zum Ursprung in der Zahlenebene.

Answer

Der Betrag ist die Summe aus Real- und Imaginärteil.

Answer

Der Betrag ist der größere der beiden Teile.

Question 8

Nenne drei konkrete Anwendungen komplexer Zahlen in den Ingenieurwissenschaften oder der Physik.

Accepted Answer

Modellierung von Wechselstromkreisen

Accepted Answer

Berechnung von Schwingungen

Accepted Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Question 9

Beschreibe die geometrische Interpretation der Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene. Verwende Beispiele, um deine Erklärung zu verdeutlichen.

Accepted Answer

Bei der Addition zweier komplexer Zahlen werden ihre Ortsvektoren in der Gaußschen Zahlenebene addiert.

Accepted Answer

Bei der Subtraktion zweier komplexer Zahlen werden ihre Ortsvektoren in der Gaußschen Zahlenebene subtrahiert.

Answer

Die geometrische Interpretation von Addition und Subtraktion gilt nur für reelle Zahlen.

Answer

Die Summe zweier komplexer Zahlen ist immer reell.

Question 10

Wie lautet die Darstellung der komplexen Zahl 3 + 4i **in der Gaußschen Zahlenebene**?

Accepted Answer

(3, 4)

Answer

(-4, 3)

Answer

(4, 3)

Answer

(-3, 4)

Question 11

Berechne den **absoluten Betrag von** 2 - 3i.

Accepted Answer

√13

Answer

1

Answer

√34

Answer

13

Question 12

Beweisen Sie die folgende Aussage über den Betrag komplexer Zahlen:

$$ |rac{z_1}{z_2}| = rac{|z_1|}{|z_2|} $$

wobei z_1 und z_2 beliebige komplexe Zahlen sind.

Accepted Answer

$$|rac{z_1}{z_2}| = rac{|z_1|}{|z_2|}$$

Answer

$$|z_1| = |z_1 cdot z_2|$$

Answer

$$|z_1 - z_2| = |z_1| - |z_2|$$

Question 13

Frage: Beschreibe die Menge komplexer Zahlen $$ S = {z | 1 ≤ |z| ≤ 2} $$ geometrisch in der Gaußschen Zahlenebene.

Accepted Answer

Ein Ring mit Innenradius 1 und Außenradius 2 um den Ursprung

Answer

Ein Kreis mit Radius 2 um den Ursprung

Answer

Ein Quadrat mit Seitenlänge 4 um den Ursprung

Answer

Ein Rechteck mit Breite 1 und Höhe 2 um den Ursprung

Question 14

Berechne den Betrag der komplexen Zahl z = 3 - 4i.

Accepted Answer

5

Answer

3

Answer

-5

Answer

Der Betrag kann nicht berechnet werden.

Question 15

Welche der folgenden Zahlen ist eine komplexe Zahl?

Accepted Answer

i

Answer

2

Answer

π

Answer

-5

Question 16

Wie lautet die Gaußsche Normalform der komplexen Zahl (3 + 4i)?

Accepted Answer

3 + 4i

Answer

4 + 3i

Answer

3i + 4

Answer

-3 - 4i

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über die geometrische Interpretation der Addition komplexer Zahlen ist richtig?

Accepted Answer

Die Summe ist die Diagonale des Parallelogramms, das von den beiden komplexen Zahlen gebildet wird.

Answer

Die Summe ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, das von den beiden komplexen Zahlen gebildet wird.

Answer

Die Summe ist die Seite des Quadrats, das von den beiden komplexen Zahlen gebildet wird.

Answer

Die Summe ist die Fläche des Rechtecks, das von den beiden komplexen Zahlen gebildet wird.

Question 18

Welche der folgenden Gleichungen ist eine notwendige Bedingung dafür, dass zwei komplexe Zahlen gleich sind?

Accepted Answer

Realteil gleich, Imaginärteil gleich

Answer

Realteil gleich, Beträge gleich

Answer

Imaginärteil gleich, Beträge gleich

Answer

Beträge gleich, Phase gleich

Question 19

Welche der folgenden Darstellungen entspricht der komplexen Zahl (3, 4)?

Accepted Answer

3 + 4i

Answer

4 + 3i

Answer

4 - 3i

Answer

-3 + 4i

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über die trigonometrische Form komplexer Zahlen ist richtig?

Accepted Answer

Sie wird durch Betrag und Argument dargestellt.

Answer

Sie wird durch Amplitude und Phase dargestellt.

Answer

Sie wird durch Realteil und Imaginärteil dargestellt.

Answer

Sie wird durch Gaußsche Normalform dargestellt.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen ist falsch?

Accepted Answer

Die Division einer komplexen Zahl durch eine andere ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Die Summe zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Die Konjugierte einer komplexen Zahl ist immer eine reelle Zahl.

Question 22

Was ist die geometrische Interpretation der komplexen Zahl 3 + 4i?

Accepted Answer

Ein Punkt im ersten Quadranten der Gaußschen Zahlenebene

Answer

Ein Punkt im zweiten Quadranten der Gaußschen Zahlenebene

Answer

Ein Punkt im dritten Quadranten der Gaußschen Zahlenebene

Answer

Ein Punkt im vierten Quadranten der Gaußschen Zahlenebene

Question 23

Welche der folgenden komplexen Zahlen liegt auf dem Einheitskreis?

Accepted Answer

1 + i

Answer

2 + 2i

Answer

3 - 4i

Answer

4 + 3i

Question 24

Berechne den Betrag der komplexen Zahl 5 - 12i:

Accepted Answer

17

Answer

13

Answer

25

Answer

169

Question 25

Was ist die Konjugierte der komplexen Zahl z = a + bi?

Accepted Answer

z = a - bi

Answer

z = -a - bi

Answer

z = -a + bi

Answer

z = a + bi

Question 26

Welche der folgenden Zahlen ist eine komplexe Zahl? Eine komplexe Zahl hat die Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit ist.

Accepted Answer

3 + 4i

Answer

2

Answer

-5

Answer

π

Question 27

Welche der folgenden Operationen ist für komplexe Zahlen nicht definiert? Für komplexe Zahlen sind alle grundlegenden Rechenoperationen definiert, mit Ausnahme einer.

Accepted Answer

Division durch Null

Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation

Answer

Addition

Question 28

Wie lautet das Konjugierte der komplexen Zahl (2 + 3i)? Das Konjugierte einer komplexen Zahl a + bi ist a - bi.

Accepted Answer

2 - 3i

Answer

2 + 3i

Answer

-2 + 3i

Answer

-2 - 3i

Question 29

Welche der folgenden komplexen Zahlen ist eine reine Imaginärzahl? Eine reine Imaginärzahl ist eine komplexe Zahl, deren Realteil 0 ist.

Accepted Answer

5i

Answer

-4

Answer

2 - 3i

Answer

3 + 2i

Question 30

Löse die Gleichung (2x + 3i) = (4 + 5i) nach x. Löse die Gleichung, indem du komplexe Zahlen addierst und subtrahierst.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

2

Question 31

Wie wird die komplexe Zahl 3 - 4i in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt?

Accepted Answer

(3, -4)

Answer

(3, 4)

Answer

(-3, -4)

Question 32

Welche geometrische Figur ergibt sich, wenn man alle komplexen Zahlen darstellt, deren Realteil gleich 2 ist?

Accepted Answer

Gerade parallel zur y-Achse

Answer

Kreis

Answer

Parabel

Answer

Gerade parallel zur x-Achse

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen ist richtig?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen sind durch einen Realteil und einen Imaginärteil gekennzeichnet.

Answer

Komplexe Zahlen haben keinen Imaginärteil.

Answer

Komplexe Zahlen sind reelle Zahlen.

Question 34

Welche der folgenden Operationen ist beim Rechnen mit komplexen Zahlen nicht zulässig?

Accepted Answer

Division durch 0

Answer

Konjugation

Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Question 35

Welche geometrische Interpretation hat die komplexe Zahl z = 2 + 3i?

Accepted Answer

Punkt in der Gaußschen Zahlenebene

Answer

Rechteck in der Gaußschen Zahlenebene

Answer

Kreis in der Gaußschen Zahlenebene

Answer

Gerade in der Gaußschen Zahlenebene

Question 36

Welche der folgenden Aussagen beschreibt komplexe Zahlen zutreffend?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen lassen sich als Summe aus Real- und Imaginärteil darstellen: z = a + bi

Answer

Komplexe Zahlen können nicht in der Gaußschen Zahlenebene visualisiert werden.

Answer

Komplexe Zahlen enthalten ausschließlich reelle Koeffizienten.

Question 37

Wie lautet die Gaußsche Schreibweise einer komplexen Zahl?

Accepted Answer

z = a + bi

Answer

z = |a² + b²|

Answer

z = ab

Answer

z = a - bi

Question 38

Welche Aussage zur Division komplexer Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Der Nenner wird durch seine konjugiert komplexe Zahl ersetzt.

Answer

Die Zähler werden addiert.

Answer

Der Nenner wird vom Zähler subtrahiert.

Question 39

Gib die zu z = 3 - 2i konjugiert komplexe Zahl an.

Accepted Answer

3 + 2i

Answer

-3 - 2i

Answer

3 - 2i

Answer

-3 + 2i

Question 40

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt komplexe Zahlen?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen besitzen einen Real- und einen Imaginärteil.

Answer

Komplexe Zahlen sind ausschließlich reelle Zahlen.

Answer

Komplexe Zahlen sind ausschließlich Imaginärzahlen.

Question 41

Wie wird die Gaußsche Zahlenebene dargestellt?

Accepted Answer

Als zweidimensionale Ebene mit einer waagerechten Realachse und einer senkrechten Imaginärachse.

Answer

Als dreidimensionale Ebene mit Real-, Imaginär- und Einheitsachse.

Answer

Als eine eindimensionale Gerade, auf der Real- und Imaginärteile abgebildet sind.

Question 42

Wie berechnet man den Betrag einer komplexen Zahl?

Accepted Answer

Als Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil.

Answer

Als Summe von Real- und Imaginärteil.

Answer

Als Differenz von Real- und Imaginärteil.

Question 43

Welcher Ausdruck ist äquivalent zu (2 + 3i) * (4 - 5i)?

Accepted Answer

17 - 11i

Answer

8 - 7i

Answer

2 - 19i

Question 44

Welche Gleichung beschreibt die Lösungsmenge von z² = 4?

Accepted Answer

z = ±2

Answer

z = ±4

Answer

z = 2

Question 45

In welchem technischen Bereich finden komplexe Zahlen Anwendung?

Accepted Answer

Elektrotechnik zur Beschreibung der Impedanz von Wechselstromkreisen.

Answer

Berechnung von Dreiecksflächeninhalten

Answer

Lösung linearer Gleichungssysteme

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen beschreibt ihre Struktur korrekt?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil.

Answer

Komplexe Zahlen sind ausschließlich durch Multiplikation definiert.

Answer

Komplexe Zahlen dürfen keine reellen Zahlen enthalten.

Question 47

Welche Rechenoperation mit komplexen Zahlen ist kommutativ?

Accepted Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Answer

Division

Answer

Multiplikation

Question 48

Welche Eigenschaft gilt für komplexe Zahlen mit demselben Betrag?

Accepted Answer

Sie liegen auf einem Kreis in der Gaußschen Zahlenebene.

Answer

Sie haben denselben Realteil.

Answer

Sie haben denselben Imaginärteil.

Question 49

Welche Aussage über konjugiert komplexe Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie besitzen denselben Betrag, aber entgegengesetzte Vorzeichen in ihren Imaginärteilen.

Answer

Sie sind zueinander additiv invers.

Answer

Sie haben denselben Real- und Imaginärteil.

Question 50

Wie lautet die korrekte Gleichung für die Summe zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂?

Accepted Answer

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i

Answer

z₁ + z₂ = (a₁ * a₂) + (b₁ * b₂)i

Answer

z₁ + z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i

Answer

z₁ + z₂ = (a₁ + b₁) + (a₂ + b₂)i

Question 51

Welche der folgenden Zahlen ist eine komplexe Zahl?

Accepted Answer

2 + 3i

Answer

4

Answer

-7,5

Answer

π/2

Question 52

Wie lautet die Darstellung der komplexen Zahl z = 3 + 2i in der Gaußschen Zahlenebene?

Accepted Answer

(3, 2)

Answer

(2, 3)

Answer

(-3, 2)

Answer

(-2, 3)

Question 53

Berechnen Sie die Summe der komplexen Zahlen (2 - 5i) und (3 + 7i):

Accepted Answer

5 + 2i

Answer

5 - 2i

Answer

-5 + 2i

Answer

-5 - 2i

Question 54

Berechnen Sie den Konjugierten der komplexen Zahl z = 2 + 3i:

Accepted Answer

2 - 3i

Answer

-2 + 3i

Answer

2 + 3i

Answer

-2 - 3i

Question 55

Welche der folgenden geometrischen Figuren repräsentiert die Menge aller komplexen Zahlen mit dem Realteil 3?

Accepted Answer

Vertikale Gerade mit x = 3

Answer

Parabel mit Scheitelpunkt (3, 0)

Answer

Kreis mit Mittelpunkt (3, 0)

Answer

Horizontale Gerade mit y = 3

Question 56

Berechnen Sie die dritte Einheitswurzel:

Accepted Answer

ω = (-1 + √3i)/2

Answer

ω = (1 - √3i)/2

Answer

ω = (1 + √3i)/2

Answer

ω = (-1 - √3i)/2

Question 57

Wie wird die komplexe Zahl (2 + 3i) in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt?

Accepted Answer

(2, 3)

Answer

(2, -3)

Answer

(-2, 3)

Answer

(3, 2)

Question 58

Welche der folgenden Operationen ergibt die komplexe Zahl (1 + 2i)?

Accepted Answer

(3 + 4i) - (2 + 2i)

Answer

(3 + 4i) * (2 + 2i)

Answer

(3 + 4i) + (2 + 2i)

Answer

(3 + 4i) / (2 + 2i)

Question 59

Welcher Ausdruck ist die geometrische Interpretation der Multiplikation zweier komplexer Zahlen?

Accepted Answer

Betragsmultiplikation und Winkeladdition

Answer

Betragsaddition und Winkelsubtraktion

Answer

Betragsaddition und Winkelmultiplikation

Answer

Betragsmultiplikation und Winkelsubtraktion

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen ist richtig?

Accepted Answer

Die Menge der komplexen Zahlen ist ein Körper.

Answer

Die Menge der komplexen Zahlen ist eine Gruppe.

Answer

Die Menge der komplexen Zahlen ist ein Vektorraum.

Answer

Die Menge der komplexen Zahlen ist ein Ring.

Question 61

Wie wird die konjugiert komplexe Zahl zu (a + bi) bezeichnet?

Accepted Answer

a - bi

Answer

bi - a

Answer

a + bi

Answer

-a + bi

Question 62

Welche der folgenden Gleichungen ist äquivalent zu z^2 = 4?

Accepted Answer

z = ±2

Answer

z = 4

Answer

z = 2

Answer

z = -2

Question 63

Wie wird der Betrag der komplexen Zahl (3 + 4i) berechnet?

Accepted Answer

5

Answer

7

Answer

3

Answer

4

Question 64

Welche der folgenden Aussagen über den Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene ist richtig?

Accepted Answer

Er besteht aus allen komplexen Zahlen mit dem Betrag 1.

Answer

Er besteht aus allen komplexen Zahlen mit dem Imaginärteil 0.

Answer

Er besteht aus allen komplexen Zahlen mit dem Realteil 0.