Numerische Integration: Online-Quiz für Elektrotechnik-Studierende

Question 1

Welche Formel beschreibt die Trapezregel?

Accepted Answer

$int_a^b f(x) dx = (b-a) * \frac{f(a) + f(b)}{2}$

Answer

$int_a^b f(x) dx = (b-a) * \frac{f(a) - f(b)}{2}$

Answer

$int_a^b f(x) dx = (b-a) * \frac{f(a) * f(b)}{2}$

Answer

$int_a^b f(x) dx = (b-a) * (f(a) - f(b))^2$

Question 2

Welches Verfahren liefert allgemein genauere Ergebnisse: Trapezregel oder Simpsonregel?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Answer

Beide Verfahren sind gleich genau

Answer

Die Genauigkeit hängt von der Funktion ab

Question 3

Welche Aussage über die Simpsonregel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine numerische Integrationsmethode.

Answer

Sie verwendet eine lineare Interpolationsfunktion.

Answer

Sie ist immer weniger genau als die Trapezregel.

Answer

Sie kann nur für Funktionen mit ungeraden Ableitungen verwendet werden.

Question 4

Welche Formel beschreibt die Trapezregel?

Accepted Answer

$int_a^b f(x) dx ≈ \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]$

Answer

$int_a^b f(x) dx ≈ \frac{b-a}{6} [f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)]$

Answer

$int_a^b f(x) dx ≈ \frac{b-a}{n} [f(x_0) + f(x_1) + ... + f(x_n)]$

Answer

$int_a^b f(x) dx ≈ \frac{b-a}{2} [f(\frac{a+b}{2})]$

Question 5

Welcher Vorteil der Simpsonregel gegenüber der Trapezregel wird durch ihre höhere Ordnung bedingt?

Accepted Answer

Sie ist genauer für Funktionen mit höherer Ableitung.

Answer

Sie benötigt weniger Funktionsauswertungen.

Answer

Sie kann auf unequidistante Teilintervalle angewendet werden.

Answer

Sie ist einfacher zu implementieren.

Question 6

Welche Aussage über die numerische Integration ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Sie liefert immer exakte Ergebnisse.

Answer

Sie kann verwendet werden, um Integrale von Funktionen zu berechnen, die keine elementare Stammfunktion haben.

Answer

Sie ist eine Näherungsmethode.

Answer

Sie kann verwendet werden, um Funktionen zu integrieren, die auf dem Integrationsintervall unstetig sind.

Question 7

Welcher Term bestimmt den Fehler der Trapezregel?

Accepted Answer

$varepsilon = - \frac{h^2}{12} f''(c)$

Answer

$varepsilon = - \frac{h^2}{2} f'''(c)$

Answer

$varepsilon = - \frac{h^4}{24} f^{(5)}(c)$

Answer

$varepsilon = - \frac{h^6}{720} f^{(7)}(c)$

Question 8

Welche Integrationsmethode verwendet eine parabolische Interpolation anstelle einer linearen?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Answer

Mittelpunktregel

Answer

Gauß-Quadratur

Question 9

Welche Integrationsmethode erreicht die höchste Genauigkeit für glatte Funktionen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Romberg-Integration

Question 10

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Konvergenzgeschwindigkeit der Trapezregel im Vergleich zur Simpsonregel korrekt?

Accepted Answer

Die Simpsonregel konvergiert schneller.

Answer

Die Trapezregel konvergiert schneller.

Answer

Beide Methoden konvergieren gleich schnell.

Answer

Die Konvergenzgeschwindigkeit hängt nur von der Schrittweite ab.

Question 11

Wie tragen adaptive numerische Integrationsmethoden zur Verbesserung der Genauigkeit bei?

Accepted Answer

Automatische Anpassung der Schrittweite

Answer

Erhöhte Anzahl von Iterationsschritten

Answer

Verwendung von Spezialfunktionen

Answer

Grafische Darstellung der Integrationsergebnisse

Question 12

Welche Aussage zur Trapezregel ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie approximiert das Integral als Fläche eines Trapezes.

Answer

Sie benötigt nur den Funktionswert an einem Stützpunkt.

Answer

Sie ist eine exakte Integrationsmethode.

Answer

Sie ist immer genauer als die Simpsonregel.

Question 13

Die Simpsonregel ist genauer als die Trapezregel, da sie:

Accepted Answer

eine quadratische Funktion zur Approximation verwendet.

Answer

mehr Stützpunkte verwendet.

Answer

das Integral als Fläche einer Parabel berechnet.

Answer

stets eine obere Schranke für den tatsächlichen Wert liefert.

Question 14

Welche der folgenden Methoden ist nicht für die numerische Integration geeignet?

Accepted Answer

Newtonsche Methode

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Mittelpunktmethode

Question 15

Berechnen Sie das Integral von f(x) = sin(x) über das Intervall [0, π/2] unter Verwendung der Simpsonregel mit n = 4.

Accepted Answer

0,9994

Answer

0,5

Answer

1

Answer

1,0006

Question 16

Welche Funktionstype eignet sich am besten für die numerische Integration mit der Simpsonregel?

Accepted Answer

Polynome

Answer

Trigonometrische Funktionen

Answer

Exponentialfunktionen

Answer

Logarithmische Funktionen

Question 17

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Trapezregel korrekt?

Accepted Answer

Sie verwendet die Funktionswerte an den Grenzen und am Mittelpunkt des Integrationsintervalls.

Answer

Sie ist eine exakte Integrationsmethode für beliebige Funktionen.

Answer

Sie ist immer genauer als die Simpsonregel.

Answer

Sie benötigt die Kenntnis der Stammfunktion der integrierten Funktion.

Question 18

Welcher Vorteil zeichnet die Simpsonregel im Vergleich zur Trapezregel aus?

Accepted Answer

Höhere Genauigkeit für Funktionen mit stetigen zweiten Ableitungen.

Answer

Geringere Rechenzeit

Answer

Weniger erforderliche Unterintervalle

Answer

Universellere Anwendbarkeit

Question 19

Welche Aussage über numerische Integration ist nicht zutreffend?

Accepted Answer

Sie liefert stets exakt die gleichen Ergebnisse wie analytische Integration.

Answer

Sie ist anwendbar auf Integrale von Funktionen ohne elementare Stammfunktionen.

Answer

Sie kann zur Approximation von Integralen von Funktionen eingesetzt werden, die nur in numerischer Form vorliegen.

Answer

Sie ist nicht geeignet für Integrale von Funktionen mit Singularitäten.

Question 20

Wie wirkt sich die Erhöhung der Unterintervalle auf die Genauigkeit der Trapezregel aus?

Accepted Answer

Gesteigerte Genauigkeit

Answer

Verringerte Genauigkeit

Answer

Unveränderte Genauigkeit

Answer

Abnehmende Genauigkeit

Question 21

Welche Methode übertrifft in der Regel die Genauigkeit von Trapez- und Simpsonregel?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Trapezregel mit Richardson-Extrapolation

Answer

Simpsonregel mit Romberg-Extrapolation

Question 22

Wie wird der Fehler bei der Anwendung der Simpsonregel abgeschätzt?

Accepted Answer

Quadrat des maximalen absoluten Werts der zweiten Ableitung der Funktion auf dem Integrationsintervall

Answer

Maximalwert der Funktion auf dem Integrationsintervall

Answer

Schrittweite der Integration

Answer

Integral der Funktion auf dem Integrationsintervall

Question 23

Wie beeinflussen die Schrittweite 'h' und die Anzahl der Intervalle 'n' die Genauigkeit der numerischen Integration unter Verwendung der Trapezregel?

Accepted Answer

Eine kleinere Schrittweite 'h' und eine größere Anzahl von Intervallen 'n' führen zu einer höheren Genauigkeit.

Answer

Eine größere Schrittweite 'h' und eine kleinere Anzahl von Intervallen 'n' führen zu einer höheren Genauigkeit.

Answer

Eine kleinere Schrittweite 'h' und eine kleinere Anzahl von Intervallen 'n' führen zu einer höheren Genauigkeit.

Answer

Eine größere Schrittweite 'h' und eine größere Anzahl von Intervallen 'n' führen zu einer höheren Genauigkeit.

Question 24

Warum ist Stabilität bei numerischen Integrationsverfahren wichtig, insbesondere im Hinblick auf die Fehlerbegrenzung bei steigender Iterationsanzahl?

Accepted Answer

Stabilität verhindert die Akkumulation von Rundungsfehlern in jedem Iterationsschritt, wodurch ein inakzeptabel großer Fehler vermieden wird.

Answer

Stabilität garantiert, dass das Ergebnis der numerischen Integration immer dem exakten Wert des Integrals entspricht.

Answer

Stabilität ist nur für nichtlineare Funktionen relevant.

Answer

Stabilität hat keinen Einfluss auf die Konvergenzgeschwindigkeit des numerischen Integrationsverfahrens.

Question 25

Welcher wesentliche Unterschied besteht zwischen der Trapezregel und der Simpsonregel bei der numerischen Integration?

Accepted Answer

Die Simpsonregel verwendet eine parabolische Approximationsfunktion, während die Trapezregel eine lineare verwendet.

Answer

Die Simpsonregel ist nicht immer genauer als die Trapezregel.

Answer

Bei der Trapezregel werden mehr Funktionswerte benötigt als bei der Simpsonregel.

Answer

Die Simpsonregel ist nicht immer anwendbar, während die Trapezregel für eine breitere Palette von Funktionen geeignet ist.

Question 26

Welcher der folgenden Schritte ist NICHT Teil des Prozesses der numerischen Integration?

Accepted Answer

Analytische Lösung des Integrals

Answer

Berechnung der Funktionswerte an den Unterteilungspunkten

Answer

Unterteilung des Integrationsintervalls

Question 27

Wie hängt die Genauigkeit der numerischen Integration von der Schrittweite h ab?

Accepted Answer

Die Genauigkeit nimmt mit abnehmender Schrittweite zu.

Answer

Die Genauigkeit nimmt mit zunehmender Schrittweite zu.

Answer

Die Genauigkeit ist unabhängig von der Schrittweite.

Question 28

Was ist ein wesentlicher Unterschied zwischen der offenen und der geschlossenen Trapezregel?

Accepted Answer

Bei der offenen Trapezregel werden die Funktionswerte an den Endpunkten des Intervalls nicht berücksichtigt.

Answer

Bei der geschlossenen Trapezregel wird die Schrittweite halbiert.

Question 29

Welche Aussage zur Trapezregel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie interpoliert linear.

Answer

Sie gilt nur für Funktionen mit konstanter Ableitung.

Answer

Sie liefert stets das exakte Ergebnis.

Answer

Sie interpoliert quadratisch.

Question 30

Die Simpsonregel ist im Vergleich zur Trapezregel:

Accepted Answer

genauer.

Answer

nur für bestimmte Funktionen genauer.

Answer

gleich genau.

Answer

weniger genau.

Question 31

Welche Formel beschreibt die Trapezregel?

Accepted Answer

∫[a, b] f(x) ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2

Answer

∫[a, b] f(x) ≈ (b - a) * (f(a) - f(b)) / 2

Answer

∫[a, b] f(x) ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 4

Answer

∫[a, b] f(x) ≈ (b - a) * (f((a + b) / 2))

Question 32

Welchen Interpolationsgrad besitzt die Simpsonregel?

Accepted Answer

Zweiten Grad.

Answer

Ersten Grad.

Answer

Vierten Grad.

Answer

Dritten Grad.

Question 33

Für welche Funktionen eignet sich die Simpsonregel?

Accepted Answer

Glatte Funktionen mit stetiger zweiter Ableitung.

Answer

Funktionen mit vielen Extrempunkten.

Answer

Unstetige Funktionen.

Question 34

Welche Aussage zur numerischen Integration ist falsch?

Accepted Answer

Sie liefert stets das exakte Ergebnis.

Answer

Sie ist anwendbar, wenn die Funktion nicht analytisch integrierbar ist.

Answer

Sie ist eine Näherungsmethode.

Answer

Sie kann bestimmte Integrale berechnen.

Question 35

Welche Aussage zur Trapezregel ist richtig?

Accepted Answer

Sie liefert im Allgemeinen eine Unterschätzung.

Answer

Sie liefert ein zufälliges Ergebnis.

Answer

Sie liefert den exakten Wert.

Answer

Sie liefert eine Überschätzung.

Question 36

Was benötigt die Simpsonregel zur Integration?

Accepted Answer

Funktionswerte an äquidistanten Stützstellen.

Answer

Das unbestimmte Integral der Funktion.

Answer

Informationen zum Randverhalten der Funktion.

Answer

Die Ableitung der Funktion.

Question 37

Welche Methode ist effizienter als die Simpsonregel?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur.

Answer

Rechteckregel.

Answer

Trapezregel.

Answer

Mittelpunktsregel.

Question 38

Welche der folgenden Methoden eignet sich am besten für die numerische Integration von Funktionen mit Singularitäten?

Accepted Answer

Chebyschow-Quadraturen

Answer

Mittelpunktregel

Answer

Trapezregel

Question 39

Welche der folgenden Aussagen zum Fehler der Simpsonschen Regel ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist proportional zur vierten Ableitung der Funktion.

Answer

Er ist proportional zur ersten Ableitung der Funktion.

Answer

Er ist proportional zur zweiten Ableitung der Funktion.

Question 40

Berechnen Sie das bestimmte Integral von x * ln(x) im Intervall [1, 3] mit der Simpsonschen Regel und einer Schrittweite h = 1.

Accepted Answer

5,403

Answer

6,403

Answer

3,403

Answer

4,403

Question 41

Welche der folgenden Aussagen zur Konvergenz der Simpsonschen Regel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert quartisch gegen das exakte Integral, wenn f stetig differenzierbar ist bis zur vierten Ordnung.

Answer

Sie konvergiert linear gegen das exakte Integral, wenn f stetig ist.

Question 42

Welche Aussage zur Trapezregel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist ein numerisches Verfahren zur Annäherung des Integrals einer Funktion als Fläche eines Trapezes.

Answer

Sie liefert immer exakt korrekte Ergebnisse.

Answer

Sie ist nur für Funktionen mit periodischen Intervallen anwendbar.

Question 43

Wie berechnet sich die Schrittweite h bei der numerischen Integration?

Accepted Answer

(b - a) / n

Answer

b / n

Answer

n / (b - a)

Answer

a / n

Question 44

Bestimmen Sie den größten Fehler beim Näherungswert des Integrals von f(x) = x^3 im Intervall [0, 1] mit der Trapezregel bei 4 Teilintervallen.

Accepted Answer

(1 / 864)

Answer

(1 / 576)

Answer

(1 / 1152)

Answer

(1 / 288)

Question 45

Welcher Vorteil der Simpsonregel trägt zu ihrer höheren Genauigkeit bei?

Accepted Answer

Verwendung einer quadratischen Interpolationsformel

Answer

Sie benötigt keine Zwischenwerte.

Answer

Sie ist immer schneller als die Trapezregel.

Question 46

Nennen Sie einen möglichen Nachteil der numerischen Integration.

Accepted Answer

Fehlerakkumulation bei iterativen Verfahren.

Answer

Sie erfordert spezielles Wissen.

Answer

Sie ist nur für kleine Datensätze geeignet.

Question 47

Wie wirkt sich die Schrittweite h bei der Simpsonregel auf die Genauigkeit aus?

Accepted Answer

Eine kleinere Schrittweite führt typischerweise zu einer genaueren Integration.

Answer

Eine größere Schrittweite ist immer besser.

Answer

Die Schrittweite hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Question 48

Welche der folgenden Formeln beschreibt die Trapezregel für die numerische Integration?

Accepted Answer

I = (b-a)*(f(a) + f(b))/2

Answer

I = (b-a)*f(a)*f(b)

Answer

I = (b-a)*f((a+b)/2)

Answer

I = (b-a)*((f(a) + f(b))/2)^2

Question 49

Welche Aussage zu den Vorteilen der Simpsonregel gegenüber der Trapezregel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist genauer für stetige Funktionen.

Answer

Sie ist schneller und einfacher anzuwenden.

Answer

Sie ist für alle Funktionen anwendbar.

Question 50

Welche der folgenden Vorkehrungen sind beim numerischen Integrieren mit der Trapezregel zu treffen?

Accepted Answer

Die Schrittweite muss klein genug gewählt werden, um Genauigkeit zu gewährleisten.

Answer

Die Funktion muss im Integrationsintervall differenzierbar sein.

Answer

Die Schrittweite muss ein Vielfaches der Periodenlänge der Funktion sein.

Question 51

Welche Methode zur numerischen Integration approximiert die Funktion durch ein Polynom?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Gaußsche Quadraturen

Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 52

Welcher Vorteil der numerischen Integration ist besonders hervorzuheben?

Accepted Answer

Sie kann für Funktionen eingesetzt werden, deren analytische Integration nicht möglich ist.

Answer

Sie ist immer genauer als die analytische Integration.

Answer

Sie ist deutlich schneller als die analytische Integration.

Question 53

Welche der aufgeführten Funktionen eignet sich am besten für die numerische Integration mit der Trapezregel?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1/x

Question 54

Welche Aussage zur Fehlerabschätzung bei der numerischen Integration mit der Trapezregel ist korrekt?

Accepted Answer

Der Fehler nimmt mit abnehmender Schrittweite ab.

Answer

Der Fehler ist unabhängig von der Schrittweite.

Answer

Der Fehler kann größer sein als die Schrittweite.

Answer

Der Fehler ist proportional zur Schrittweite.

Question 55

Was ist der grundlegende Unterschied zwischen der Trapezregel und der Simpsonregel?

Accepted Answer

Die Simpsonregel verwendet eine quadratische Approximation der Funktion.

Answer

Die Trapezregel verwendet mehr Funktionswerte als die Simpsonregel.

Answer

Die Simpsonregel ist immer genauer als die Trapezregel.

Question 56

Welche der folgenden Annahmen ist für die Anwendung der Simpsonregel zur numerischen Integration erforderlich?

Accepted Answer

Die Funktion muss zweimal stetig differenzierbar sein.

Answer

Die Funktion muss positiv sein.

Answer

Die Schrittweite muss ein Vielfaches von π sein.

Question 57

In welchem Anwendungsbereich wird die numerische Integration häufig eingesetzt?

Accepted Answer

Berechnung von Flächen und Volumina

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Answer

Erkennung von Mustern

Answer

Komprimierung von Bildern

Question 58

Welches numerische Integrationsverfahren verwendet die Fläche eines Trapezes zur Approximation des bestimmten Integrals?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Simpsonregel

Question 59

Die Simpsonregel liefert im Allgemeinen eine genauere Näherung des bestimmten Integrals als die Trapezregel. Was ist der Hauptgrund dafür?

Accepted Answer

Die Simpsonregel verwendet Polynome zweiten Grades zur Approximation der Funktion.

Answer

Die Simpsonregel verwendet mehr Stützstellen.

Answer

Die Trapezregel ist nur für lineare Funktionen exakt.

Question 60

Was ist der Hauptnachteil der Verwendung einer höheren Anzahl von Stützstellen bei der numerischen Integration?

Accepted Answer

Der Rechenaufwand steigt.

Answer

Die Interpolation der Funktion wird ungenauer.

Answer

Die Genauigkeit nimmt ab.

Answer

Die Methode wird instabiler.

Question 61

Berechnen Sie die Näherung des bestimmten Integrals von f(x) = x^2 von 0 bis 2 mit der Trapezregel und einer Schrittweite von h = 1.

Accepted Answer

4

Answer

8

Answer

3

Answer

2

Question 62

Wie viele Stützstellen werden für die Simpsonregel benötigt, um ein bestimmtes Integral mit einer Schrittweite von h zu approximieren?

Accepted Answer

Eine ungerade Zahl, größer als 1

Answer

Eine gerade Zahl

Answer

Jede beliebige Zahl

Answer

Es hängt von der Funktion ab

Question 63

Welcher der folgenden Faktoren beeinflusst NICHT den Fehler bei der numerischen Integration?

Accepted Answer

Die verwendete Programmiersprache

Answer

Die Glattheit der Funktion

Answer

Die Schrittweite

Answer

Die Ordnung der verwendeten Methode

Question 64

In welchen Anwendungen ist die numerische Integration besonders hilfreich?

Accepted Answer

Wenn das Integral nicht analytisch gelöst werden kann

Answer

Wenn die Funktion linear ist

Answer

Wenn die Schrittweite sehr groß ist