Grenzwerte und Stetigkeit: Interaktive Lernquizze für Bauingenieure

Question 1

Wie hilft die Epsilon-Delta-Definition beim Verständnis der Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle x0?

Accepted Answer

Sie ermöglicht einen präzisen Nachweis der Stetigkeit.

Answer

Sie bietet eine anschauliche geometrische Interpretation.

Answer

Sie definiert Stetigkeit durch die Existenz eines Grenzwerts.

Answer

Sie beschreibt Stetigkeit als Differenzierbarkeit.

Question 2

Welche Aussage über die Funktion g(x) = |x-1| ist korrekt?

Accepted Answer

nicht stetig an der Stelle x=1

Answer

stetig an der Stelle x=1

Answer

stetig in jedem Punkt des Definitionsbereichs

Answer

nur stetig für x>1

Question 3

Über welche Eigenschaft bezüglich Stetigkeit verfügt die Funktion f(x) = 1/(x-2) im Intervall [-1, 3]?

Accepted Answer

nicht stetig im Punkt x=2

Answer

stetig im Intervall [-1, 3]

Answer

stetig im Intervall [1, 3]

Answer

stetig im Intervall (1, 3)

Question 4

Welche der folgenden Funktionen ist nirgends stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x-1|+|x-2|

Answer

g(x) = sin(x)

Answer

h(x) = 1/(x-1)

Answer

k(x) = e^x

Question 5

Welche Aussage über die Funktion n(x) = x^2-1 ist korrekt?

Accepted Answer

stetig in jedem Punkt des Definitionsbereichs

Answer

stetig an der Stelle x=0

Answer

nicht stetig an der Stelle x=0

Answer

nur stetig für x>1

Question 6

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle a korrekt?

Accepted Answer

Alle der oben genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

f(a) existiert und ist endlich.

Answer

lim_(x->a) f(x) = f(a).

Answer

Der Graph von f hat am Punkt (a, f(a)) keine scharfe Ecke oder einen Bruch.

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert von f(x) = cos(x) für x gegen 0 ist richtig?

Accepted Answer

Er existiert und ist gleich 1.

Answer

Er existiert und ist gleich -1.

Answer

Er existiert nicht.

Answer

Er ist gleich unendlich.

Question 8

Berechnen Sie den Grenzwert von (sin(x) - x) / x^3 für x gegen 0.

Accepted Answer

-1/6

Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über den Graphen einer stetigen Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Er kann scharfe Ecken oder Brüche haben.

Answer

Er ist immer eine Gerade.

Answer

Er kann nur ein lokales Maximum haben.

Answer

Er kann keine horizontalen Asymptoten haben.

Question 10

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = (x^2 + 1) * (x-2).

Accepted Answer

3x^2 - 4x - 2

Answer

2x^2 + x - 2

Answer

x^2 + 1

Answer

x-2

Question 11

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle a beschreibt:

Accepted Answer

Den Wert, dem sich f(x) beliebig annähert, wenn x beliebig nahe an a kommt

Answer

Den exakten Wert, den f(x) für x = a annimmt

Answer

Einen beliebigen Wert, der zwischen f(a) und f(x) liegt

Answer

Den Wert, den f(x) für x → ∞ annimmt

Question 12

Eine Funktion f(x) ist stetig, wenn ihr Graph:

Accepted Answer

An keiner Stelle unterbrochen ist

Answer

An allen Stellen differenzierbar ist

Answer

In jeder Umgebung um einen Punkt durch eine Polynomfunktion angenähert werden kann

Answer

Auf ihren Definitionsbereich beschränkt ist

Question 13

Welcher Satz ist NICHT äquivalent zur Aussage "f(x) ist an der Stelle a stetig"?

Accepted Answer

f'(a) existiert

Answer

limx→a f(x) = f(a)

Answer

limh→0 f(a+h) = f(a)

Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x) - f(a)| < ε, wenn 0 < |x - a| < δ

Question 14

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 15

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = 1 / x nicht definiert?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

f(x) ist überall definiert

Question 16

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 17

Welcher Grenzwert ist gleich 0?

Accepted Answer

limx→0 (tan(x)) / x

Answer

limx→∞ (sin(x)) / x

Answer

limx→π/2 (cot(x))

Answer

limx→∞ (e^x) / x

Question 18

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim(x→0) (1/sin(x))

Answer

lim(x→0) (sin(x)/x)

Answer

lim(x→∞) (e^x)

Answer

lim(x→-∞) (1/(x-1))

Question 19

Welcher Satz garantiert die Existenz des Grenzwertes einer Funktion f(x) an der Stelle x₀?

Accepted Answer

Satz vom eingeklemmten Intervall

Answer

Satz von der Mittelwertung

Answer

Satz vom Taylor

Answer

Satz von der Hospitalregel

Question 20

Welche Eigenschaft erfüllt eine Funktion f(x), wenn sie an allen Stellen stetig ist?

Accepted Answer

Ihr Graph hat keine Sprünge oder Lücken.

Answer

Sie ist differenzierbar.

Answer

Sie ist monoton.

Answer

Sie ist integrierbar.

Question 21

Welches der folgenden Kriterien garantiert die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion f(x) auf einem Intervall [a, b]?

Accepted Answer

Für jedes beliebige ε>0 existiert ein δ>0, sodass |x-y| < δ ⇒ |f(x)-f(y)| < ε für alle x,y ∈ [a, b] gilt.

Answer

Für jedes beliebige δ>0 existiert ein ε>0, sodass |x-y| < δ ⇒ |f(x)-f(y)| < ε für alle x ∈ [a, b] gilt.

Answer

Für jedes beliebige δ>0 existiert ein ε>0, sodass |x-y| < δ ⇒ |f(x)-f(y)| < ε für alle x ∈ [a, b] gilt.

Question 22

Welche Aussage trifft auf die Funktion f(x) = 1/x für x gegen 0 zu?

Accepted Answer

Die Funktion ist im Punkt x = 0 nicht stetig.

Answer

Die Funktion hat im Punkt x = 0 eine hebbare Definitionslücke.

Answer

Die Funktion ist im Punkt x = 0 differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist im Punkt x = 0 stetig.

Question 23

Was ist die Definition des Grenzwertes einer Funktion f(x) an der Stelle a?

Accepted Answer

f(a) existiert oder ist unendlich.

Answer

f(a) ist stetig.

Answer

f(a) existiert und ist endlich.

Answer

f(a) nähert sich einem beliebigen Wert ε.

Question 24

Was besagt der Satz von L'Hospital?

Accepted Answer

Wenn Zähler und Nenner eines Bruches gegen 0 oder ±∞ gehen und der Grenzwert des Quotienten aus den Ableitungen existiert, dann existiert auch der Grenzwert des Bruches und ist gleich diesem Quotienten.

Answer

Wenn der Grenzwert des Zählers eines Bruches existiert, dann existiert auch der Grenzwert des Bruches.

Answer

Wenn der Zähler eines Bruches gegen 0 geht, dann geht auch der Bruch gegen 0.

Answer

Wenn der Nenner eines Bruches gegen 0 geht, dann geht auch der Bruch gegen unendlich.

Question 25

Welche Aussage beschreibt den Bolzano-Weierstraß-Satz?

Accepted Answer

Jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

Answer

Jede beschränkte Folge ist konvergent.

Answer

Jede monotone Folge ist konvergent.

Answer

Jede konvergente Folge besitzt einen Grenzwert.

Question 26

Wie kann man mit Hilfe des Bolzano-Weierstraß-Satzes zeigen, dass die Funktion f(x) = x^2 auf dem Intervall [0, 1] mindestens einen Fixpunkt besitzt?

Accepted Answer

Teile das Intervall in zwei Hälften. Wähle die Hälfte, in der f(x) näher am Fixpunkt liegt. Wende den Bolzano-Weierstraß-Satz auf diese Hälfte an und wiederhole den Vorgang.

Answer

Zeige, dass f(x) auf dem Intervall eine obere und eine untere Schranke besitzt.

Answer

Zeige, dass f(x) auf dem Intervall stetig ist.

Answer

Zeige, dass f(x) auf dem Intervall differenzierbar ist.

Question 27

Welche Funktion besitzt an der Stelle x = 0 eine hebbare Singularität?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 28

Welche der folgenden Aussagen entspricht der formalen Definition eines Grenzwertes?

Accepted Answer

Für ein beliebiges ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x gilt: Wenn 0 < |x - a| < δ, dann ist |f(x) - L| < ε.

Answer

Die Funktion f(x) nähert sich für x gegen a dem Wert L an.

Answer

Für alle x ist f(x) gleich L.

Question 29

Welche Bedingung ist notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle a?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich dem Funktionswert f(a).

Answer

Der Graph von f(x) hat an der Stelle a eine vertikale Asymptote.

Question 30

Ist die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur von links stetig

Answer

Nur von rechts stetig

Answer

Nein

Question 31

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = x / |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = √x

Question 32

Welcher Satz besagt, dass die Summe zweier stetiger Funktionen an einer Stelle a wieder stetig an dieser Stelle ist?

Accepted Answer

Summensatz der Stetigkeit

Answer

Produktsatz der Stetigkeit

Answer

Kettensatz der Stetigkeit

Answer

Quotientensatz der Stetigkeit

Question 33

Welche Funktion ist nicht differenzierbar an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = √x

Answer

f(x) = x^2

Question 34

Welcher Satz besagt, dass der Grenzwert einer Summe gleich der Summe der Grenzwerte ist?

Accepted Answer

Summensatz der Grenzwerte

Answer

Produktsatz der Grenzwerte

Answer

Quotientensatz der Grenzwerte

Answer

Kettensatz der Grenzwerte

Question 35

Welche der folgenden Aussagen definiert den Grenzwert einer Funktion f an der Stelle a?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt |f(x) - L| < ε

Answer

Der Grenzwert ist der Wert von f(x) an der Stelle x = a

Answer

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich f(x) für x gegen a nähert

Question 36

Beweise die Stetigkeit der Funktion f(x) = x² an der Stelle x = 1 mithilfe der ε-δ-Definition.

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 ist δ = ε² ein geeignetes δ.

Answer

Für jedes ε > 0 ist δ = 1 ein geeignetes δ.

Answer

Für jedes ε > 0 ist δ = ε ein geeignetes δ.

Answer

Die Funktion ist immer stetig.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle a?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert

Answer

Die Funktion f ist an der Stelle a differenzierbar

Answer

Die Funktion f ist an der Stelle a integrierbar

Answer

Die Funktion f ist an der Stelle a monoton

Question 38

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Eine Funktion, die an einer Stelle nicht stetig ist, ist dort auch nicht differenzierbar

Answer

Eine Funktion, die an einer Stelle stetig ist, ist dort auch integrierbar

Answer

Eine Funktion, die an einer Stelle differenzierbar ist, ist dort auch stetig

Question 39

Welches Kriterium ist notwendig und hinreichend für die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle c?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen c existiert und ist gleich f(c).

Answer

Der Funktionswert f(c) existiert.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen c existiert.

Question 40

An welcher Stelle ist die Betragsfunktion g(x) = |x - 2| stetig?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 0

Answer

x = 3

Answer

x = 1

Question 41

Welche Aussage über die Differenzierbarkeit der Funktion f(x) = sin(x) ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist an allen Stellen differenzierbar.

Answer

f(x) ist nur an ungeraden Stellen differenzierbar.

Answer

f(x) ist nur an geraden Stellen differenzierbar.

Question 42

Bestimmen Sie den Grenzwert von h(x) = e^(x²) für x gegen unendlich.

Accepted Answer

Unendlich

Answer

1

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Question 43

Sei f(x) eine Funktion, für die gilt: lim f(x) für x gegen a = L. Was kann man über f(a) sagen?

Accepted Answer

f(a) = L

Answer

f(a) > L

Answer

f(a) ist nicht definiert

Answer

f(a) < L

Question 44

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Question 45

Bestimmen Sie den Grenzwert von f(x) = { x, wenn x rational; 0, wenn x irrational } für x gegen 0.

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Answer

0

Answer

1

Question 46

Welche Aussage beschreibt die Definition des Grenzwerts einer Funktion f(x) an der Stelle x0?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - x0| < δ gilt: |f(x) - L| < ε.

Answer

f(x) nimmt den Wert L für alle x nahe x0 an.

Answer

f(x) nähert sich L an, wenn x gegen x0 strebt.

Answer

f(x) ist an der Stelle x0 definiert und gleich L.

Question 47

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x0 stetig ist?

Accepted Answer

f(x0) existiert und lim┬(x→x0) f(x) = f(x0).

Answer

f(x) ist an der Stelle x0 beschränkt.

Answer

f(x) ist an der Stelle x0 monoton.

Answer

f(x) ist an der Stelle x0 differenzierbar.

Question 48

Welcher Satz besagt, dass jede beschränkte Folge mindestens eine konvergente Teilfolge besitzt?

Accepted Answer

Satz von Bolzano-Weierstraß.

Answer

Zwischenwertsatz.

Answer

Satz von Heine-Borel.

Answer

Satz von Rolle.

Question 49

Welche Funktion ist an der Stelle x = 1 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x² - 1

Question 50

Welche Aussage beschreibt die Heine-Cantorsche Definition der Stetigkeit?

Accepted Answer

f ist an der Stelle x0 stetig, wenn für jedes offene Intervall (a, b) mit x0 ∈ (a, b) auch f(x0) ∈ (a, b) gilt.

Answer

f ist an der Stelle x0 stetig, wenn lim┬(x→x0) f(x) = f(x0) gilt.

Answer

f ist an der Stelle x0 stetig, wenn f(x) für alle x nahe x0 definiert ist.

Question 51

Welcher Satz besagt, dass eine stetige Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt?

Accepted Answer

Zwischenwertsatz.

Answer

Satz von Rolle.

Answer

Satz von Bolzano-Weierstraß.

Answer

Satz von Heine-Borel.

Question 52

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 53

Welcher Ausdruck beschreibt die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle a?

Accepted Answer

lim_(x->a) f(x) = f(a)

Answer

f(x) ist in a differenzierbar

Answer

f(a) = a

Answer

lim_(x->0) f(x) = 0

Question 54

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert?

Accepted Answer

lim_(x->0) (sin(x) / x)

Answer

lim_(x->inf) (e^x / x)

Answer

lim_(x->inf) (1 / x^2 - 1)

Answer

lim_(x->0) (x / sin(x))

Question 55

Welche Funktion ist an der Stelle x = 2 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = { x^2 - 1, wenn x < 2; 3x - 4, wenn x >= 2 }

Answer

f(x) = x^2 - 4

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)

Question 56

Welcher Satz kann verwendet werden, um den Grenzwert von lim_(x->∞) (x^2 + 2x - 1) / (x^2 - 1) zu bestimmen?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Quotienten

Answer

Satz von Stolz-Cesàro

Answer

Grenzwertsatz für Wurzelfunktionen

Answer

Satz von L'Hospital

Question 57

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich 0?

Accepted Answer

lim_(x->0) (1 - cos(x)) / x

Answer

lim_(x->0) (sin(x) / x)

Answer

lim_(x->0) (x^2 / sin(x))

Answer

lim_(x->0) (tan(x) / x)

Question 58

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x?

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 2

Answer

f'(x) = x^3 - 2x

Answer

f'(x) = x^2 - 1

Answer

f'(x) = 3x - 2

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat bei x = 1 eine Polstelle.

Answer

Die Funktion ist bei x = 0 stetig.

Answer

Die Funktion hat einen lokalen Extremwert bei x = 1.

Answer

Die Funktion ist für alle x differenzierbar.

Question 60

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim_(x->0) (x * sin(1 / x))

Answer

lim_(x->0) ((x^2 - 1) / |x - 1|)

Answer

lim_(x->∞) (e^x / (x^2 + 1))

Answer

lim_(x->-∞) (x^3 / (x^2 - 1))

Question 61

Welcher der folgenden Ausdrücke beschreibt die Taylor-Reihe erster Ordnung für die Funktion f(x) = sin(x) um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

f(x) ≈ x

Answer

f(x) ≈ x + x^3 / 3!

Answer

f(x) ≈ sin(0) + x * cos(0)

Answer

f(x) ≈ x - x^3 / 3!

Question 62

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (1 / n^2)

Answer

∑_(n=1)^∞ (n / (n + 1))

Answer

∑_(n=1)^∞ (e^n)

Answer

∑_(n=2)^∞ (1 / ln(n))