Lineare Algebra und Analytische Geometrie: Online-Quizzes für die Qualifikationsphase 2

Question 1

Wie wird eine Drehung im zweidimensionalen Raum geometrisch durch eine lineare Abbildung dargestellt?

Accepted Answer

Drehung eines Vektors um einen festen Punkt um einen bestimmten Winkel

Answer

Verschiebung eines Vektors entlang einer Geraden

Answer

Spiegelung eines Vektors an einer Geraden

Answer

Vergrößerung oder Verkleinerung eines Vektors

Question 2

Bestimme das Tupel (u, v, w), das eine Linearkombination der Vektoren v = (1, 2, 3) und w = (2, 1, 0) darstellt:

Accepted Answer

(4, 5, 6)

Answer

(2, 3, 1)

Answer

(3, 1, 2)

Answer

(1, 3, 2)

Question 3

Welche Gleichung beschreibt eine Gerade im dreidimensionalen Raum R³?

Accepted Answer

x + 2y - 3z = 5

Answer

xy + yz + zx = 0

Answer

x = 1, y = 2, z = 3

Answer

x² + y² + z² = 4

Question 4

Welche Abbildung ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 5

Welche Aussage über eine Ebene im dreidimensionalen Raum R³ ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie ist eine zweidimensionale affine Teilmenge.

Answer

Sie ist eine dreidimensionale affine Teilmenge.

Answer

Sie ist eine eindimensionale affine Teilmenge.

Answer

Sie ist ein Vektorraum.

Question 6

Welches der folgenden Produkte ergibt einen Skalar?

Accepted Answer

v · w

Answer

v + w

Answer

v x w

Question 7

Welche geometrische Figur ist kein affines Gebilde?

Accepted Answer

Kreis

Answer

Gerade

Answer

Ebene

Answer

Dreieck

Question 8

Welche Matrix ist die Einheitsmatrix im dreidimensionalen Raum R³?

Accepted Answer

⎛ ⎝ 1 0 0 ⎞ ⎠

Answer

⎛ ⎝ 1 1 1 ⎞ ⎠

Answer

⎛ ⎝ 0 0 1 ⎞ ⎠

Answer

⎛ ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎠

Question 9

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zur y-Achse?

Accepted Answer

(0, 3)

Answer

(1, 1)

Answer

(2, 0)

Answer

(2, -3)

Question 10

Welche der folgenden Ebenen ist parallel zur yz-Ebene?

Accepted Answer

x = 0

Answer

y = 2z

Answer

x + y + z = 0

Answer

x - y = 0

Question 11

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt das Volumen eines Parallelepipeds dar?

Accepted Answer

|a x b x c|

Answer

a . b . c

Answer

|a x b|

Question 12

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Determinante einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Zahl, die angibt, ob die Spaltenvektoren linear unabhängig sind.

Answer

Das Produkt der Zeilen- oder Spaltensummen.

Answer

Die Summe der Diagonalelemente.

Question 13

Welche der folgenden Aussagen ist für alle Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ im $\mathbb{R}^3$ korrekt?

Accepted Answer

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$

Answer

$\vec{u} 	imes \vec{v} = \vec{v} 	imes \vec{u}$

Answer

$||\vec{u} + \vec{v}|| = ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||$

Answer

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} - \vec{u}$

Question 14

Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{pmatrix}$ mit der Ebene $E: x + y - z = 3$.

Accepted Answer

$(3, 0, 2)$

Answer

$(2, 1, 0)$

Answer

$(1, 2, -1)$

Answer

$(4, -1, 4)$

Question 15

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Normalenvektor der Ebene $E: 3x - 2y + z = 4$?

Accepted Answer

$(3, -2, 1)$

Answer

$(3, 2, 1)$

Answer

$(-3, 2, -1)$

Answer

$(1, -2, 3)$

Question 16

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zum Vektor (2, -3)?

Accepted Answer

(4, -6)

Answer

(-3, 2)

Answer

(0, 0)

Answer

(1, 2)

Question 17

Welche Aussage charakterisiert den euklidischen Raum R^3?

Accepted Answer

Er ist ein dreidimensionaler Vektorraum mit einem Skalarprodukt.

Answer

Er ist ein zweidimensionaler affiner Raum.

Answer

Er ist ein euklidischer Vektorraum ohne Skalarprodukt.

Question 18

Welcher der folgenden Vektorräume ist endlich?

Accepted Answer

Der Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2

Answer

Der Vektorraum aller reellen Zahlen

Answer

Der Vektorraum aller Funktionen von R nach R

Question 19

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Normalenvektor der Ebene E: 2x - 3y + z = 5 ?

Accepted Answer

n = (2, -3, 1)

Answer

(5, 2, -3)

Answer

(-3, 1, 5)

Answer

(2, 3, 1)

Question 20

Gegeben sind die Punkte A(1, 2, 3) und B(4, 5, 6). Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Gerade durch A und B?

Accepted Answer

g: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(3, 3, 3)

Answer

(x, y, z) = (4, 5, 6) + t(-3, -3, -3)

Answer

(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(4, 5, 6)

Question 21

Berechnen Sie den Abstand des Punktes P(1, -2, 3) zur Ebene E: x + 2y - 2z + 4 = 0.

Accepted Answer

d = 3

Answer

d = 9

Answer

d = 1

Answer

d = √14

Question 22

Welcher Vektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von u = (1, 2, 3) und v = (-1, 0, 1)?

Accepted Answer

(2, -4, 2)

Answer

(2, 4, 2)

Answer

(-2, 4, -2)

Answer

(-2, -4, -2)

Question 23

Was ist die Dimension des von den Vektoren (1, 0, 1) und (2, 0, 2) aufgespannten Vektorraums?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 24

Welche Aussage über affine Räume ist falsch?

Accepted Answer

Ein affiner Raum besitzt immer einen Nullvektor.

Answer

Ein affiner Raum ist eine Menge von Punkten, die mit Vektoren verschoben werden können.

Answer

Geraden und Ebenen sind Beispiele für affine Räume.

Answer

Ein affiner Raum ist nicht notwendigerweise ein Vektorraum.

Question 25

Die Gerade g ist durch die Gleichung (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, -1, 4) gegeben. Welcher Punkt liegt nicht auf der Geraden g?

Accepted Answer

(3, 1, 7)

Answer

(3, 1, -1)

Answer

(5, 0, 11)

Answer

(-1, 3, -5)

Question 26

Was ist der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren u = (1, 0, 1) und v = (0, 1, 1)?

Accepted Answer

√2 / 2

Answer

1

Answer

1 / 2

Answer

√3 / 2

Question 27

Welche Aussage über euklidische Räume ist richtig?

Accepted Answer

In einem euklidischen Raum kann man Längen und Winkel messen.

Answer

Ein euklidischer Raum hat immer die Dimension 3.

Answer

Ein euklidischer Raum ist dasselbe wie ein affiner Raum.

Question 28

Zwei Ebenen sind genau dann parallel zueinander, wenn...

Accepted Answer

...ihre Normalenvektoren kollinear sind.

Answer

...sie keinen gemeinsamen Punkt haben.

Answer

...sie sich in einer Geraden schneiden.

Answer

...sie identisch sind.

Question 29

Gegeben sind die Punkte A(1|2|3) und B(4|5|6). Welcher Vektor beschreibt die Richtung von Punkt A nach Punkt B?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 3 \ 3 \ 3 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 5 \ 7 \ 9 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} -3 \ -3 \ -3 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} -2 \ -3 \ -4 \end{pmatrix}$

Question 30

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im Raum?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 4 \end{pmatrix}$

Answer

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$

Answer

$\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}$

Answer

$x + 2y - 3z = 5$

Question 31

Welcher Vektor steht senkrecht auf den Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 0 \end{pmatrix}$?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 3 \ 6 \ -5 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} -2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} -3 \ -6 \ 5 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 \end{pmatrix}$

Question 32

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P(1|2|3) von der Ebene mit der Gleichung $2x - y + 2z = 4$.

Accepted Answer

3

Answer

$\frac{1}{3}$

Answer

$\frac{7}{3}$

Answer

$\sqrt{14}$

Question 33

Welche Aussage über affine Räume ist falsch?

Accepted Answer

Jeder affine Raum ist auch ein Vektorraum.

Answer

Affine Räume besitzen keinen ausgezeichneten Nullpunkt.

Answer

Die Punkte eines affinen Raumes können als Vektoren aufgefasst werden.

Answer

Affine Räume sind abgeschlossen unter der Bildung von Geraden durch zwei Punkte.

Question 34

Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 4 \end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \ 2 \ -2 \end{pmatrix}$.

Accepted Answer

Die Geraden schneiden sich nicht.

Answer

$S(3|4|10)$

Answer

$S(0|3|-1)$

Answer

$S(2|1|7)$

Question 35

Die Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ sind linear abhängig. Was bedeutet das geometrisch?

Accepted Answer

Die Vektoren liegen in einer Ebene.

Answer

Die Vektoren haben alle die gleiche Länge.

Answer

Die Vektoren sind paarweise orthogonal.

Answer

Mindestens einer der Vektoren ist der Nullvektor.

Question 36

Was ist der Betrag des Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \ -4 \ 0 \end{pmatrix}$?

Accepted Answer

5

Answer

$\sqrt{7}$

Answer

7

Answer

25

Question 37

Welche der folgenden Transformationen ist keine affine Abbildung?

Accepted Answer

Spiegelung an einer Geraden und anschließende Streckung mit Faktor 2 vom Spiegelbild aus.

Answer

Skalierung mit einem Faktor k.

Answer

Verschiebung um einen festen Vektor.

Answer

Drehung um einen Punkt.

Question 38

Welchen Winkel schließen die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}$ ein?

Accepted Answer

$60°$

Answer

$30°$

Answer

$90°$

Answer

$45°$

Question 39

Welche Aussage über Vektorräume trifft nicht zu?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss endlichdimensional sein.

Answer

Die Menge aller Vektoren in einem Vektorraum bildet bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe.

Answer

Der Nullvektor ist ein Element jedes Vektorraums.

Answer

Die skalare Multiplikation bildet ℝ × V auf V ab, wobei V der Vektorraum ist.

Question 40

Welcher Punkt liegt auf der Geraden g: x - 2y = 5?

Accepted Answer

(3, 4)

Answer

(0, 5)

Answer

(5, 0)

Answer

(1, 2)

Question 41

Welche Gleichung beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

2x + 3y - z + 5 = 0

Answer

xy + yz + zx = 0

Answer

x + y + z = 0

Answer

x^2 + y^2 + z^2 = 1

Question 42

Welche Matrix ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Question 43

Welcher Vektor ist orthogonal zum Vektor (2, 3)?

Accepted Answer

(-3, 2)

Answer

(2, 3)

Answer

(6, 9)

Question 44

Welche Aussage über affine Räume ist korrekt?

Accepted Answer

Ein affiner Raum ist ein Vektorraum mit einem ausgezeichneten Punkt, dem Ursprung.

Answer

Ein affiner Raum kann nur endlich viele Punkte enthalten.

Answer

Ein affiner Raum ist ein Vektorraum ohne Nullvektor.

Question 45

Welche Matrix ist eine orthogonale Matrix?

Accepted Answer

[[cos(α), -sin(α)], [sin(α), cos(α)]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 46

Welche Gleichung beschreibt eine Parabel?

Accepted Answer

y = x^2

Answer

y = e^x

Answer

y = 1/x

Answer

y = x^3

Question 47

Welche Eigenschaft trifft nicht auf Vektorräume zu?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss mindestens eine Basis haben.

Answer

Ein Vektorraum kann unendlich viele Elemente enthalten.

Answer

Die Summe zweier Vektoren aus einem Vektorraum ist wieder ein Vektor aus demselben Vektorraum.

Answer

Ein Vektorraum ist ein algebraisches System über einem Körper.

Question 48

Gegeben sind die Punkte A(1, 2, 3) und B(4, 5, 6). Welcher Vektor beschreibt die Richtung von A nach B?

Accepted Answer

(3, 3, 3)

Answer

(−3, −3, −3)

Answer

(5, 7, 9)

Question 49

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im ℝ³?

Accepted Answer

2x - y + 3z = 6

Answer

y = 2x + 1

Answer

x² + y² = 9

Answer

z = x² + 2y

Question 50

Was ist der Abstand des Punktes P(1, 2, 3) zur Ebene E: x + 2y - z = 4?

Accepted Answer

√6

Answer

6

Answer

2√6

Question 51

Die Vektoren (1, 2, 3) und (2, 4, k) sind linear abhängig. Was ist der Wert von k?

Accepted Answer

6

Answer

0

Answer

-6

Answer

3

Question 52

Welche Aussage über affine Unterräume ist korrekt?

Accepted Answer

Jeder affine Unterraum kann durch einen Punkt und einen Richtungsraum eindeutig beschrieben werden.

Answer

Der Nullvektor ist Element jedes affinen Unterraums.

Answer

Affine Unterräume sind immer Untervektorräume.

Question 53

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis für den Vektorraum ℝ²?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 0), (2, 0)}

Answer

{(1, 1), (2, 2)}

Answer

{(1, 1)}

Question 54

Gegeben ist die Gerade g: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, -1, 1). Welcher Punkt liegt nicht auf der Geraden g?

Accepted Answer

(3, 1, 2)

Answer

(3, 1, 4)

Answer

(-1, 3, 2)

Question 55

Was ist der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren u = (1, 0, 1) und v = (0, 1, 1)?

Accepted Answer

√2 / 2

Answer

1 / 2

Answer

0

Answer

1

Question 56

Welche Aussage über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ist **falsch**?

Accepted Answer

Das Vektorprodukt ist kommutativ.

Answer

Der Betrag des Vektorprodukts entspricht dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Answer

Das Vektorprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht.