Integrale lernen: Online-Quizze und Übungen für die Qualifikationsphase 1

Question 1

Berechne die Fläche unter dem Graphen von y = e^x zwischen x = 0 und x = 1.

Accepted Answer

e - 1

Answer

e + 1

Answer

1 - e

Answer

e² - 1

Question 2

Welche Aussage über Integrale von Funktionen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Das Integral einer geraden Funktion ist stets eine ungerade Funktion.

Answer

Das Integral einer konstanten Funktion ist eine konstante Funktion.

Answer

Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Funktionen.

Answer

Das Integral einer Funktion über ein Intervall kann negativ sein.

Question 3

Welche Aussage über Integrale ungerader Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Das Integral einer ungeraden Funktion über ein symmetrisches Intervall ist null.

Answer

Das Integral einer ungeraden Funktion ist ungerade.

Answer

Das Integral einer ungeraden Funktion ist positiv.

Answer

Das Integral einer ungeraden Funktion ist negativ.

Question 4

Welcher Integraltyp wird benötigt, um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln?

Accepted Answer

Bestimmtes Integral

Answer

Unbestimmtes Integral

Answer

Doppelintegral

Answer

Tripelintegral

Question 5

Berechne das Integral von sin(x) dx.

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Question 6

Welche der folgenden Funktionen ist nicht integrierbar?

Accepted Answer

x^(1/2)

Answer

x²

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Question 7

Welche geometrische Bedeutung hat das bestimmte Integral von f(x) dx?

Accepted Answer

Fläche unter der Kurve f(x)

Answer

Fläche über der Kurve f(x)

Answer

Volumen unter der Kurve f(x)

Answer

Volumen über der Kurve f(x)

Question 8

Welche Substitutionsvariablen verwenden Sie, um ∫(sin(x)cos(x)) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = sin(x)

Answer

u = cos(x)

Answer

u = tan(x)

Answer

u = x

Question 9

Welches Integral stellt die Fläche unter der Kurve y = 1/x von x = 1 bis x = e dar?

Accepted Answer

∫1e (1/x) dx

Answer

∫1e x dx

Answer

∫1e (x/x) dx

Answer

∫e1 (1/x) dx

Question 10

Welches Integral ist ein Beispiel für ein bestimmtes Integral?

Accepted Answer

∫0² x^2 dx

Answer

∫x^2 dx

Answer

∫(sin(x) + cos(x)) dx

Answer

∫e^x dx

Question 11

Berechne das Integral von f(x) = 2x.

Accepted Answer

x²/2 + C

Answer

x² + C

Answer

2x² + C

Answer

2x²/2 + C

Question 12

Welche Aussage über bestimmte Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Sie berechnen die Gesamtfläche unter der Kurve zwischen zwei gegebenen Grenzen.

Answer

Sie berechnen den durchschnittlichen Wert der Funktion zwischen zwei gegebenen Grenzen.

Answer

Sie berechnen die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Answer

Sie berechnen den kritischen Punkt der Funktion.

Question 13

Wie berechnet man die Fläche unter der Kurve von f(x) = e^x zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫[0,2] e^x dx

Answer

∫[2,0] e^x dx

Answer

∫[2,0] e^(-x) dx

Answer

∫[0,2] e^(-x) dx

Question 14

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Question 15

Mit welcher Formel kann man die Fläche unter der Kurve f(x) über dem Intervall [a, b] berechnen?

Accepted Answer

∫[a, b] f(x) dx

Answer

∫[a, b] x f'(x) dx

Answer

∫[a, b] 1 / f(x) dx

Question 16

Welche Regel kann man anwenden, um Integrale von Funktionen zu lösen, die in einer anderen Funktion eingesetzt sind?

Accepted Answer

Substitutionsregel

Answer

Kettenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 17

Welche der folgenden Funktionen ist NICHT stetig integrierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Question 18

Welcher Ausdruck ist das Integral von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

x² + x + C

Answer

x² + C

Answer

2x² + C

Answer

x + C

Question 19

Bestimme die Fläche unter der Kurve y = f(x) = x² im Intervall [0, 2].

Accepted Answer

8/3

Answer

2/3

Answer

4

Answer

8

Question 20

Welche Integrationstechnik eignet sich am besten zur Berechnung des Integrals von ∫sqrt(x + 1) dx?

Accepted Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Numerische Integration

Question 21

Welcher Satz erlaubt es, das Integral von f(g(x))g'(x) dx umzuformen?

Accepted Answer

Substitutionsregel

Answer

Mittelwertsatz

Answer

Kettenregel

Answer

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Question 22

Welche Aussage über das Integral einer ungeraden Funktion f(x) von -a bis a ist korrekt?

Accepted Answer

Es ist immer gleich 0.

Answer

Es ist immer positiv.

Answer

Es ist immer negativ.

Answer

Es kann positiv, negativ oder 0 sein.

Question 23

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral?

Accepted Answer

∫[0, ∞) e^-x dx

Answer

∫[0, 1] 1/x dx

Answer

∫[-1, 1] x² dx

Answer

∫[0, π/2] sin(x) dx

Question 24

Beschreibe die geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals (intlimits_a^b f(x)  dx). Erläutere deine Antwort.

Accepted Answer

Die Fläche, die von der Kurve (y = f(x)), der x-Achse und den vertikalen Linien bei (x = a) und (x = b) eingeschlossen wird.

Answer

Die Länge der Kurve (y = f(x)) auf dem Intervall ([a, b]).

Answer

Das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche unter der Kurve (y = f(x)) um die y-Achse auf dem Intervall ([a, b]) entsteht.

Question 25

Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation der Fläche unter der Kurve y = x³ zwischen x = 0 und x = 2 um die x-Achse entsteht.

Accepted Answer

π∫₀² x⁶ dx

Answer

π∫²₀ x⁶ dx

Answer

2π∫₀² x³ dx

Answer

2π∫²₀ x³ dx

Question 26

Welche Integralgrenzen sind für die Berechnung der Gesamtfläche unter der Kurve y = x² zwischen x = -1 und x = 1 zu verwenden?

Accepted Answer

-1, 1

Answer

0, 2

Answer

1, -1

Answer

2, 0

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

-sin(x)

Question 28

Berechne die Fläche unter der Kurve y = x³ zwischen x = 0 und x = 2.

Accepted Answer

8

Answer

2

Answer

4

Answer

16

Question 29

Welche der folgenden Integrationsmethoden wird angewendet, um das Integral von ∫(x * e^x) dx zu lösen?

Accepted Answer

Integration durch Teile

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Keiner der genannten

Question 30

Welche der folgenden Aussagen über uneigentliche Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral kann konvergieren oder divergieren.

Answer

Ein uneigentliches Integral konvergiert immer.

Answer

Ein uneigentliches Integral divergiert immer.

Answer

Ein uneigentliches Integral ist immer beschränkt.

Question 31

Welche der folgenden Funktionen ist nicht integrierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Question 32

Was ist ein Integral?

Accepted Answer

Die Summe infinitesimal kleiner Flächen

Answer

Der Ableitungsprozesses einer Funktion

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion

Answer

Die Ableitung einer Funktion nach einer bestimmten Variablen.

Question 33

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = x^3?

Accepted Answer

x^4 / 4 + C

Answer

x^2 / 2 + C

Answer

3x^2 + C

Answer

x^3 + C

Question 34

Was kann über uneigentliche Integrale ausgesagt werden?

Accepted Answer

Sie können konvergieren oder divergieren.

Answer

Sie sind immer konvergent.

Answer

Sie sind immer negativ.

Answer

Sie sind nur für rationale Zahlen definiert.

Question 35

Wie wird die Fläche unter der Kurve y = x^2 im Intervall [0, 1] berechnet?

Accepted Answer

∫_0^1 x^2 dx

Answer

∫_1^0 x^2 dx

Answer

∫ x^2 dx von 0 bis 1

Answer

∫ x dx von 0 bis 1

Question 36

Welche Substitution ist bei der Integration von ∫ e^x sin(x) dx sinnvoll?

Accepted Answer

u = e^x

Answer

u = sin(x)

Answer

u = e^x sin(x)

Answer

u = x

Question 37

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die grundlegende Definition des Integrals am zutreffendsten?

Accepted Answer

Die Summe unendlich vieler infinitesimal kleiner Flächenstücke zwischen einer Kurve und der x-Achse

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion

Answer

Der Grenzwert einer unendlichen Reihe

Question 38

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

F(x) = e^x + K

Answer

F(x) = ln(e^x)

Answer

F(x) = x * e^x

Answer

F(x) = 1 / e^x

Question 39

Wie berechnet man die Fläche unter der Kurve y = x^2 zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫[0, 2] x^2 dx

Answer

∫[0, 2] e^x dx

Answer

∫[0, 2] 1 / x^2 dx

Answer

∫[0, 2] 2x dx

Question 40

Was ist eine zutreffende Aussage über uneigentliche Integrale?

Accepted Answer

Sie können konvergieren oder divergieren.

Answer

Sie sind immer divergent.

Answer

Sie finden niemals Anwendung.

Answer

Sie sind immer konvergent.

Question 41

In welchem Zusammenhang steht die Berechnung des Integrals mit der Bestimmung der Arbeit einer Kraft über eine Strecke?

Accepted Answer

Die Fläche unter der Kurve der Kraft-Weg-Funktion

Answer

Die Steigung einer Geschwindigkeits-Zeit-Funktion

Answer

Die Ableitung einer Beschleunigungs-Zeit-Funktion

Question 42

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = x³?

Accepted Answer

1/4 * x⁴ + C

Answer

x + C

Answer

x⁴ + C

Answer

3x² + C

Question 43

Berechne das Integral von ∫(2x + 3) dx.

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

2x³ + 3x² + C

Answer

2x + 3

Answer

2x² + C

Question 44

Welches Integral ergibt das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche unter der Kurve y = x² zwischen x = 0 und x = 2 um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

∫₀² πx⁴ dx

Answer

∫₀² x⁴ dx

Answer

∫₀² 2πx² dx

Answer

∫₀² πx² dx

Question 45

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^(x²)

Answer

x * e^x + C

Answer

1/e^x + C

Question 46

Welches Integral berechnet das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Fläche unter der Kurve f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2 um die x-Achse rotiert wird?

Accepted Answer

π(2^5/5 - 0) = (32π)/5

Answer

π(2^4 - 0) = 16π

Answer

(2^5/5 - 0) = 32/5

Question 47

Welcher Substitution ist notwendig, um das Integral ∫√(1 + x²) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = 1 + x²

Answer

u = x²

Answer

u = √(1 + x²)

Answer

u = x

Question 48

Bestimme das Integral ∫(e^x + 2x - 1) dx.

Accepted Answer

e^x + x² - x + C

Answer

e^x - x² + x + C

Answer

e^x + 2x² - x + C

Answer

e^x - 2x² + x + C

Question 49

Welcher Integralsatz wird verwendet, um das bestimmte Integral ∫[0,1] (x² + 2x - 1) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Fundamentalsatz der Integralrechnung

Answer

Substitutionssatz der Integralrechnung

Answer

Partielle Integration

Answer

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Question 50

Bestimme das Integral ∫(sin(x) + cos(x))² dx.

Accepted Answer

x/2 + sin(x)cos(x) + C

Answer

x/2 - sin(x)cos(x) + C

Answer

2x + sin(x)cos(x) + C

Answer

2x - sin(x)cos(x) + C

Question 51

Bestimme das Integral ∫(1/(x - 1)) dx.

Accepted Answer

ln(|x - 1|) + C

Answer

-ln(|x - 1|) + C

Answer

1/(x - 1) + C

Answer

x/(x - 1) + C

Question 52

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an, während das Integral die Fläche unter dem Graphen der Funktion darstellt.

Answer

Die Ableitung einer Funktion gibt die Fläche unter dem Graphen der Funktion an, während das Integral die Steigung der Funktion darstellt.

Question 53

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x² + x + C

Answer

F(x) = 2x² + x + C

Answer

F(x) = x² + 1 + C

Answer

F(x) = x³ + x + C

Question 54

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt in Bezug auf die geometrische Interpretation des bestimmten Integrals?

Accepted Answer

Das bestimmte Integral gibt die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse im gegebenen Intervall an.

Answer

Das bestimmte Integral gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im gegebenen Punkt an.

Question 55

Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation der Kurve y = √x um die x-Achse im Intervall [0, 4] entsteht.

Accepted Answer

8π

Answer

4π

Answer

32π

Answer

16π

Question 56

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt in Bezug auf die unbestimmte Integration?

Accepted Answer

Die unbestimmte Integration liefert eine Familie von Stammfunktionen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden.

Answer

Die unbestimmte Integration liefert eine einzige Stammfunktion, die die einzige Stammfunktion der gegebenen Funktion ist.

Question 57

Welcher der folgenden Ausdrücke ist das Integral von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

x² + x + C

Answer

2x - 1 + C

Answer

2x² + C

Answer

x² - x + C

Question 58

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von g(x) = sin(x) + cos(x)?

Accepted Answer

-cos(x) + sin(x) + C

Answer

cos(x) + sin(x) + C

Answer

sin(x) - cos(x) + C

Answer

-sin(x) + cos(x) + C

Question 59

Berechne das Integral von h(x) = x³ von 0 bis 2.

Accepted Answer

16

Answer

8

Answer

32

Answer

64

Question 60

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts unter dem Graphen einer Funktion f(x) zwischen den Grenzen a und b?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx

Answer

∫[a,b] f'(x) dx

Answer

∫[b,a] f(x) dx

Answer

∫[b,a] f'(x) dx

Question 61

Welche der folgenden Anwendungen von Integralen wird verwendet, um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen?

Accepted Answer

Volumen = ∫πr²(x) dx

Answer

Volumen = ∫r(x) dx

Answer

Volumen = ∫r²(x) dx

Answer

Volumen = ∫πr(x) dx

Question 62

Welcher der folgenden Schritte ist nicht Teil der Lösung eines Integrals?

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion nehmen

Answer

Die Grenzen des Integrals berücksichtigen

Answer

Integrieren

Answer

Die Stammfunktion finden

Question 63

Welche der folgenden Integrationstechniken wird verwendet, um das Integral von ∫(x + 1)² dx zu lösen?

Accepted Answer

Binomische Formel

Answer

Integration durch Teile

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Question 64

Was ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' = 2x?

Accepted Answer

y = x² + C

Answer

y = 1/2x² + C

Answer

y = 2x² + C

Answer

y = -x² + C