Integrale lernen: Online-Quizze und Übungen für die Einführungsphase im Fachgymnasium

Question 1

Berechne das Integral ∫(x²+1)² x dx durch Einsetzen von u = x² + 1.

Accepted Answer

∫(u²+1)² du

Answer

∫(x²+1)³ dx

Answer

∫(2x)³ dx

Answer

∫(x²+2x+1)² dx

Question 2

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert 3 annimmt, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) durch f(x) = (1/(2√(π))) * e^(-(x-2)²/2) gegeben ist.

Accepted Answer

(1/(2√(π))) * e^(-1/2)

Answer

0

Answer

1/2

Answer

e^(-1/2)

Question 3

Erläutere den Unterschied zwischen der Ableitung einer Stammfunktion und der ursprünglichen Funktion. Begründe, warum dieses Verständnis für die Integralrechnung wichtig ist.

Accepted Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion gibt die Änderungsrate der ursprünglichen Funktion an.

Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ist immer gleich der ursprünglichen Funktion.

Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ist immer die Umkehrfunktion der ursprünglichen Funktion.

Question 4

Wie lässt sich die Integralrechnung anwenden, um das Volumen eines Rotationskörpers zu bestimmen, der durch die Drehung der Funktion f(x) um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

Das Volumen berechnet sich durch das Integral von πf(x)² über das Intervall [a, b].

Answer

Das Volumen ist das Integral von f(x) über das Intervall [a, b].

Question 5

Wie lautet die korrekte Aussage über die Stammfunktion F(x) von f(x)?

Accepted Answer

Die Steigung von F(x) an der Stelle x = x₀ entspricht f'(x₀).

Answer

Die Steigung von F(x) an der Stelle x = x₀ entspricht f(x₀).

Answer

Die Steigung von F(x) an der Stelle x = x₀ ist gleich 0.

Question 6

Berechne das Integral von sin(x) * cos(x) dx.

Accepted Answer

1/2 * sin²(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

cos²(x) + C

Question 7

Konvergiert das Integral ∫[-1,1] (1/(x²)) dx?

Accepted Answer

Nein, das Integral divergiert.

Answer

Ja, das Integral konvergiert.

Answer

Das Integral ist gleich 0.

Answer

Das Integral ist gleich 1.

Question 8

Wie berechnet man die Arbeit W, die benötigt wird, um ein Objekt mit der konstanten Kraft F über die Strecke s zu bewegen?

Accepted Answer

W = F * s

Answer

W = 1/2 * F * s

Answer

W = F / s

Answer

W = s / F

Question 9

Was ist die Definition eines Integrals?

Accepted Answer

Die Fläche unter der Kurve der Funktion über ein bestimmtes Intervall

Answer

Die Ableitung der Funktion

Answer

Eine Konstante

Question 10

Welche Aussage zur numerischen Integration ist korrekt?

Accepted Answer

Die Simpsonsche Regel ist in der Regel die genaueste Methode.

Answer

Sie liefert immer den exakten Wert des Integrals.

Answer

Die Trapezregel ist immer genauer als die Rechteckregel.

Question 11

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f'(x) = sin(x) * cos(x)?

Accepted Answer

1 / 2 * sin²(x)

Answer

cos(x) - sin(x)

Answer

sin(x) + cos(x)

Question 12

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Drehung der Funktion f(x) um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

Bestimme die Stammfunktion von f(x) und integriere sie über den Rotationsbereich.

Answer

Differenziere f(x) über den Rotationsbereich und integriere das Ergebnis.

Answer

Quadriere f(x) und integriere das Ergebnis über den Rotationsbereich.

Answer

Multipliziere f(x) mit der Länge des Rotationsbereichs.

Question 13

Nenne und erläutere drei wesentliche Eigenschaften von Integralen.

Accepted Answer

Linearität: Das Integral einer Summe von Funktionen entspricht der Summe der Integrale der einzelnen Funktionen.

Accepted Answer

Additivität: Das Integral einer Funktion über ein Intervall entspricht der Summe der Integrale über Teilintervalle.

Accepted Answer

Integrationskonstante: Das Integral einer Funktion ist nur bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt.

Question 14

Welcher der folgenden Integrale ist uneigentlich?

Accepted Answer

∫[1, ∞] 1/x² dx

Answer

∫[0, 1] x dx

Answer

∫[-1, 1] sin(x) dx

Question 15

Welcher der folgenden Integrale ist ein bestimmtes Integral?

Accepted Answer

∫[0, 1] e^(-x) dx

Answer

∫ e^(-x) dx

Answer

∫_[0, ∞] e^(-x) dx

Question 16

Welche der folgenden Aussagen zur Flächenberechnung mit Integralen ist richtig?

Accepted Answer

Die Fläche unter einer nicht-negativen Funktion f(x) im Intervall [a, b] ist gegeben durch ∫[a, b] f(x) dx.

Answer

Die Fläche unter einer negativen Funktion f(x) im Intervall [a, b] ist gegeben durch -∫[a, b] f(x) dx.

Question 17

Welcher der folgenden Schritte ist notwendig, um ∫[0, 1] (x + 1)² dx zu lösen?

Accepted Answer

Die Klammer ausmultiplizieren und jeden Term einzeln integrieren.

Answer

Die Funktion in Partialbrüche zerlegen.

Answer

Die Funktion mit der Kettenregel integrieren.

Question 18

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von 1?

Accepted Answer

x + C

Answer

e^x

Answer

x

Answer

cos(x)

Question 19

Berechne das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche unter der Kurve y = x² zwischen x = 0 und x = 1 um die x-Achse entsteht.

Accepted Answer

∫[0,1] π(x²)² dx = (π/5) Volumeneinheiten

Answer

∫[0,1] π(x²)³ dx = (π/5) Volumeneinheiten

Answer

∫[0,1] πx² dx = (π/5) Volumeneinheiten

Answer

∫[0,1] π(x²) dx = (π/5) Volumeneinheiten

Question 20

Berechne das Integral von ∫(2x + 3) dx.

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

e^(2x+3) + C

Answer

2x² + 3x + C

Answer

4x + 3 + C

Question 21

Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem bestimmten Integral ∫[a,b] f(x) dx und der Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x)?

Accepted Answer

Das bestimmte Integral liefert den Flächeninhalt unter dem Graphen von f(x) im Intervall [a,b].

Answer

Das bestimmte Integral ergibt die Länge des Graphen von f(x) im Intervall [a,b].

Answer

Das bestimmte Integral beschreibt das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Graphen von f(x) um die x-Achse entsteht.

Question 22

Welche der folgenden Aussagen zur Integralrechnung ist korrekt?

Accepted Answer

Die Integralrechnung ist ein mathematisches Werkzeug zur Untersuchung von Funktionen, die sich kontinuierlich ändern.

Answer

Die Integralrechnung wird ausschließlich zur Lösung physikalischer Probleme eingesetzt.

Question 23

Berechne das Integral von ∫(cos(x) + e^x) dx.

Accepted Answer

sin(x) + e^x + C

Answer

sin(x) - e^x + C

Answer

-sin(x) + e^x + C

Answer

cos(x) + e^x - C

Question 24

Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem unbestimmten Integral ∫f(x) dx und der Ableitung F(x)?

Accepted Answer

F'(x) = f(x)

Answer

∫F(x) dx = f(x) + C

Answer

F(x) = ∫f(x) dx

Answer

F(x) = f'(x)

Question 25

Ermitteln Sie die Stammfunktion von f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

1/2e^(2x) + C

Answer

-1/2e^(2x) + C

Answer

2e^(2x) + C

Answer

-2e^(2x) + C

Question 26

Welche der folgenden Funktionen ist ein Integral von f(x) = sin(x) ?

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Question 27

Bestimme die Stammfunktion von f(x) = eˣ.

Accepted Answer

eˣ + C

Answer

1/eˣ + C

Answer

x * eˣ + C

Answer

eˣ² + C