Numerische Integration lernen: Trapezregel, Simpsonregel, Gauß-Quadratur

Question 1

Welche Aussage zur Simpsonregel ist falsch?

Accepted Answer

Die Simpsonregel ist für Funktionen mit Singularitäten nicht anwendbar.

Answer

Die Simpsonregel ist genauer als die Trapezregel.

Answer

Die Simpsonregel erfordert die Beurteilung der zweiten Ableitung der integrierten Funktion.

Answer

Die Simpsonregel ist eine Integrationsmethode höherer Ordnung als die Trapezregel.

Question 2

Wie viele Stützstellen verwendet die Gauß-Quadratur mit zwei Punkten?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 3

Welche Integrationsmethode liefert das genaueste Ergebnis für eine Funktion mit vielen Oszillationen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 4

Welcher Faktor hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit der numerischen Integration?

Accepted Answer

Stetigkeit der Funktion

Answer

Schrittweite

Answer

Ordnung der Methode

Answer

Anzahl der Stützstellen

Question 5

Wie lauten die Stützstellen der Gauß-Quadratur mit zwei Punkten?

Accepted Answer

x_1 = -√3/3, x_2 = √3/3

Answer

x_1 = -1, x_2 = 1

Answer

x_1 = 0, x_2 = 1

Question 6

Worauf basiert die numerische Integration?

Accepted Answer

Zerlegung des Integrationsintervalls in Teilintervalle

Answer

Analytische Lösung des Integrals

Answer

Verwendung von Differentialgleichungen

Question 7

Welche Voraussetzung muss für die Anwendung der Simpsonregel erfüllt sein?

Accepted Answer

f(x) ist stetig und besitzt eine zweite Ableitung.

Answer

f(x) ist differenzierbar und besitzt eine dritte Ableitung.

Answer

f(x) ist streng monoton.

Answer

f(x) ist konkav.

Question 8

Was ist die Grundidee hinter der Gauß-Quadratur?

Accepted Answer

Sie verwendet Gewichte und Stützstellen zur Annäherung eines Integrals.

Answer

Sie liefert eine exakte Lösung für alle stetigen Funktionen.

Answer

Sie kann nur für Polynomfunktionen verwendet werden.

Answer

Sie liefert immer eine bessere Näherung als die Trapezregel.

Question 9

Welche der folgenden Methoden wird zur numerischen Integration verwendet?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Ableitungsregel

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Answer

Polarkoordinatentransformation

Question 10

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Integration ist falsch?

Accepted Answer

Sie ist immer genauer als die analytische Integration.

Answer

Sie kann auch für uneigentliche Integrale verwendet werden.

Answer

Sie kann Integrale von Funktionen berechnen, die keine Stammfunktion besitzen.

Answer

Die Genauigkeit steigt mit dem Grad des verwendeten Polynoms.

Question 11

Welche der genannten numerischen Integrationsmethoden konvergiert am schnellsten mit der Anzahl der verwendeten Stützstellen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Question 12

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral zweiter Art?

Accepted Answer

∫[0, ∞] e^(-x) dx

Answer

∫[0, 1] 1/(x-2) dx

Answer

∫[-1, 1] arctan(x) dx

Answer

∫[-∞, ∞] x² dx

Question 13

Welche der folgenden Methoden ist eine numerische Integrationsmethode?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Partielle Integration

Answer

Linearisierung

Answer

Cauchy-Riemannsche Gleichungen

Question 14

Welche der folgenden Formeln ist die Approximationsformel für die Trapezregel?

Accepted Answer

I ≈ (b-a)/2 * (f(a) + f(b))

Answer

I ≈ (b-a)/6 * (f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b))

Answer

I ≈ (b-a)/4 * (2f(a) + 2f(b) - f((a+b)/2))

Answer

I ≈ (b-a) * (f(a) - f(b))

Question 15

Was besagt der Satz von Gauß?

Accepted Answer

Ein Integral lässt sich näherungsweise durch eine Summe von Funktionswerten an bestimmten Stellen berechnen.

Answer

Die Summe der Residuen einer meromorphen Funktion in ihrem Definitionsbereich ist gleich Null.

Answer

Die Anzahl der Nullstellen einer Polynomfunktion ist gleich ihrem Grad.

Answer

Eine konvergente Folge ist eine Folge, die einen Grenzwert besitzt.

Question 16

Welche der folgenden Funktionen ist für die Anwendung der Gauß-Quadratur ungeeignet?

Accepted Answer

1/(x-2)

Answer

sin(x)

Answer

e^(-x²)

Answer

x³

Question 17

Welche Substitution ist geeignet, um das Integral ∫cos(x²) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = x²

Answer

u = sin(x)

Answer

u = cos(x)

Answer

u = eˣ

Question 18

Wie lautet die allgemeine Formel für die Trapezregel zur numerischen Integration?

Accepted Answer

½ * h * (f(a) + f(b))

Answer

½ * h * (f(a) - f(b))

Answer

h * (f(a) - f(b))

Answer

h * (f(a) + f(b))

Question 19

Welche der folgenden Funktionen ist nicht integrierbar?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 20

Welche Aussage zur Gauß-Quadratur ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine gewichtete Quadraturformel.

Answer

Sie ist eine offene Formel.

Answer

Sie ist immer ungenauer als die Trapezregel.

Answer

Sie benötigt keine Stützstellen.

Question 21

Welche numerische Integrationsmethode liefert die genaueste Näherung?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur mit hoher Ordnung

Answer

Trapezregel mit feiner Unterteilung

Answer

Mittelpunktsregel mit adaptiver Schrittweite

Answer

Simpsonregel mit ungerader Anzahl von Stützstellen

Question 22

Welcher Fehlertyp tritt auf, wenn die Schrittweite bei der numerischen Integration zu groß gewählt wird?

Accepted Answer

Abschneidefehler

Answer

Rundungsfehler

Answer

Aliasingfehler

Answer

Kürzungsfehler

Question 23

Welche Aussage zur Trapezregel ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Trapezregel liefert immer eine exakte Lösung für das bestimmte Integral.

Answer

Die Genauigkeit der Trapezregel steigt mit der Anzahl der Teilintervalle.

Answer

Die Trapezregel verwendet lineare Approximationen der Funktion.

Question 24

Die Simpsonregel basiert auf der Approximation der Funktion durch eine:

Accepted Answer

Parabel

Answer

Gerade

Answer

Exponentialfunktion

Answer

Kubische Funktion

Question 25

Welche Integrationsmethode ist im Allgemeinen **am genauesten**?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Alle Methoden sind gleich genau.

Question 26

Welches Integral kann mit der Trapezregel **nicht** näherungsweise berechnet werden?

Accepted Answer

∫(x^4 + 2x^3 - 1) dx von 0 bis 1

Answer

∫(sin(x)) dx von 0 bis π/2

Answer

∫(x^2 + 1) dx von 1 bis 3

Answer

∫(e^x) dx von 0 bis 2

Question 27

Wie viele Stützstellen benötigt die Simpsonregel, um ein Intervall in zwei Teilintervalle zu unterteilen?

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

2

Question 28

Die Gauß-Quadratur verwendet spezielle Stützstellen, die:

Accepted Answer

optimal für eine bestimmte Gewichtsfunktion gewählt werden

Answer

gleichmäßig über das Integrationsintervall verteilt sind

Answer

durch den Benutzer frei gewählt werden können

Question 29

Wie wirkt sich eine Erhöhung der Anzahl der Teilintervalle bei der Trapezregel auf die Genauigkeit des Ergebnisses aus?

Accepted Answer

Die Genauigkeit steigt.

Answer

Der Einfluss ist nicht vorhersehbar.

Answer

Die Genauigkeit bleibt gleich.

Answer

Die Genauigkeit sinkt.

Question 30

Welche Funktion kann **nicht** mit der Gauß-Quadratur integriert werden?

Accepted Answer

Eine Funktion mit unendlich vielen Unstetigkeitsstellen im Integrationsintervall.

Answer

Eine stückweise stetige Funktion.

Answer

Eine stetige Funktion.

Question 31

Welches Kriterium ist **kein** Kriterium für die Wahl einer numerischen Integrationsmethode?

Accepted Answer

Die Farbe der Funktion.

Answer

Die verfügbare Rechenzeit.

Answer

Die Komplexität der Funktion.

Answer

Die gewünschte Genauigkeit.

Question 32

Welche numerische Integrationsmethode eignet sich am besten, um das Integral einer stark oszillierenden Funktion zu approximieren?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Alle Methoden sind gleich gut geeignet.

Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Question 33

Die Trapezregel approximiert das Integral durch:

Accepted Answer

Die Fläche eines Trapezes

Answer

Die Fläche eines Rechtecks

Answer

Die Summe von Kreisflächen

Answer

Die Summe von Rechtecksflächen

Question 34

Welche Formel wird für die Simpsonregel verwendet?

Accepted Answer

h/3 * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + f(xn)]

Answer

h/2 * [f(x0) + 2f(x1) + 4f(x2) + 2f(x3) + ... + f(xn)]

Answer

h/6 * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + f(xn)]

Answer

h/3 * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + f(xn)]

Question 35

Welcher Vorteil ist mit der Gauß-Quadratur verbunden?

Accepted Answer

Genaue Approximation von Integralen mit singulären Integranden

Answer

Geringe Anzahl erforderlicher Funktionsevaluationen

Answer

Schnellere Berechnung als bei der Trapezregel

Answer

Anwendbarkeit auf alle Arten von Funktionen

Question 36

Welchen Grad hat das Polynom, das in der Gauß-Quadratur mit n Stützstellen verwendet wird?

Accepted Answer

n-1

Answer

n/2

Answer

n+1

Answer

n

Question 37

Welche Aussage zur numerischen Integration ist falsch?

Accepted Answer

Eine höhere Anzahl von Teilintervallen führt immer zu einer genaueren Approximation.

Answer

Die Gauß-Quadratur ist eine Methode der numerischen Integration.

Answer

Die Trapezregel ist eine spezielle Form der Newton-Cotes-Formeln.

Answer

Die numerische Integration liefert nur Näherungswerte.

Question 38

Berechne das Integral ∫[0,1] x³ dx mit der Trapezregel unter Verwendung von n=4 Teilintervallen.

Accepted Answer

0,25

Answer

1,0

Answer

0,5

Answer

0,75

Question 39

Approximiere das Integral ∫[0,2π] e^(-x) dx mit der Simpsonregel unter Verwendung von n=6 Teilintervallen.

Accepted Answer

4,8692

Answer

5,0266

Answer

5,2835

Answer

4,7117

Question 40

Welchen Grad hat das Polynom, das für die Gauß-Quadratur mit 3 Stützstellen verwendet wird?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

4

Question 41

Welcher der folgenden Integranden eignet sich am besten für die numerische Integration mit der Gauß-Quadratur?

Accepted Answer

x^5 * cos(x)

Answer

sin(x) * cos(x)

Answer

x * ln(x)

Answer

1 / x³

Question 42

Welche Aussage zur numerischen Integration ist wahr?

Accepted Answer

Sie ist ein wertvolles Werkzeug, wenn analytische Integrationsmethoden nicht anwendbar sind.

Answer

Sie ist nur für bestimmte Arten von Funktionen anwendbar.

Answer

Sie kann nur für Integrale mit nichtnegativen Integranden verwendet werden.

Answer

Sie ist immer genauer als analytische Integrationsmethoden.