Integrale: Verstehen und Anwenden in der Fachinformatik

Question 1

Welche der folgenden Regeln ist die Stammfunktion für die Ableitung f'(x) = 2x?

Accepted Answer

F(x) = x² + C

Answer

F(x) = x²

Answer

F(x) = 2x

Answer

F(x) = 2x + C

Question 2

Welches Integral stellt die Fläche unter der Kurve y = sin(x) im Intervall [0, π] dar?

Accepted Answer

∫₀^π sin(x) dx

Answer

∫₀^π cos(x) dx

Answer

∫π^0 sin(x) dx

Answer

∫π^0 cos(x) dx

Question 3

Welcher Substitutionstrick kann verwendet werden, um das Integral ∫√(x² + 1) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = √(x² + 1)

Answer

u = x² + 1

Answer

u = x

Answer

u = 1/x

Question 4

Was ist die Stammfunktion der Funktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^x

Answer

x*e^x

Answer

ln(e^x)

Question 5

Welcher Typ von Integral wird verwendet, um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen?

Accepted Answer

Volumenintegral

Answer

Flächenintegral

Answer

Linienintegral

Answer

Oberflächenintegral

Question 6

Was ist der Zweck der Integrationskonstante C?

Accepted Answer

Sie passt die Stammfunktion an die gegebene Anfangsbedingung an

Answer

Sie macht die Stammfunktion zu einer Funktion

Answer

Sie vereinfacht die Integration

Answer

Sie eliminiert negative Werte

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über uneigentliche Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergieren manchmal und divergieren manchmal

Answer

Sie konvergieren immer

Answer

Sie divergieren immer

Answer

Sie sind immer positiv

Question 8

Welche der folgenden Aussagen beschreibt KEINEN typischen Fallstrick bei der Berechnung von Integralen?

Accepted Answer

Verwenden der Kettenregel, wenn der Integrand eine zusammengesetzte Funktion ist

Answer

Vergessen, die Integrationskonstante hinzuzufügen

Answer

Nicht Berücksichtigen der Grenzen des Integrals

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über Stammfunktionen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion ist eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt.

Answer

Eine Stammfunktion ist eine Funktion, die unter dem Integralzeichen steht.

Answer

Eine Stammfunktion ist eine Funktion, die mit der gegebenen Funktion identisch ist.

Answer

Eine Stammfunktion kann nicht für jede Funktion bestimmt werden.

Question 10

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

x² - C

Answer

2x² + C

Answer

2x² - C

Question 11

Welche der folgenden Integrationsregeln erlaubt es, Integrale von Summen und Differenzen zu berechnen?

Accepted Answer

Linearitätsregel

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Answer

Partialbruchzerlegung

Question 12

Welche der folgenden Aussagen zur Integralrechnung ist falsch?

Accepted Answer

Integrale können nur für stetige Funktionen berechnet werden.

Answer

Der Integralsatz erlaubt es, Integrale zu berechnen, ohne die Stammfunktion zu bestimmen.

Answer

Die Integrationskonstante C berücksichtigt unbestimmte Integrale.

Answer

Integrale werden in der angewandten Mathematik häufig zur Problemlösung verwendet.

Question 13

Welche Substitution ist geeignet, um das folgende Integral zu lösen: ∫(x² + 1)dx?

Accepted Answer

u = x² + 1

Answer

u = x²

Answer

u = x + 1

Answer

u = 1 - x²

Question 14

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral?

Accepted Answer

∫(-∞,∞) e^(-x²)dx

Answer

∫(x² + 1)dx

Answer

∫(0,1) sin(x)dx

Answer

∫(1,5) x³dx

Question 15

Welches Integral ergibt die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² zwischen 0 und 2?

Accepted Answer

∫[0,2] x² dx

Answer

∫²[0] x² dx

Answer

∫[0,2] x dx

Answer

∫²[0] x dx

Question 16

Welcher Substitutionstyp ist bei der Integration von ∫(x²+1)³x dx anzuwenden?

Accepted Answer

u = x² + 1, du = 2x dx

Answer

u = x, du = dx

Answer

v = x² + 1, dv = 2x dx

Answer

v = x, dv = dx

Question 17

Welche der folgenden Aussagen trifft auf uneigentliche Integrale zu?

Accepted Answer

Sie können konvergieren oder divergieren.

Answer

Sie divergieren immer.

Answer

Sie konvergieren immer.

Answer

Sie können nur für rationale Funktionen berechnet werden.

Question 18

Welches Verfahren zur numerischen Integration liefert in der Regel die genauesten Ergebnisse?

Accepted Answer

Simpsonsche Regel

Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Mittelpunktsregel

Question 19

Beschreibe, wie Integrale in der realen Welt eingesetzt werden können, um verschiedene Phänomene zu modellieren und zu analysieren.

Accepted Answer

Berechnung von Flächeninhalten und Volumen von Objekten

Accepted Answer

Bestimmung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von bewegten Objekten

Accepted Answer

Lösung von Differentialgleichungen, die in der Physik und Ingenieurwissenschaften auftreten

Answer

Ausschließlich zur Berechnung des Volumens von Flüssigkeiten

Question 20

In einem bestimmten Integral, was ist die Rolle der unteren und oberen Grenze?

Accepted Answer

Die Grenzen legen den Integrationsbereich fest.

Answer

Die Grenzen werden verwendet, um die Stammfunktion abzuleiten.

Answer

Die Grenzen werden zur Berechnung der Fläche unter der Kurve verwendet.

Answer

Die Grenzen werden verwendet, um den Durchschnittswert der Funktion zu berechnen.

Question 21

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Drehen einer ebenen Kurve um eine Achse entsteht?

Accepted Answer

Durch Summieren der Flächen infinitesimal kleiner Querschnitte des Körpers

Answer

Durch Multiplizieren der Länge der Drehachse mit dem Radius des Rotationskörpers

Answer

Durch Lösen einer Differentialgleichung, die die Form des Rotationskörpers beschreibt

Answer

Durch numerische Simulation der Rotation des Körpers und anschließender Volumenbestimmung

Question 22

Welche Integrationsmethode ist für das Integral ∫(x * sin(x)) dx geeignet?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Lineare Substitution

Answer

Substitution

Answer

Integration durch Substitution

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

1/x + C

Answer

sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 24

Bestimme die Fläche zwischen den Kurven y = 2 und y = x + 1 über das Intervall [0, 3].

Accepted Answer

7/2

Answer

5/2

Answer

3/2

Answer

1/2

Question 25

Welche der folgenden Anwendungen von Integralen ist in der Fachinformatik relevant?

Accepted Answer

Berechnung der Arbeit, die von einem Algorithmus geleistet wird

Answer

Berechnung der Länge eines Bogens

Answer

Berechnung des Volumens eines Kegels

Answer

Berechnung der Fläche eines Dreiecks

Question 26

Berechne das Integral, das die Bogenlänge der Kurve y = e^x im Intervall [0, 1] bestimmt:

Accepted Answer

∫[0,1] √(1 + (e^x)²) dx

Answer

1 + ∫[0,1] e^x dx

Answer

∫[0,1] e^x dx

Answer

∫[0,1] (1 + e^x) dx

Question 27

Berechne das Integral, das die Arbeit bestimmt, die erforderlich ist, um ein Objekt von der Position x = 0 auf die Position x = 2 zu bewegen, wenn die Kraft entlang des Weges durch f(x) = x³ + 1 gegeben ist:

Accepted Answer

∫[0,2] (x³ + 1) dx

Answer

∫[0,2] x³ dx

Answer

2 * ∫[0,2] (x³ + 1) dx

Answer

∫[0,2] (x³ + 2) dx

Question 28

Berechne das Integral, das den Schwerpunkt eines dünnen Stabes der Länge 2 bestimmt, dessen Dichtefunktion durch ρ(x) = x gegeben ist:

Accepted Answer

(1/2) * ∫[0,2] x * ρ(x) dx

Answer

∫[0,2] ρ(x) dx

Answer

∫[0,2] x² * ρ(x) dx

Question 29

Berechne das Integral, das die Laplace-Transformierte der Funktion f(x) = e^(-ax) für a > 0 bestimmt:

Accepted Answer

∫[0,∞] e^(-ax) * e^(-sx) dx

Answer

∫[0,∞] e^(-sx) dx

Answer

∫[-∞,∞] e^(-ax) * e^(-sx) dx

Answer

∫[0,∞] e^(-ax) dx

Question 30

Berechne das Integral von ∫(x³ + 2x² + 1) dx.

Accepted Answer

(1/4)x⁴ + (2/3)x³ + x + C

Answer

(4/1)x³ - 2x² + x + C

Answer

(1/4)x³ - x² + x + C

Answer

(4/1)x³ + 2x² + x + C

Question 31

Welche der folgenden Integrale stellt die Änderungsrate des Volumens eines sich ausdehnenden Gases dar, wenn der Druck p und das Volumen V durch die Gleichung pV^γ = konstant gegeben sind?

Accepted Answer

γpV^(γ-1)

Answer

V^(γ-1)

Answer

(γ-1)pV^γ

Answer

pV^(γ-1)

Question 32

Welche der folgenden Anwendungen findet man in der Informatik für Integrale?

Accepted Answer

Berechnung der Fläche unter einer Kurve zur Analyse von Daten.

Answer

Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Answer

Sortieren von Daten in aufsteigender Reihenfolge.

Question 33

Ein Programm berechnet die Geschwindigkeit eines Objekts über die Zeit. Welche mathematische Operation wird verwendet, um die zurückgelegte Strecke aus der Geschwindigkeitsfunktion zu bestimmen?

Accepted Answer

Integration

Answer

Differentiation

Answer

Matrixmultiplikation

Answer

Logarithmierung

Question 34

Was ist das unbestimmte Integral der Funktion f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln|x| + C

Answer

x^-2 + C

Answer

1 + C

Answer

x + C

Question 35

Welche Integrationsmethode ist am besten geeignet, um das Integral ∫x*sin(x) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Partialbruchzerlegung

Answer

Direkte Integration

Answer

Substitution

Question 36

In einem Computergrafikprogramm wird die Fläche unter einer Kurve berechnet, um die Helligkeit eines Objekts zu bestimmen. Welches mathematische Konzept wird hier verwendet?

Accepted Answer

Bestimmtes Integral

Answer

Grenzwert

Answer

Ableitung

Answer

Vektorprodukt

Question 37

Ein Algorithmus berechnet die Arbeit, die von einer Kraft über eine bestimmte Distanz verrichtet wird. Welches mathematische Konzept bildet die Grundlage für diese Berechnung?

Accepted Answer

Integration

Answer

Vektoraddition

Answer

Differentiation

Answer

Skalarprodukt

Question 38

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

F(x) = x² + C

Answer

F(x) = 2x² + C

Answer

F(x) = x²

Answer

F(x) = 2 + C

Question 39

Was stellt das bestimmte Integral ∫_0^2 (3x + 1) dx dar?

Accepted Answer

Die Fläche zwischen dem Graphen von y = 3x + 1, der x-Achse und den Geraden x = 0 und x = 2.

Answer

Den Funktionswert von y = 3x + 1 an der Stelle x = 2.

Answer

Die Länge des Graphen von y = 3x + 1 im Intervall von 0 bis 2.

Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von y = 3x + 1 an der Stelle x = 1.

Question 40

Ein Programm berechnet die durchschnittliche Serverauslastung über einen bestimmten Zeitraum. Wie wird das Integral für diese Berechnung verwendet?

Accepted Answer

Berechnung des Mittelwerts einer stetigen Funktion über ein Intervall.

Answer

Bestimmung der maximalen Auslastung des Servers innerhalb des Zeitraums.

Answer

Zählen der Anzahl von Anfragen an den Server pro Zeiteinheit.

Answer

Ermittlung der Zeitpunkte, an denen die Auslastung den Durchschnitt übersteigt.

Question 41

Welches ist das unbestimmte Integral von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

tan(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 42

Was ist der Unterschied zwischen einem unbestimmten und einem bestimmten Integral?

Accepted Answer

Ein unbestimmtes Integral ergibt eine Familie von Funktionen, ein bestimmtes Integral einen Zahlenwert.

Answer

Ein unbestimmtes Integral hat keine Integrationsgrenzen, ein bestimmtes Integral schon.

Answer

Ein unbestimmtes Integral wird mit der Kettenregel gelöst, ein bestimmtes Integral mit der Substitutionsregel.

Question 43

Ein Entwickler modelliert die Geschwindigkeit eines Objekts in einem Computerspiel mit der Funktion v(t) = t² + 2t. Welches Integral berechnet die zurückgelegte Strecke des Objekts von t = 0 bis t = 3?

Accepted Answer

∫_0^3 (t² + 2t) dt

Answer

v(3) - v(0)

Answer

∫ (t² + 2t) dt

Answer

v'(3)

Question 44

Welches der folgenden Integrale erfordert die Anwendung der partiellen Integration?

Accepted Answer

∫ x * sin(x) dx

Answer

∫ 2x dx

Answer

∫ sin(x) dx

Answer

∫ (x² + 1) dx

Question 45

Die Datenrate einer Internetverbindung wird durch die Funktion R(t) = 10(1 - e^(-0.1t)) Mbit/s modelliert. Welches Integral berechnet die gesamte Datenmenge, die in den ersten 10 Sekunden heruntergeladen wird?

Accepted Answer

∫_0^10 10(1 - e^(-0.1t)) dt

Answer

∫ 10(1 - e^(-0.1t)) dt

Answer

R(10) - R(0)

Answer

R'(10)

Question 46

Welche Aussage über die Integrationskonstante 'C' ist korrekt?

Accepted Answer

'C' repräsentiert eine beliebige Konstante, die bei der Ableitung einer Funktion verloren geht.

Answer

'C' ist immer gleich dem Wert der Funktion an der Stelle x = 0.

Answer

'C' hat immer den Wert 0.

Answer

'C' kann nur positive Werte annehmen.

Question 47

In einem Programm wird die Fläche unter einer komplexen Kurve berechnet. Welche numerische Integrationsmethode könnte verwendet werden, wenn keine analytische Lösung existiert?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Substitution

Answer

Ableitung

Answer

Partielle Integration

Question 48

Welches bestimmte Integral entspricht dem Flächeninhalt unter der Kurve *y = x²* zwischen den Grenzen *x = 0* und *x = 2*?

Accepted Answer

8/3

Answer

2/3

Answer

4

Answer

16/3

Question 49

Welches bestimmte Integral gibt den Mittelwert der Funktion *f(x) = sin(x)* im Intervall *[0, π]* an?

Accepted Answer

2/π

Answer

π/2

Answer

0

Answer

1/π

Question 50

Welches bestimmte Integral berechnet das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation der Kurve *y = x²* um die x-Achse im Intervall *[0, 3]* entsteht?

Accepted Answer

9π

Answer

3π

Answer

81π

Answer

27π

Question 51

Welches bestimmte Integral gibt die Arbeit an, die verrichtet wird, wenn eine Kraft *F(x) = 2x + 1* auf ein Objekt wirkt, das sich von *x = 0* bis *x = 3* bewegt?

Accepted Answer

14

Answer

35

Answer

28

Answer

7

Question 52

Welche Integrationstechnik ist am besten geeignet, um das Integral *∫(x³ + 2x)dx* zu lösen?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitutionsregel

Answer

Integration durch Teile

Question 53

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral?

Accepted Answer

∫[1/x]dx von 0 bis 1

Answer

∫[sin(x)]dx von 0 bis π

Answer

∫[e^(-x)]dx von 0 bis 2

Answer

∫[x²]dx von -∞ bis ∞

Question 54

Welches der folgenden Integrale konvergiert *nicht*?

Accepted Answer

∫[1/(x² - 1)]dx von 0 bis 1

Answer

∫[1/(x + 1)]dx von 0 bis ∞

Answer

∫[e^(-x²)]dx von 0 bis 3

Answer

∫[sin(x)]dx von -∞ bis ∞

Question 55

Welches Integral gilt für die Gammafunktion?

Accepted Answer

Γ(z) = ∫[0,∞]t^(z-1)e^(-t)dt

Answer

Γ(z) = ∫[0,1]t^(z-1)e^(-t)dt

Answer

Γ(z) = ∫[1,∞]t^(z-1)e^(-t)dt

Answer

Γ(z) = ∫[∞,0]t^(z-1)e^(-t)dt

Question 56

Welche der folgenden Anwendungen von Integralen ist in der Fachinformatik relevant?

Accepted Answer

Numerische Integration zur Berechnung von Werten komplexer Funktionen

Answer

Berechnung von Flächeninhalten in CAD-Systemen

Answer

Berechnung von Volumina von 3D-Objekten in Renderingsoftware

Question 57

Welches bestimmte Integral wird zur Berechnung des Schwerpunkts einer Fläche verwendet?

Accepted Answer

∫[f(x) * x]dx

Answer

∫[x / f(x)]dx

Answer

∫[f(x) / x]dx

Answer

∫[f(x)]dx

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist **falsch**?

Accepted Answer

Integrale können negative Werte annehmen.

Answer

Integrale können verwendet werden, um die Arbeit, die von einer Kraft verrichtet wird, zu berechnen.

Answer

Integrale können verwendet werden, um Flächen unter Kurven zu berechnen.

Answer

Integrale können verwendet werden, um Volumen von Rotationskörpern zu berechnen.

Question 59

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

F(x) = x² + C

Answer

F(x) = x³ + C

Answer

F(x) = 2x³ + C

Answer

F(x) = 2x² - C

Question 60

Was ist das bestimmte Integral von f(x) = x² von x = 0 bis x = 2?

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

2

Answer

6

Question 61

Welche der folgenden Integrationsmethoden wird verwendet, um das Integral von f(x) = sin(x) * cos(x)dx zu lösen?

Accepted Answer

Integration durch Substitution

Answer

Integration durch Teile

Answer

Partielle Integration

Answer

Direkte Integration

Question 62

Welches Integral beschreibt die Fläche unter der Kurve f(x) = x² von x = 1 bis x = 3?

Accepted Answer

∫₁³ x² dx

Answer

∫₀¹ x² dx

Answer

∫₀³ x² dx

Answer

∫₁² x² dx

Question 63

In welcher Situation wird die Integration in der Softwareentwicklung verwendet?

Accepted Answer

Berechnung der Gesamtzeit, die ein Algorithmus benötigt, um eine bestimmte Aufgabe zu erledigen: O(n³).

Answer

Erstellen eines Benutzeroberflächenlayouts.

Answer

Speichern von Benutzerdaten in einer Datenbank.

Question 64

Wie wird das Integral von f(x) = 1/x berechnet?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

x + C

Answer

-1/x² + C

Answer

x² + C