Lineare Gleichungssysteme: Online-Quiz für Fachinformatikerinnen

Question 1

Welches numerische Verfahren eignet sich am besten, um ein schlecht konditioniertes lineares Gleichungssystem zu lösen?

Accepted Answer

Iterationsverfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 2

Welcher Vorteil des Gauß-Seidel-Verfahrens wird hier genannt?

Accepted Answer

Es eignet sich für dünnbesetzte Matrizen.

Answer

Es ist ein direktes Verfahren.

Answer

Es konvergiert immer zur exakten Lösung.

Answer

Es ist immer schneller als das Gauß-Eliminationsverfahren.

Question 3

Welches Kriterium muss erfüllt sein, damit das Jacobi-Verfahren für ein lineares Gleichungssystem garantiert konvergiert?

Accepted Answer

Die Matrix des Gleichungssystems ist diagonaldominant.

Answer

Die Matrix des Gleichungssystems ist positiv definit.

Answer

Die Matrix des Gleichungssystems ist symmetrisch.

Answer

Die Matrix des Gleichungssystems ist invertierbar.

Question 4

Warum ist numerische Stabilität bei der Lösung linearer Gleichungssysteme wichtig?

Accepted Answer

Sie minimiert Rundungsfehler und führt zu genaueren Lösungen.

Answer

Sie ermöglicht die Umwandlung eines linearen Gleichungssystems in ein kleineres.

Answer

Sie beschleunigt die Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Question 5

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix? Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Diagonalelemente den Wert 1 haben und alle anderen Elemente den Wert 0.

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[2, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 2]]

Answer

[[1, 1, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Question 6

Was ist das Ziel des Gauß-Verfahrens? Das Gauß-Verfahren ist ein direktes Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Accepted Answer

Das Gleichungssystem in eine Stufenform zu bringen

Answer

Das Gleichungssystem in eine Dreiecksmatrix zu transformieren

Answer

Das Gleichungssystem in eine Diagonalmatrix zu transformieren

Answer

Die Lösung des Gleichungssystems zu berechnen

Question 7

Welcher der folgenden Werte ist der Spektralradius einer Matrix? Der Spektralradius einer Matrix ist der größte Betrag ihrer Eigenwerte.

Accepted Answer

Der größte Eigenwert der Matrix

Answer

Der kleinste Eigenwert der Matrix

Answer

Die Summe aller Eigenwerte der Matrix

Answer

Das Produkt aller Eigenwerte der Matrix

Question 8

Welches Kriterium dient dazu, den Abbruch iterativer Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme zu bestimmen?

Accepted Answer

Konvergenzkriterium

Answer

Stabilitätskriterium

Answer

Fehlerkriterium

Answer

Zeitkriterium

Question 9

Welche Matrix entsteht beim Gauß-Jordan-Verfahren durch Umformung der Koeffizientenmatrix?

Accepted Answer

Einheitsmatrix

Answer

Dreiecksmatrix

Answer

Diagonalmatrix

Answer

Bandmatrix

Question 10

Welcher Vorteil besteht bei der Gauß-Seidel-Iteration im Vergleich zur Jacobi-Iteration?

Accepted Answer

Sie konvergiert schneller.

Answer

Sie ist numerisch stabiler.

Answer

Sie benötigt weniger Speicherplatz.

Answer

Sie ist einfacher zu implementieren.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen beschreibt das Ziel der numerischen Mathematik am besten?

Accepted Answer

Die effiziente Lösung numerischer Probleme

Answer

Die Entwicklung mathematischer Theorien

Answer

Die Analyse mathematischer Gleichungen

Answer

Die Vereinfachung algebraischer Ausdrücke

Question 12

Was ist eine iterative Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Eine Methode, die eine Folge von Näherungslösungen erzeugt

Answer

Eine Methode, die die Lösung in einem einzigen Schritt berechnet

Answer

Eine Methode, die nur für kleine Gleichungssysteme geeignet ist

Answer

Eine Methode, die immer zur exakten Lösung führt

Question 13

Welche der folgenden Eigenschaften ist typisch für eine schlecht konditionierte Matrix?

Accepted Answer

Kleine Änderungen in den Koeffizienten führen zu großen Änderungen in der Lösung

Answer

Große Änderungen in den Koeffizienten führen zu kleinen Änderungen in der Lösung

Answer

Die Lösung ist immer eindeutig

Answer

Die Lösung ist immer stabil

Question 14

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Zusammenhang zwischen der Konditionierung einer Matrix und der Genauigkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Eine schlecht konditionierte Matrix führt zu einer ungenauen Lösung.

Answer

Eine gut konditionierte Matrix führt zu einer genauen Lösung.

Answer

Die Konditionierung hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit der Lösung.

Answer

Eine gute Konditionierung garantiert die numerische Stabilität.

Question 15

Welches der folgenden Verfahren ist ein direktes Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauss-Jordan-Elimination

Answer

Gauss-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

SOR-Verfahren

Question 16

Welche der folgenden Aussagen ist wahr für die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Die numerische Lösung kann Fehler enthalten.

Answer

Die numerische Lösung ist immer exakt.

Answer

Die Lösung ist immer eindeutig.

Answer

Das Verfahren kann nur für kleine Gleichungssysteme verwendet werden.

Question 17

Welche der folgenden Matrizen ist die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems

3x + 2y = 7
-x + y = 0?

Accepted Answer

[3 2
-1 1]

Answer

[2 3
1 -1]

Answer

[3 1
-1 2]

Answer

[2 1
1 3]

Question 18

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Jacobi-Iterationsmethode korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine iterative Methode, die eine Anfangsschätzung der Lösung benötigt.

Answer

Sie konvergiert immer gegen die exakte Lösung.

Answer

Sie ist eine direkte Methode, die keine Anfangsschätzung benötigt.

Question 19

Welche der folgenden Bedingungen muss für die Konvergenz der Gauß-Seidel-Iterationsmethode erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Koeffizientenmatrix muss strikt diagonaldominant sein.

Answer

Die Koeffizientenmatrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Koeffizientenmatrix muss invertierbar sein.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen zur Kondition einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Matrix mit einer hohen Konditionszahl ist numerisch instabil.

Answer

Die Kondition einer Matrix hat keinen Einfluss auf ihre Lösbarkeit.

Answer

Eine Matrix mit einer hohen Konditionszahl ist numerisch stabil.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Stabilität bei der Lösung linearer Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Ein numerisch stabiles Verfahren minimiert die Auswirkungen von Rundungsfehlern.

Answer

Ein numerisch stabiles Verfahren garantiert eine exakte Lösung.

Answer

Numerische Stabilität ist nur bei großen und spärlichen linearen Gleichungssystemen relevant.

Question 22

Eine 3x3-Koeffizientenmatrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante...

Accepted Answer

ungleich Null ist

Answer

gleich Null ist

Answer

negativ ist

Answer

positiv ist

Question 23

Was beschreibt die Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Das Ausmaß der Empfindlichkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber Änderungen in den Koeffizienten

Answer

Die Anzahl der unabhängigen Variablen im Gleichungssystem

Answer

Die Ordnung der Matrix

Question 24

Welche Aussage zur numerischen Stabilität eines Gleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Ein instabiles Gleichungssystem kann zu großen Fehlern in der Lösung führen

Answer

Ein stabiles Gleichungssystem hat immer eine eindeutige Lösung

Answer

Die Stabilität eines Gleichungssystems hängt nicht von den Koeffizienten ab

Question 25

Welcher Zweck wird mit einer Vorwärts-Substitution in der Gauß-Elimination verfolgt?

Accepted Answer

Eliminierung von Einträgen unterhalb der Hauptdiagonalen

Answer

Berechnung der Determinante der Koeffizientenmatrix

Answer

Lösen des Gleichungssystems durch Rückwärts-Substitution

Question 26

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

Eine symmetrische Matrix

Answer

Eine quadratische Matrix

Answer

Eine invertierbare Matrix

Question 27

Welcher Vorteil ergibt sich aus der Verwendung spärlicher Matrizen in der numerischen linearen Algebra?

Accepted Answer

Reduzierung des Speicherbedarfs und der Rechenzeit

Answer

Verbesserung der Kondition des Gleichungssystems

Answer

Ermöglichung der Verwendung von direkten Lösern

Answer

Erhöhung der Genauigkeit der Lösung

Question 28

Welche Aussage zur Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens ist richtig?

Accepted Answer

Konvergiert für streng diagonaldominante Matrizen

Answer

Konvergiert für alle invertierbaren Matrizen

Answer

Konvergiert nicht für indefinite Matrizen

Answer

Konvergiert immer für symmetrische Matrizen

Question 29

Welche Aussagen treffen auf lineare Gleichungssysteme zu?

Accepted Answer

Sie können eindeutig, inkonsistent oder unbestimmt lösbar sein.

Answer

Sie sind immer unbestimmt lösbar.

Answer

Sie haben immer genau eine Lösung.

Answer

Sie sind immer eindeutig lösbar.

Question 30

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein lineares Gleichungssystem unbestimmt lösbar ist?

Accepted Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist kleiner als die Anzahl der Variablen.

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich der Anzahl der Variablen.

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist größer als die Anzahl der Variablen.

Question 31

Was ist die Determinante einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Zahl, die eine Eigenschaft der Matrix beschreibt.

Answer

Ein Vektor, der die Richtung der Matrix beschreibt.

Answer

Eine Matrix, die die Inverse der gegebenen Matrix darstellt.

Answer

Eine Gleichung, die die Lösung des linearen Gleichungssystems darstellt.

Question 32

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix mit einer Determinante ungleich Null.

Answer

Eine Matrix mit einer Spalte, die nur aus Nullen besteht.

Answer

Eine Matrix mit einer Nullzeile.

Answer

Eine rechteckige Matrix mit mehr Zeilen als Spalten.

Question 33

Was ist der Zweck der Zeilenstufenform einer Matrix?

Accepted Answer

Sie ermöglicht die einfache Identifizierung von Lösungen linearer Gleichungssysteme.

Answer

Sie stellt die Matrix in einer Form dar, die leicht zu lesen ist.

Answer

Sie vereinfacht die Multiplikation von Matrizen.

Answer

Sie berechnet die Determinante der Matrix.

Question 34

Welche Aussage trifft auf das Jacobi-Iterationsverfahren zu?

Accepted Answer

Es ist ein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Answer

Es ist ein direktes Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Answer

Es konvergiert immer gegen die exakte Lösung.

Answer

Es ist nur für kleine Gleichungssysteme geeignet.

Question 35

Was ist der Vorteil numerischer Verfahren gegenüber direkten Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Sie sind für große oder schlecht konditionierte Systeme effizienter.

Answer

Sie sind immer genauer.

Answer

Sie sind einfacher zu implementieren.

Answer

Sie erfordern weniger Rechenleistung.

Question 36

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit drei Variablen?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Euler-Verfahren

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Question 37

Welche Matrix ist die erweiterte Koeffizientenmatrix für das Gleichungssystem:
 2x + 3y = 7
 x - y = 1 ?

Accepted Answer

[[2, 3, 7]
[1, -1, 1]]

Answer

[[2, 3]
[1, -1]]

Answer

[[2, 7]
[1, 1]]

Answer

[[2, 3, 1]
[1, -1, 7]]

Question 38

Welche Rangbedingung muss erfüllt sein, damit ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen genau eine Lösung hat?

Accepted Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix muss 3 sein.

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix muss 2 sein.

Answer

Der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix muss 2 sein.

Question 39

Was trifft auf die Lösungsmenge des Gleichungssystems zu:
 x + 2y = 5
 2x + 4y = 10?

Accepted Answer

Das System hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Das System hat keine Lösung.

Answer

Die Lösungsmenge kann nicht bestimmt werden.

Answer

Das System hat genau eine Lösung.

Question 40

Wie lautet die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
 x + y = 3
 2x - y = 1?

Accepted Answer

x = 2, y = 1

Answer

x = 3, y = 0

Answer

x = 0, y = 3

Answer

x = 1, y = 2

Question 41

Welches Verfahren ist besonders gut geeignet, um ein lineares Gleichungssystem mit vielen Gleichungen und Variablen zu lösen?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Substitution

Answer

Einsetzungsverfahren

Answer

Grafische Lösung

Question 42

Was ist der Unterschied zwischen einem homogenen und einem inhomogenen linearen Gleichungssystem?

Accepted Answer

Ein homogenes Gleichungssystem hat auf der rechten Seite jeder Gleichung nur Nullen, während ein inhomogenes System mindestens eine Gleichung mit einer Zahl ungleich Null auf der rechten Seite hat.

Answer

Ein homogenes Gleichungssystem hat mehr Variablen als Gleichungen, während ein inhomogenes System mehr Gleichungen als Variablen hat.

Question 43

Was bedeutet "lineare Unabhängigkeit" im Kontext von linearen Gleichungssystemen?

Accepted Answer

Lineare Unabhängigkeit der Vektoren, die die Gleichungen des Systems bilden, garantiert die Existenz einer eindeutigen Lösung.

Answer

Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass alle Gleichungen des Systems die gleiche Steigung haben.

Question 44

Welche Anwendungsbereiche haben lineare Gleichungssysteme in der Informatik?

Accepted Answer

Netzwerkoptimierung, Bildverarbeitung, Datenbankabfragen

Answer

Spieleentwicklung, Musikproduktion, Animation

Answer

Textverarbeitung, Dateiverwaltung, Webdesign

Question 45

Welches Verfahren ermöglicht es, ein lineares Gleichungssystem iterativ zu lösen?

Accepted Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Substitution

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Grafische Lösung

Question 46

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Regula Falsi

Answer

Bisektionsverfahren

Answer

Simpsonregel

Question 47

Wie viele Lösungen hat ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist?

Accepted Answer

Eine eindeutige Lösung

Answer

Keine Lösung

Answer

Mindestens eine Lösung

Answer

Unendlich viele Lösungen

Question 48

Welches der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

2x + 3y = 5
x - y = 1

Answer

x + √y = 3
2x - y = 1

Answer

x + 1/y = 2
2x - y = 1

Answer

x² + y = 4
2x - y = 1

Question 49

Löse das folgende lineare Gleichungssystem:
x + y = 3
2x - y = 1

Accepted Answer

x = 2, y = 1

Answer

x = 3, y = 0

Answer

x = 0, y = 3

Answer

x = 1, y = 2

Question 50

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten

Answer

Die Anzahl der Zeilen

Answer

Die Anzahl der Spalten

Question 51

Berechne die Determinante der Matrix:
[2 1]
[4 3]

Accepted Answer

2

Answer

10

Answer

8

Answer

6

Question 52

Welches Verfahren ist am besten geeignet, um ein großes lineares Gleichungssystem mit vielen Variablen zu lösen?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Additionsverfahren

Answer

Einsetzungsverfahren

Answer

Cramer-Regel

Question 53

Was passiert mit der Lösung eines linearen Gleichungssystems, wenn man eine Gleichung mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multipliziert?

Accepted Answer

Die Lösung bleibt unverändert.

Answer

Die Lösung ändert sich zufällig.

Answer

Die Lösung wird durch die gleiche Zahl dividiert.

Answer

Die Lösung wird mit der gleichen Zahl multipliziert.

Question 54

Wie kann man die Lösung eines linearen Gleichungssystems grafisch darstellen?

Accepted Answer

Als Schnittpunkt der Geraden, die die Gleichungen des Systems darstellen

Answer

Als Steigung der Geraden

Answer

Als y-Achsenabschnitt der Geraden

Question 55

Welche der folgenden Methoden ist keine gängige Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Regula Falsi

Answer

Gauss-Jordan-Elimination

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 56

Gegeben ist das Gleichungssystem: 
 x + 2y = 5 
 3x - y = 1. 
 Bestimmen Sie die Lösung für x.

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 2

Answer

x = 4

Answer

x = 3

Question 57

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [1, 1]]

Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 58

Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten hat...

Accepted Answer

entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Answer

immer eine eindeutige Lösung.

Answer

immer unendlich viele Lösungen.

Question 59

Welches der folgenden Verfahren eignet sich besonders gut zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer großen Anzahl von Unbekannten?

Accepted Answer

Iterative Verfahren, z.B. Gauß-Seidel.

Answer

Matrizeninversion.

Answer

Direkte Verfahren, z.B. Gauss-Jordan-Elimination.

Answer

Cramer'sche Regel.

Question 60

Welches der folgenden Verfahren ist ein direktes Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Gauss-Jordan-Elimination

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren