Analyse lernen: Grenzen, Stetigkeit, Ableitungen

Question 1

Erläutere, warum eine differenzierbare Funktion an einer bestimmten Stelle auch stetig sein muss.

Accepted Answer

Die Differenzierbarkeit impliziert die Existenz eines Grenzwerts, während Stetigkeit diesen voraussetzt.

Answer

Differenzierbare Funktionen haben eine konstante Steigung, während stetige Funktionen eine variable Steigung aufweisen können.

Answer

Stetige Funktionen sind immer differenzierbar, aber differenzierbare Funktionen sind nicht immer stetig.

Question 2

Sei $f(x)$ eine stetige Funktion. Was lässt sich über die Stetigkeit der Funktion $g(x) = f(x^2)$ sagen?

Accepted Answer

Wenn $f(x)$ stetig ist, dann ist auch $g(x)$ stetig.

Answer

Wenn $f(x)$ in $x=a$ stetig ist, dann ist auch $g(x)$ in $x=a$ stetig.

Answer

Wenn $f(x)$ unstetig ist, dann ist auch $g(x)$ unstetig.

Question 3

Ist die Funktion $f(x) = |x^2 - 1|$ an der Stelle $x = 1$ stetig?

Accepted Answer

Ja, die Funktion ist stetig.

Answer

Nein, die Funktion ist unstetig, weil die Ableitung an der Stelle nicht existiert.

Answer

Nein, die Funktion ist unstetig, weil die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar ist.

Answer

Nein, die Funktion ist unstetig, weil der Funktionswert an der Stelle gleich $0$ ist.

Question 4

Ist die Funktion (f(x) = 1/x) an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

Nein, die Funktion ist unstetig, da der Grenzwert für x gegen 0 nicht existiert.

Answer

Ja, die Funktion ist stetig.

Answer

Nein, die Funktion ist unstetig, da der Grenzwert für x gegen 0 gleich 0 ist.

Question 5

Überprüfe, ob die Funktion (f(x) = |x - 2|) an der Stelle (x = 2) stetig ist.

Accepted Answer

Stetig, da die Grenzwerte von links und rechts existieren und gleich (0) sind.

Answer

Nicht stetig, da der Grenzwert von links nicht existiert.

Answer

Nicht stetig, da der Grenzwert von rechts nicht existiert.

Answer

Nicht stetig, da der Funktionswert an der Stelle (x = 2) nicht existiert.

Question 6

Ermitteln Sie das absolute Maximum und Minimum der Funktion $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2$ im Intervall $[-1, 2]$. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Accepted Answer

Max: $(1, 4)$, Min: $(-1, 0)$

Answer

Max: $(2, 6)$, Min: $(0, 2)$

Answer

Max: $(-1, 0)$, Min: $(1, 4)$

Answer

Max: $(0, 2)$, Min: $(2, 6)$

Question 7

Bestimmen Sie das absolute Maximum und Minimum der Funktion f(x) = -x³ + 3x² + 2 im Intervall [-1, 2].

Accepted Answer

Maximalwert: 4, Minimalwert: 2

Answer

Maximalwert: 3, Minimalwert: 1

Answer

Maximalwert: 5, Minimalwert: 1

Answer

Maximalwert: 4, Minimalwert: 0

Question 8

Ist die Funktion (f(x) = |x - 2|) an der Stelle (x = 2) stetig?

Accepted Answer

Ja, denn die Grenzwerte von links und rechts existieren und sind gleich (0).

Answer

Nein, denn der Grenzwert von links existiert nicht.

Answer

Nein, denn der Funktionswert an der Stelle (x = 2) existiert nicht.

Answer

Ja, denn der Funktionswert an der Stelle (x = 2) ist (0).

Question 9

Frage:
Beweisen Sie die Produktregel für differenzierbare Funktionen f(x) und g(x):
$$rac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$.

Accepted Answer

Antwort A:
Sei h(x) = f(x)g(x). Dann ist nach der Kettenregel
$$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$.

Answer

Antwort B:
Die Produktregel lautet
$$rac{d}{dx}(f(x)g(x)) = rac{f'(x)}{g(x)} + rac{g'(x)}{f(x)}$$.

Answer

Antwort C:
Die Ableitung des Produkts (f(x)g(x)) ist einfach (f(x) + g(x)).

Answer

Antwort D:
Die Produktregel gilt nicht für differenzierbare Funktionen.

Question 10

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Krümmung eines Funktionsgraphen und dem Vorzeichen seiner zweiten Ableitung?

Accepted Answer

Positive zweite Ableitung: Konvexität, negative zweite Ableitung: Konkavität

Answer

Positive zweite Ableitung: Konkavität, negative zweite Ableitung: Konvexität

Answer

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung hat keinen Einfluss auf die Krümmung.

Answer

Eine Funktion kann sowohl konvex als auch konkav sein, unabhängig vom Vorzeichen ihrer zweiten Ableitung.

Question 11

Ist die Funktion (f(x) = egin{cases} x^2, & 	ext{wenn } x le 2, \ x - 1, & 	ext{wenn } x > 2, end{cases}) an der Stelle (x = 2) stetig?

Accepted Answer

Nein, der linksseitige Grenzwert stimmt nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert überein.

Answer

Ja, die Funktion ist stetig.

Answer

Nein, der linksseitige Grenzwert existiert nicht.

Answer

Nein, der rechtsseitige Grenzwert existiert nicht.

Question 12

Bestimme den Grenzwert von f(x) = x² - 1 für x gegen unendlich.

Accepted Answer

unendlich

Answer

-1

Answer

0

Answer

existiert nicht

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^x

Answer

x * e^x

Answer

1 / e^x

Question 14

Welcher Grenzwert ist gleich 0?

Accepted Answer

lim (x → 0) (sin(x) / x)

Answer

lim (x → ∞) (x² - 1) / (x² + 1)

Answer

lim (x → 2) (x - 2) / (x² - 4)

Answer

lim (x → 0) (1 / x)

Question 15

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1 ist falsch?

Accepted Answer

f(x) ist eine ungerade Funktion

Answer

f(x) ist an allen Stellen differenzierbar

Answer

f(x) hat an der Stelle x = 0 ein Extremum

Answer

f(x) hat einen Wendepunkt

Question 16

Welche der folgenden Funktionen ist die Umkehrfunktion von f(x) = log(x + 1)?

Accepted Answer

e^x - 1

Answer

10^x - 1

Answer

x - 1

Answer

x² - 1

Question 17

Welche Monotonieintervalle hat die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2 im Intervall [-2, 2]?

Accepted Answer

Monoton wachsend auf [-2, 0] und monoton fallend auf [0, 2]

Answer

Streng monoton wachsend auf [-2, 0]

Answer

Streng monoton fallend auf [0, 2]

Question 18

Frage:
Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 1)⁵.

Accepted Answer

5x(x² + 1)⁴

Answer

5

Answer

(x² + 1)⁴

Answer

10x(x² + 1)³

Question 19

Was beschreibt die Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) korrekt?

Accepted Answer

Die Änderungsrate von f(x)

Answer

Immer einen positiven Wert

Answer

Eine konstante Funktion

Question 20

Untersuche, ob die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... konvergiert oder divergiert. Verwende dazu den Verhältnistest.

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Divergent

Answer

Unbestimmt

Answer

Alternierend

Question 21

Ermitteln Sie den lokalen Extrempunkt der Funktion f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 mithilfe der zweiten Ableitung.

Accepted Answer

Lokales Minimum bei x = 0

Answer

Lokales Maximum bei x = 0

Answer

Keine lokalen Extrempunkte

Question 22

Berechne den Grenzwert der Funktion (f(x) = rac{x^3 - 1}{x^2 - 1}) für (x), wenn (x) gegen 1 geht.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

Unendlich

Question 23

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

4

Answer

unendlich

Question 24

Welche Aussage zur Funktion f(x) = e^x ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist stetig für alle reellen Zahlen.

Answer

Sie ist nur für negative reelle Zahlen stetig.

Answer

Sie ist nur für positive reelle Zahlen stetig.

Answer

Sie ist an keiner Stelle stetig.

Question 25

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = sin(2x).

Accepted Answer

2cos(2x)

Answer

cos(2x)

Answer

-2cos(2x)

Answer

-sin(2x)

Question 26

Welche Aussage zur Funktion f(x) = |x| ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist nicht differenzierbar an der Stelle x = 0.

Answer

Sie ist differenzierbar an allen reellen Zahlen.

Answer

Sie ist an keiner Stelle differenzierbar.

Answer

Sie ist überall differenzierbar.

Question 27

Welche Aussage zur Kettenregel ist richtig?

Accepted Answer

Sie erlaubt es, die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion zu berechnen.

Answer

Sie ist nur für Polynomfunktionen anwendbar.

Answer

Sie gilt nur für stetige Funktionen.

Answer

Sie kann nur verwendet werden, um Stammfunktionen zu bestimmen.

Question 28

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

sin(x)

Answer

cos(x) + C

Answer

cos(x) - C

Question 29

Welche Aussage zur Tangente an eine Funktion f(x) im Punkt (x0, f(x0)) ist richtig?

Accepted Answer

Ihre Steigung ist gleich dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle.

Answer

Sie ist parallel zur x-Achse.

Answer

Sie ist immer senkrecht zur Normalen an dieser Stelle.

Answer

Sie schneidet die y-Achse nicht.

Question 30

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a genau dann stetig, wenn:

Accepted Answer

lim_(x->a) f(x) = f(a)

Answer

lim_(x->a) f(x) ≠ f(a)

Answer

f(a) existiert

Answer

f'(a) existiert

Question 31

Die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 1 ist:

Accepted Answer

3x² + 4x

Answer

3x² - 2x

Answer

3x + 2

Answer

x³ + 2x - 1

Question 32

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 33

Welche Aussage über Extremwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Maxima und Minima treten immer an Stellen mit Ableitung 0 auf.

Answer

Maxima und Minima treten immer an Stellen mit Ableitung ≠ 0 auf.

Answer

Maxima treten immer an Stellen mit Ableitung > 0 auf.

Answer

Minima treten immer an Stellen mit Ableitung < 0 auf.

Question 34

Welche der folgenden Ausdrücke ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x²?

Accepted Answer

x³ + C

Answer

6x

Answer

3x

Answer

x²

Question 35

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

x * e^(2x)

Answer

1 / e^(2x)

Answer

e^(2x)

Question 36

Berechne das bestimmte Integral von ∫(x² + 2x - 1) dx von x = 0 bis x = 2.

Accepted Answer

11/3

Answer

7/3

Answer

5/3

Question 37

Welche der folgenden Funktionen ist monoton steigend?

Accepted Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = e^(-2x)

Answer

f(x) = x³ - 2x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 38

Die Funktion f(x) = 2x² + 3x - 1 ist stetig an der Stelle x = 2. Welchen Wert hat der Grenzwert von f(x) für x gegen 2?

Accepted Answer

11

Answer

9

Answer

13

Answer

7

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³ - 2x

Answer

f(x) = x² + 1

Question 40

Die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = 3x³ - 4x² + 5

Answer

f'(x) = x² - 4x + 5

Question 41

Die Steigung der Tangente an die Funktion f(x) = x² + 1 an der Stelle x = 1 ist:

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

4

Question 42

Welche der folgenden Funktionen hat eine horizontale Tangente an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 6x² + 12x - 8

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x² + 2x - 3

Question 43

Die Funktion f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 hat ein lokales Minimum an der Stelle x =:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Question 44

Die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 ist im Intervall [0, 3]:

Accepted Answer

monoton fallend

Answer

monoton steigend

Answer

nicht monoton

Answer

konstant

Question 45

Die Funktion f(x) = 1/x hat eine vertikale Asymptote bei x =:

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

∞

Question 46

Die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x) = x³ + 2x - 1 an der Stelle x = 1 ist:

Accepted Answer

y = 5x - 3

Answer

y = 5x + 2

Answer

y = 3x - 2

Answer

y = 3x + 1

Question 47

Die Funktion f(x) = x² + 2x - 3 hat einen Grenzwert für x → 2. Welchen Wert hat dieser Grenzwert?

Accepted Answer

7

Answer

3

Answer

1

Answer

5

Question 48

Welche der folgenden Funktionen ist stetig im Punkt x = 1?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 2x + 1

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = √(x - 1)

Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Question 49

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² + 5x - 2 ist:

Accepted Answer

6x + 5

Answer

3x + 5

Answer

6x² + 5x

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer Funktion f(x) ist richtig?

Accepted Answer

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an einem gegebenen Punkt an.

Answer

Die Ableitung gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f(x) an.

Answer

Die Ableitung ist der Flächeninhalt unter dem Graphen von f(x).

Question 51

Die Funktion f(x) = x³ hat einen Wendepunkt bei:

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Question 52

Welcher Grenzwert existiert nicht?

Accepted Answer

lim_(x→0) 1/x

Answer

lim_(x→1) (x² - 1)/(x - 1)

Answer

lim_(x→2) x² - 4

Answer

lim_(x→∞) 1/x

Question 53

Die Funktion f(x) = |x| ist:

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar bei x = 0

Answer

differenzierbar bei x = 0

Answer

nicht stetig bei x = 0

Answer

weder stetig noch differenzierbar bei x = 0

Question 54

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-cos(x)

Answer

sin(x)

Question 55

Die Funktion f(x) = e^x hat einen Wendepunkt bei:

Accepted Answer

Es gibt keinen Wendepunkt.

Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

x = 1

Question 56

Welches ist die korrekte Ableitung der Funktion f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

1/x

Answer

x

Answer

-1/x

Answer

ln(x)