Eigenwerte und Eigenvektoren: Online-Quiz für Klasse 13

Question 1

Was ist die Definition eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Ein von Null verschiedener Vektor, der bei Multiplikation mit einer Matrix nur skaliert wird.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zu allen anderen Eigenvektoren ist.

Answer

Ein Vektor, der die Matrix auf sich selbst abbildet.

Answer

Ein Vektor, der das charakteristische Polynom der Matrix erfüllt.

Question 2

Welche der folgenden Aussagen ist für Eigenwerte richtig?

Accepted Answer

Sie können reell oder komplex sein.

Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind immer rational.

Answer

Sie sind immer ganzzahlig.

Question 3

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[2, 2], [2, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Answer

[[2, 3], [3, 2]]

Question 4

Welche Aussage über die Eigenvektoren einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren existieren nur für symmetrische Matrizen.

Answer

Eigenvektoren sind senkrecht zu ihrem zugehörigen Eigenraum.

Answer

Die Anzahl der Eigenvektoren einer Matrix ist immer gleich der Ordnung der Matrix.

Question 5

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalisierung einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Die Eigenvektoren einer diagonalisierbaren Matrix bilden eine Basis für den Vektorraum.

Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie invertierbar ist.

Answer

Eine Matrix kann nur diagonalisiert werden, wenn sie hermitisch ist.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix ist nicht eindeutig.

Question 6

Welches der folgenden Paare ist ein Eigenwert-Eigenvektor-Paar für die Matrix A = ((2, 1), (-1, 2))?

Accepted Answer

Eigenwert 1, Eigenvektor (-1, 1)

Answer

Eigenwert 3, Eigenvektor (2, 1)

Answer

Eigenwert 0, Eigenvektor (1, 0)

Answer

Eigenwert -1, Eigenvektor (0, 1)

Question 7

Die Matrix G = ((2, 1), (-1, 2)) ist diagonalisierbar. Welches ist die Diagonalform von G?

Accepted Answer

((1, 0), (0, 3))

Answer

((3, 0), (0, 1))

Answer

((3, 0), (0, 0))

Answer

((1, 0), (0, -1))

Question 8

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Answer

Eigenwerte sind Skalare, die die Matrix diagonalisieren.

Answer

Eigenwerte können nur für quadratische Matrizen berechnet werden.

Answer

Eigenwerte sind Matrizen mit demselben Rang wie die ursprüngliche Matrix.

Question 9

Welche Aussage zum charakteristischen Polynom ist korrekt?

Accepted Answer

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix.

Answer

Das charakteristische Polynom ist ein Monom vom Grad der Matrix.

Answer

Das charakteristische Polynom ist die Determinante der Matrix.

Answer

Das charakteristische Polynom ist immer ein Vielfaches des Minimalpolynoms.

Question 10

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind Zahlen, die beim Multiplizieren mit dem Eigenvektor unverändert bleiben.

Answer

Sie geben die Länge des Eigenvektors an.

Answer

Sie sind immer negativ.

Answer

Sie existieren nur für symmetrische Matrizen.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen trifft auf Matrizen mit komplexen Eigenwerten zu?

Accepted Answer

Sie sind immer diagonalisierbar.

Answer

Sie sind immer symmetrisch.

Answer

Sie sind immer antisymmetrisch.

Answer

Ihre Eigenvektoren sind immer reell.

Question 12

Welche der folgenden Matrizen besitzt einen mehrfachen Eigenwert?

Accepted Answer

[[1, 2], [1, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [2, 1]]

Question 13

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 2], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Question 14

Wie berechnet man den Eigenwert $\lambda$ einer Matrix?

Accepted Answer

Durch Nullsetzen der Determinante von $A-\lambda I$

Answer

Durch Dividieren der Spur von $A$ durch die Anzahl der Zeilen

Answer

Durch Multiplizieren der Inversen von $A$ mit $x$

Answer

Durch Bestimmen der Eigenvektoren von $A$

Question 15

Welche Bedingung muss für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Answer

Die Matrix ist symmetrisch.

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte ist gleich der Anzahl der Zeilen.

Answer

Die Matrix ist invertierbar.

Question 16

Wie lautet das charakteristische Polynom der Matrix $\begin{bmatrix} 2 & -3 \ 4 & 1 end{bmatrix}$?

Accepted Answer

$$(2-lambda)(-1-lambda)-12$$

Answer

$$(2-lambda)(1-lambda)+12$$

Answer

$$(2+lambda)(-1+lambda)+12$$

Answer

$$(2+lambda)(1+lambda)-12$$

Question 17

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$

Answer

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 2 & 1 end{bmatrix}$

Answer

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 end{bmatrix}$

Answer

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$

Question 18

Was ist die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Richtung einer Geraden im Eigenraum.

Answer

Länge eines Vektors im Eigenraum.

Answer

Fläche eines Quadrats im Eigenraum.

Answer

Volumen eines Würfels im Eigenraum.

Question 19

Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Accepted Answer

Wenn die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren gleich der Dimension der Matrix ist.

Answer

Wenn die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren größer ist als die Dimension der Matrix.

Answer

Wenn die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren kleiner ist als die Dimension der Matrix.

Question 20

Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren kann ein mehrfacher Eigenwert einer Matrix maximal haben?

Accepted Answer

So viele wie die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts

Answer

Einen

Answer

Unbegrenzt viele

Question 21

Was ist die Determinante einer diagonalisierbaren Matrix?

Accepted Answer

Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte.

Answer

Die Determinante ist 0.

Answer

Die Determinante ist die Summe der Eigenwerte.

Answer

Die Determinante ist die Differenz der Eigenwerte.

Question 22

Welche Aussage trifft auf die Eigenwerte einer Matrix zu?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Answer

Eigenwerte geben die Dimension des Eigenraums an.

Answer

Eigenwerte sind die Hauptdiagonalelemente einer Matrix.

Question 23

Welche Gleichung beschreibt die Eigenwertgleichung einer Matrix A?

Accepted Answer

A * x = λ * x

Answer

A * x = x * λ

Answer

x * A = A * x

Answer

x * A = λ * x

Question 24

Berechne die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]

Accepted Answer

λ₁ = 3, λ₂ = 1

Answer

λ₁ = 2, λ₂ = 2

Answer

λ₁ = 1, λ₂ = 3

Answer

λ₁ = 1, λ₂ = 2

Question 25

Wann ist eine Matrix A diagonalisierbar?

Accepted Answer

Wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt.

Answer

Wenn sie eine invertierbare Matrix ist.

Answer

Wenn sie eine symmetrische Matrix ist.

Question 26

Das charakteristische Polynom einer Matrix A ist definiert als:

Accepted Answer

det(A-λI) = 0

Answer

tr(A+λI) = 0

Answer

tr(A-λI) = 0

Answer

det(A+λI) = 0

Question 27

Die allgemeine Gleichung zur Berechnung von Eigenwerten lautet:

Accepted Answer

det(A-λI) = 0

Answer

tr(A+λI) = 0

Answer

tr(A-λI) = 0

Answer

det(A+λI) = 0

Question 28

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] zum Eigenwert λ = 3?

Accepted Answer

(1, 1)

Answer

(1, 2)

Answer

(0, 1)

Answer

(2, 1)

Question 29

Welche Aussage über Eigenwerte ist falsch?

Accepted Answer

Eigenwerte können ausschließlich positive Vorzeichen haben.

Answer

Eigenwerte können reelle Zahlen sein.

Answer

Eigenwerte können komplexe Zahlen sein.

Answer

Eigenwerte sind charakteristische Zahlen einer Matrix.

Question 30

Die Matrix $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & 2 end{pmatrix}$$ ist diagonalisierbar. Welche der folgenden Matrizen stellt die Diagonalform von A dar?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \ -1 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 3 end{pmatrix}$

Question 31

Was ist das charakteristische Polynom einer Matrix **A**?

Accepted Answer

p(λ) = det(**A** - λ*I*)

Answer

p(λ) = tr(**A**) - λ

Answer

p(λ) = λ^n - **A**

Answer

p(λ) = **A**^n - λ*I*

Question 32

Unter welcher Bedingung ist eine Matrix diagonalisierbar?

Accepted Answer

Die Matrix besitzt n linear unabhängige Eigenvektoren

Answer

Die Matrix ist symmetrisch

Answer

Die Matrix ist invertierbar

Question 33

Welche der folgenden Matrizen ist NICHT diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[2, 1], [-1, 2]]

Question 34

Wie viele Eigenwerte hat eine nxn-Matrix?

Accepted Answer

n

Answer

2n

Answer

n-1

Answer

n+1

Question 35

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Die Spur ist gleich der Summe der Eigenwerte

Answer

Die Spur ist gleich der Determinante

Answer

Die Spur ist gleich dem Rang

Answer

Die Spur ist gleich dem Produkt der Eigenwerte

Question 36

Welche der folgenden Aussagen zur Diagonalisierbarkeit von Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, wobei n die Dimension des Vektorraums ist.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie nur einen Eigenwert besitzt.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn ihre Spur gleich Null ist.

Question 37

Ist die Matrix A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 end{pmatrix} symmetrisch?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur wenn λ = 3

Answer

Nein

Question 38

Welches Polynom wird als charakteristisches Polynom der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] bezeichnet?

Accepted Answer

p(λ) = λ² - 4λ + 5

Answer

p(λ) = λ² + 4λ + 5

Answer

p(λ) = λ² + 2λ + 5

Answer

p(λ) = λ² - 2λ + 5

Question 39

Welcher der folgenden Vorteile ergibt sich durch die Diagonalisierung einer Matrix?

Accepted Answer

Die Diagonalisierung vereinfacht die Struktur einer Matrix.

Answer

Die Diagonalisierung verändert die Spur einer Matrix.

Answer

Die Diagonalisierung verändert die Eigenwerte einer Matrix.

Question 40

Welche der folgenden Matrizen ist **nicht** diagonalisierbar?

Accepted Answer

A = [[1, 2], [2, 1]]

Answer

A = [[2, 0], [0, 2]]

Answer

A = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

A = [[2, 1], [0, 3]]

Question 41

Welche der folgenden Aussagen beschreibt Eigenwerte **zutreffend**?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung A - λI = 0.

Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Answer

Eigenwerte beschreiben die Drehung einer Matrix.

Question 42

Welcher Vektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert λ = 2 der Matrix A = [[1, 2], [2, 1]]?

Accepted Answer

v = [1, 1]

Answer

v = [0, 1]

Answer

v = [2, 1]

Answer

v = [1, 0]

Question 43

Welche Aussage über diagonalisierbare Matrizen ist **zutreffend**?

Accepted Answer

Diagonalisierbare Matrizen können als Produkt zweier Matrizen dargestellt werden.

Answer

Diagonalisierbare Matrizen sind immer symmetrisch.

Answer

Diagonalisierbare Matrizen haben immer reelle Eigenwerte.

Question 44

Welche Aussage über die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist **falsch**?

Accepted Answer

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist immer größer als seine algebraische Vielfachheit.

Answer

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Dimension des Eigenraums zu diesem Eigenwert.

Answer

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.

Question 45

Welche der folgenden Matrizen ist **nicht** diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 3]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren von linearen Transformationen ist **richtig**?

Accepted Answer

Eigenvektoren werden durch lineare Transformationen nur skaliert, ihre Richtung bleibt gleich.

Answer

Eigenwerte sind die Koordinaten von Eigenvektoren in einer bestimmten Basis.

Answer

Eigenvektoren bleiben bei einer linearen Transformation immer unverändert.

Answer

Eigenvektoren werden durch lineare Transformationen in andere Vektoren transformiert, die keine Eigenvektoren sind.

Question 47

Sei A = [[2, -1], [1, 2]] eine Matrix. Welche der folgenden Aussagen über die Eigenwerte von A ist **richtig**?

Accepted Answer

A hat zwei verschiedene Eigenwerte.

Answer

A hat nur einen Eigenwert.

Answer

A hat unendlich viele Eigenwerte.

Answer

A hat keine reellen Eigenwerte.

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren einer Matrix A ist **falsch**?

Accepted Answer

Eigenvektoren von A sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Eigenvektoren von A werden durch Multiplikation mit A nicht verändert (bis auf einen skalaren Faktor).

Answer

Eigenvektoren von A bilden einen Vektorraum.

Answer

Eigenvektoren von A können linear abhängig sein.

Question 49

Welche Aussage über die Diagonalisierung einer Matrix A ist **falsch**?

Accepted Answer

Eine Matrix A kann immer diagonalisiert werden.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix A vereinfacht die Berechnung von Potenzen von A.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix A hängt von der Wahl der Basis ab.

Answer

Die Eigenwerte von A stehen auf der Diagonalen der diagonalisierten Matrix.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über das charakteristische Polynom einer Matrix A ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte von A.

Answer

Das charakteristische Polynom ist immer ein Polynom vom Grad n, wobei n die Dimension der Matrix A ist.

Answer

Das charakteristische Polynom ist unabhängig von der Basis.

Answer

Das charakteristische Polynom ist immer ein quadratisches Polynom.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist **falsch**?

Accepted Answer

Eigenvektoren müssen immer eine Länge von 1 haben.

Answer

Eigenvektoren können mit einem Skalar multipliziert werden, ohne ihre Eigenvektornatur zu verlieren.

Answer

Eigenvektoren bleiben bei einer linearen Transformation in dieselbe Richtung.

Answer

Eigenvektoren können verwendet werden, um eine lineare Transformation zu diagonalisieren.

Question 52

Gegeben ist die Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]. Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor von A?

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[0, 1]

Answer

[1, 0]

Answer

[2, -1]

Question 53

Was ist der Eigenwert der Matrix A = [[3, 0], [0, 3]] zum Eigenvektor [1, 0]?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

6

Answer

0

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über das charakteristische Polynom ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix.

Answer

Das charakteristische Polynom ist immer ein Polynom zweiten Grades.

Answer

Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms sind die Eigenvektoren der Matrix.

Question 55

Welche der folgenden Matrizen ist **nicht** diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[3, 1], [1, 3]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Question 56

Welche der folgenden Transformationen beschreibt die Wirkung einer linearen Transformation auf einen Eigenvektor?

Accepted Answer

Skalierung

Answer

Translation

Answer

Spiegelung

Answer

Rotation

Question 57

Wie lautet die Eigenwertgleichung für eine Matrix A?

Accepted Answer

A * v = λ * v

Answer

A * v = λ * A

Answer

A + v = λ * v

Answer

A * v = v + λ

Question 58

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren in der linearen Algebra **am besten**?

Accepted Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren helfen, die Wirkung einer linearen Transformation auf einen Vektorraum zu verstehen und zu vereinfachen.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren dienen hauptsächlich zur Lösung von Gleichungssystemen.

Question 59

Welche der folgenden Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren ist **falsch**?

Accepted Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren werden zur Berechnung der Determinante einer Matrix verwendet.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren werden in der Physik zur Beschreibung von Schwingungen verwendet.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren werden in der Stabilitätsanalyse von Differentialgleichungen verwendet.

Question 60

Eine Matrix A hat die Eigenwerte 2 und 3. Welche der folgenden Aussagen über die Matrix A ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Determinante von A ist gleich 6.

Answer

Die Spur von A ist gleich 5.

Answer

A hat zwei linear unabhängige Eigenvektoren.

Answer

A ist diagonalisierbar.