Stetigkeit von Funktionen: Interaktive Übungen und Quizfragen

Question 1

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion f: R → R richtig?

Accepted Answer

f ist stetig in x₀, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen x₀ existiert und gleich f(x₀) ist.

Answer

f ist stetig in x₀, wenn sie an der Stelle x₀ differenzierbar ist.

Answer

f ist stetig in x₀, wenn ihr Graph an der Stelle x₀ keine Lücke oder Sprung aufweist.

Question 2

Welche der folgenden Funktionen ist nicht für alle x-Werte stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 3

Welche Aussage über die Stetigkeit von f(x) = x^3 - 4x ist richtig?

Accepted Answer

f(x) ist an allen Stellen stetig.

Answer

f(x) ist nur an der Stelle x = 0 unstetig.

Answer

f(x) ist an den Stellen x = ±2 unstetig.

Answer

f(x) ist an unendlich vielen Stellen unstetig.

Question 4

Welche der folgenden Eigenschaften trifft nicht auf stetige Funktionen zu?

Accepted Answer

Sie sind überall differenzierbar.

Answer

Sie haben Grenzwerte an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs.

Answer

Ihre Graphen sind ohne Ecken oder Sprünge.

Answer

Sie sind überall integrierbar.

Question 5

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x^2 - 2x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln x

Question 6

Welche der folgenden Grafiken zeigt eine unstetige Funktion?

Accepted Answer

Ein Graph mit einem Sprung an einer Stelle

Answer

Ein Graph ohne Sprünge oder Ecken

Answer

Ein Graph mit einer vertikalen Asymptote

Answer

Ein Graph mit einer horizontalen Asymptote

Question 7

Welcher Begriff beschreibt eine Funktion, die an allen Stellen ihres Definitionsbereichs unstetig ist?

Accepted Answer

Unstetig

Answer

Kontinuierlich

Answer

Diskontinuierlich

Answer

Stetig

Question 8

An welcher Stelle ist die Funktion $f(x) = |x|$ nicht differenzierbar?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

2

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über stetige Funktionen ist richtig?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion muss an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs einen Grenzwert besitzen.

Answer

Eine stetige Funktion muss an allen Stellen ihres Definitionsbereichs differenzierbar sein.

Answer

Eine stetige Funktion muss in ihrem Definitionsbereich beschränkt sein.

Answer

Eine stetige Funktion muss linear sein.

Question 10

Welcher Stetigkeitssatz besagt, dass die Summe zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist?

Accepted Answer

Satz über die Summe stetiger Funktionen

Answer

Satz über das Produkt stetiger Funktionen

Answer

Satz über den Quotienten stetiger Funktionen

Answer

Satz über die Komposition stetiger Funktionen

Question 11

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall [0, 1] nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = x/(x-1)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = √x

Answer

f(x) = x³

Question 12

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Gegenbeispiel zum Zwischenwertsatz?

Accepted Answer

Eine Treppenfunktion

Answer

Eine Gerade

Answer

Eine Parabel

Answer

Eine Sinuskurve

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall [-1, 1] stetig, aber nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = log(x)

Question 14

Welche Aussage zur Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle x₀ ist korrekt?

Accepted Answer

f(x₀) existiert und limes f(x) für x gegen x₀ existiert.

Answer

Limes f(x) für x gegen x₀ von links existiert.

Answer

Limes f(x) für x gegen x₀ von rechts existiert.

Answer

Alle der genannten Aussagen sind falsch.

Question 15

Welcher Stetigkeitssatz besagt, dass die Summe zweier stetiger Funktionen an einer Stelle wieder stetig ist?

Accepted Answer

Summensatz

Answer

Satz vom größten Wert

Answer

Satz vom kleinsten Wert

Answer

Produktsatz

Question 16

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an der Stelle x = 1?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x² - 1)

Answer

f(x) = x³ - 1

Answer

f(x) = (x + 1)²

Answer

f(x) = e^x

Question 17

Was bedeutet eine stetige Fortsetzung einer Funktion?

Accepted Answer

Die Definitionsmenge der Funktion wird erweitert.

Answer

Die Stetigkeit der Funktion bleibt unverändert.

Answer

Die Approximation der Funktion wird verbessert.

Answer

Die Ableitung der Funktion wird einfacher.

Question 18

Welche Eigenschaft hat eine Funktion an einer Stelle x₀, wenn sie dort einen Sprung hat?

Accepted Answer

Ihr Funktionswert ändert sich abrupt.

Answer

Ihre Ableitung ist an dieser Stelle unendlich.

Answer

Ihr Graph hat dort einen Wendepunkt.

Answer

Ihre Steigung ist an dieser Stelle Null.

Question 19

Welche Aussage über den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit ist richtig?

Accepted Answer

Jede differenzierbare Funktion ist stetig.

Answer

Jede stetige Funktion ist differenzierbar.

Answer

Stetigkeit ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit.

Answer

Differenzierbarkeit ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für Stetigkeit.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

lim f(x) = f(a)

Answer

f(a) ist definiert

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = a differenzierbar

Question 21

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle x = a gemäß der Epsilon-Delta-Definition?

Accepted Answer

Für jedes beliebig kleine ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit |x - a| < δ auch |f(x) - f(a)| < ε gilt.

Answer

Für jedes beliebig große δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass für alle x mit |f(x) - f(a)| < ε auch |x - a| < δ gilt.

Answer

Für jedes beliebig kleine ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x |f(x) - f(a)| < ε gilt.

Answer

Für jedes beliebig große δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass für alle x |x - a| < δ gilt.

Question 22

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = |x| nicht stetig?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

f(x) ist überall stetig.

Question 23

Welcher Stetigkeitssatz besagt, dass die Summe zweier stetiger Funktionen f(x) und g(x) an der Stelle x0 ebenfalls stetig ist?

Accepted Answer

Summensatz

Answer

Produktsatz

Answer

Kettensatz

Answer

Mittelwertsatz

Question 24

Welche Bedingung muss die Funktion f(x) an der Stelle x0 erfüllen, damit die Kehrwertfunktion g(x) = 1/f(x) an dieser Stelle stetig ist?

Accepted Answer

f(x0) ≠ 0

Answer

f(x0) = 0

Answer

f(x0) > 0

Answer

f(x0) < 0

Question 25

Welche Aussage über den Graphen einer stetigen Funktion f(x) ist immer korrekt?

Accepted Answer

Der Graph hat keine Sprungstellen.

Answer

Der Graph hat keine waagerechten Asymptoten.

Answer

Der Graph hat keine senkrechten Asymptoten.

Answer

Der Graph hat keine lokalen Extrema.

Question 26

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim_(x->1) 1/|x-1| = ∞

Answer

lim_(x->0) sin(x) = 0

Answer

lim_(x->∞) 1/x = 0

Answer

lim_(x->2) (x-2)^2 = 0

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall [-1, 1] nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 28

Welche der folgenden Aussagen ist für eine gleichmäßig stetige Funktion f(x) auf einem Intervall [a, b] richtig?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass |f(x) - f(y)| < ε für alle x, y ∈ [a, b] mit |x - y| < δ.

Answer

Für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass |f(x) - f(a)| < ε für alle x ∈ [a, b] mit |x - a| < δ.

Answer

Für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass |f(x) - f(b)| < ε für alle x ∈ [a, b] mit |x - b| < δ.

Answer

Für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass |f(x) - f(y)| < ε für alle x, y ∈ [a, b] mit |f(x) - f(y)| < δ.

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist auf der Menge der rationalen Zahlen im Intervall [0, 1] nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = √x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 30

Welche Aussage beschreibt die einseitige Stetigkeit einer Funktion f(x) im Punkt x0 von links?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x0 von links existiert und ist gleich f(x0).

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x0 von rechts existiert und ist gleich f(x0).

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x0 existiert und ist gleich f(x0).

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x0 definiert.

Question 31

Welche Aussage trifft auf eine stetige Funktion zu?

Accepted Answer

Sie hat an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs einen Grenzwert.

Answer

Sie ist monoton wachsend oder fallend.

Answer

Sie ist überall definiert.

Answer

Sie ist differenzierbar an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs.

Question 32

Welcher Grenzwert muss existieren, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

lim f(x) = f(a)

Answer

lim f(x) = 0

Answer

lim f'(x) = 0

Answer

lim f''(x) = 0

Question 33

Unter welchen Bedingungen ist die Summe zweier stetiger Funktionen wieder stetig?

Accepted Answer

Immer

Answer

Nur wenn die Funktionen im gleichen Definitionsbereich stetig sind.

Answer

Nur wenn die Funktionen an der gleichen Stelle stetig sind.

Answer

Nur wenn die Funktionen überall stetig sind.

Question 34

Welcher Stetigkeitssatz besagt, dass die Summe zweier stetiger Funktionen an einer Stelle wieder stetig ist?

Accepted Answer

Satz über die Stetigkeit der Summe von Funktionen

Answer

Satz von Bolzano-Weierstraß

Answer

Satz von Heine-Cantor

Answer

Satz über die Stetigkeit des Produkts von Funktionen

Question 35

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit der Funktion f(x) = (x - 1)^2 an der Stelle x = 2 korrekt?

Accepted Answer

f ist an der Stelle x = 2 stetig.

Answer

f ist an der Stelle x = 2 unstetig.

Answer

Die Stetigkeit von f an der Stelle x = 2 kann nicht eindeutig bestimmt werden.

Answer

f ist an der Stelle x = 2 nur linksseitig stetig.

Question 36

Welche der folgenden Funktionen ist auf der Menge der natürlichen Zahlen nicht stetig?

Accepted Answer

f(n) = 1 / n

Answer

f(n) = n + 1

Answer

f(n) = n^2

Answer

f(n) = sin(n)

Question 37

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a korrekt?

Accepted Answer

f(a) ist definiert und der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist ungleich f(a).

Answer

f(a) existiert und ist ungleich dem Grenzwert von f(x) für x gegen a.

Answer

f(a) ist definiert und der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert nicht.

Question 38

Welcher Stetigkeitssatz besagt, dass die Summe zweier stetiger Funktionen wieder eine stetige Funktion ergibt?

Accepted Answer

Summensatz

Answer

Differenzsatz

Answer

Produktsatz

Answer

Quotientensatz

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Question 40

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x -> 1) (1 / (x - 1))

Answer

lim (x -> 0) (x² + 1)

Answer

lim (x -> -∞) (eˣ)

Answer

lim (x -> ∞) (1 / x²)

Question 41

Welcher Stetigkeitssatz garantiert, dass die Komposition zweier stetiger Funktionen wieder eine stetige Funktion liefert?

Accepted Answer

Kettensatz

Answer

Summensatz

Answer

Differenzsatz

Answer

Produktsatz

Question 42

Welche Bedingung muss die Funktion f(x) erfüllen, damit sie an der Stelle x0 eine hebbare Unstetigkeit hat?

Accepted Answer

f(x0) existiert und ist ungleich lim x -> x0 f(x).

Answer

lim x -> x0 f(x) existiert nicht.

Answer

lim x -> x0 f(x) = f(x0).

Answer

f(x0) existiert nicht.

Question 43

Welche Art von Unstetigkeit liegt vor, wenn eine Funktion an einer Stelle einen Pol hat?

Accepted Answer

Polunstetigkeit

Answer

Hebbare Unstetigkeit

Answer

Sprungunstetigkeit

Answer

Wesentliche Unstetigkeit

Question 44

Welche Aussage definiert die Stetigkeit einer Funktion **f** an einer Stelle **c** korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert von **f** an **c** existiert und ist gleich dem Funktionswert von **f** an **c**.

Answer

Der Grenzwert von **f** an **c** existiert.

Answer

Der Funktionswert von **f** an **c** existiert.

Answer

Die Ableitung von **f** an **c** existiert.

Question 45

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** an der Stelle **x = 0** stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** an der Stelle **x = 1** stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x-1)

Answer

f(x) = (x-1)^2

Answer

f(x) = |x-1|

Answer

f(x) = e^(x-1)

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über stetige Funktionen ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Wurzel einer stetigen Funktion ist stetig.

Answer

Die Summe stetiger Funktionen ist stetig.

Answer

Das Produkt stetiger Funktionen ist stetig.

Answer

Der Quotient stetiger Funktionen ist stetig, wenn der Nenner nicht am Nenner verschwindet.

Question 48

Welche der folgenden Aussagen ist ein Korollar des Zwischenwertsatzes?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall nimmt jeden Zwischenwert an.

Answer

Eine stetige Funktion auf einem halboffenen Intervall nimmt jeden Zwischenwert an.

Answer

Eine stetige Funktion auf einem offenen Intervall nimmt nicht jeden Zwischenwert an.

Answer

Eine stetige Funktion auf einem unendlichen Intervall nimmt nicht jeden Zwischenwert an.

Question 49

Welche der folgenden Aussagen ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Summe zweier stetiger Funktionen ist nicht unbedingt stetig.

Answer

Das Produkt zweier stetiger Funktionen ist stetig.

Answer

Die Differenz zweier stetiger Funktionen ist stetig.

Question 50

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 51

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig bei x = c?

Accepted Answer

f(x) = x/(x-c)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 52

Welcher Stetigkeitssatz besagt, dass die Summe zweier stetiger Funktionen f(x) und g(x) wieder eine stetige Funktion ist?

Accepted Answer

Stetigkeitssatz für Summen

Answer

Satz vom Mittelwertsatz

Answer

Satz vom Zwischenwertsatz

Answer

Satz von Rolle

Question 53

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

lim┬(x->a) f(x) = f(a)

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a definiert.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a integrierbar.

Question 54

Welche der folgenden Funktionen ist stetig, aber nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Question 55

Welche der folgenden Funktionen erfüllt den Satz vom Zwischenwertsatz auf dem Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

f(x) = x^3 - x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x - 1/2|

Answer

f(x) = 1 / x

Question 56

Welche der folgenden Funktionen ist auf der Menge der rationalen Zahlen nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x^2 - 1)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = ln(x)

Question 57

Welche der folgenden Aussagen ist eine Folgerung aus dem Satz über stetige bijektive Funktionen?

Accepted Answer

Wenn f(x) stetig und bijektiv ist, dann ist auch ihre Umkehrfunktion f^-1(x) stetig.

Answer

Wenn f(x) bijektiv ist, dann ist auch ihre Ableitung bijektiv.

Answer

Wenn f(x) stetig ist, dann ist auch ihr Graph stetig.

Question 58

Welche der folgenden Stetigkeitssätze gilt für die Summe zweier Funktionen?

Accepted Answer

Sind f und g stetig an der Stelle x = a, so ist auch f + g stetig an der Stelle x = a.

Answer

Sind f und g unstetig an der Stelle x = a, so ist auch f + g stetig an der Stelle x = a.

Answer

Ist f stetig an der Stelle x = a und g unstetig an der Stelle x = a, so ist auch f + g unstetig an der Stelle x = a.

Question 59

Welche der folgenden Funktionen ist nicht auf dem Intervall [-1, 1] stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 60

Welche der folgenden Funktionen ist nicht auf der reellen Zahlenmenge stetig?

Accepted Answer

f(x) = sqrt(x^2 - 4)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = ln(x + 1)

Question 61

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle x=a korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert, ist aber ungleich f(a).

Question 62

Welcher Satz beschreibt die Stetigkeit einer Summe stetiger Funktionen?

Accepted Answer

Wenn f und g an der Stelle a stetig sind, dann ist auch f+g an a stetig.

Answer

Wenn f an der Stelle a stetig ist, dann ist auch f'(a) stetig.

Answer

Wenn f an der Stelle a differenzierbar ist, dann ist sie auch stetig an a.

Question 63

Welche Aussage über die Funktion f(x) = (x-1)^2 ist korrekt?

Accepted Answer

f ist an allen Stellen stetig.

Answer

f ist nur an der Stelle x=1 stetig.

Answer

f ist an der Stelle x=1 unstetig.

Answer

f ist nur an der Stelle x=0 stetig.

Question 64

Welche Funktion ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x/(x^2+1)

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x)