Lineare Abbildungen: Online-Quizze für Klasse 11 Gesamtschule

Question 1

Welche Eigenschaft trifft auf alle linearen Abbildungen zu?

Accepted Answer

Alle genannten Eigenschaften

Answer

f(0) = 0

Answer

f(x + y) = f(x) + f(y)

Answer

f(cx) = cf(x)

Question 2

Bestimme die Bildmenge der linearen Abbildung f: R² → R³ mit f(x) = [x1 + 2x2 x1 - x2 x2].

Accepted Answer

Ein zweidimensionaler Unterraum in R³

Answer

Eine Ebene in R³

Answer

Der gesamte Raum R³

Answer

Eine Gerade in R³

Question 3

Sind die Vektoren [1 2]T und [3 4]T linear unabhängig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Question 4

Wie lautet der Rang der durch die Matrix [1 2; 3 6] dargestellten linearen Abbildung?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 5

Welcher Vektor gehört zum Nullraum der durch die Matrix [1 -1; 2 -2] dargestellten linearen Abbildung?

Accepted Answer

(1, 0)

Answer

(0, 1)

Answer

(1, 1)

Answer

(0, 0)

Question 6

Welche Aussage über den Rang einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Er entspricht der Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten der Matrixdarstellung.

Answer

Er entspricht der Anzahl der Vektoren im Bildraum der Abbildung.

Answer

Er entspricht der Anzahl der Vektoren im Kern der Abbildung.

Answer

Er kann größer sein als die Anzahl der Zeilen oder Spalten der Matrixdarstellung.

Question 7

Geben Sie alle möglichen Linearkombinationen der Vektoren [1 0] und [0 1] an.

Accepted Answer

[α 0] + [0 β] = [α β]

Accepted Answer

[α 0] - [0 β] = [α -β]

Answer

[α 0] * [0 β] = [0 0]

Answer

[α 0] + [β 1] = [α + β 1]

Question 8

Welche Abbildung ist linear?

Accepted Answer

g(x, y) = x + y

Answer

f(x) = x³

Answer

h(x) = |x|

Answer

k(x, y) = xy

Question 9

Der Nullraum einer linearen Abbildung besteht aus:

Accepted Answer

Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Answer

Vektoren, die auf den Zufallsvektor abgebildet werden.

Answer

Vektoren, die auf den Standardvektor abgebildet werden.

Question 10

Welche Aussage zur Beziehung zwischen Rang und Nullraum einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind komplementäre Unterräume des zugrunde liegenden Vektorraums.

Answer

Sie sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Sie haben immer die gleiche Dimension.

Answer

Sie sind immer linear abhängig.

Question 11

Gib den Rang der linearen Abbildung an, die durch die Matrix [[1, 2], [3, 4]] dargestellt wird:

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 12

Welche geometrische Transformation beschreibt die lineare Abbildung $$f(x) =  egin{bmatrix} 2 & 0  0 & 1 end{bmatrix}x$$?

Accepted Answer

Skalierung in x-Richtung um den Faktor 2

Answer

Spiegelung an der y-Achse

Answer

Drehung um 90 Grad im Uhrzeigersinn

Answer

Projektion auf die x-Achse

Question 13

Die Umkehrbildmenge eines Vektors b ∈ W unter einer linearen Abbildung T: V → W lässt sich ermitteln durch:

Accepted Answer

Lösen des inhomogenen linearen Gleichungssystems T(x) = b

Answer

Lösen des homogenen linearen Gleichungssystems T(x) = 0

Answer

Lösen des gemischten linearen Gleichungssystems T(x) + b = 0

Answer

Lösen des erweiterten linearen Gleichungssystems T(x) + b = 0

Question 14

Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Rang und dem Kernraum einer linearen Abbildung T: V → W?

Accepted Answer

Der Rang von T ist gleich der Kodimension des Kernraums von T.

Answer

Der Rang von T ist gleich der Dimension des Kernraums von T.

Answer

Der Kernraum von T ist immer ein Unterraum des Bildraums von T.

Answer

Der Bildraum von T ist immer ein Unterraum des Kernraums von T.

Question 15

Welches der folgenden Beispiele stellt einen linearen Operator auf dem Vektorraum der Polynome dritten Grades dar?

Accepted Answer

Die Ableitung

Answer

Die Integration

Answer

Die Quadratbildung

Answer

Die Kehrwertbildung

Question 16

Welche Aussage über die Komposition linearer Abbildungen ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Komposition linearer Abbildungen ist immer eine lineare Abbildung.

Answer

Die Komposition linearer Abbildungen ist nur dann eine lineare Abbildung, wenn die beiden Abbildungen injektiv sind.

Answer

Die Komposition linearer Abbildungen ist nur dann eine lineare Abbildung, wenn die beiden Abbildungen surjektiv sind.

Answer

Die Komposition linearer Abbildungen ist nur dann eine lineare Abbildung, wenn die beiden Abbildungen bijektiv sind.

Question 17

Welche der folgenden Zuordnungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 18

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist eine Isometrie?

Accepted Answer

$egin{bmatrix} rac{1}{sqrt{2}} & rac{1}{sqrt{2}} \ -rac{1}{sqrt{2}} & rac{1}{sqrt{2}} end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$

Question 19

Welche Matrix ist die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f : R² → R², die die Punkte (x, y) auf (2x + y, x - y) abbildet?

Accepted Answer

((2, 1), (1, -1))

Answer

((1, 2), (-1, 1))

Answer

((2, -1), (1, 1))

Answer

((1, -2), (-1, -1))

Question 20

Welche der folgenden Matrizen stellt eine invertierbare lineare Abbildung dar?

Accepted Answer

((1, 0), (0, 1))

Answer

((1, 2), (0, 1))

Answer

((1, 1), (1, 1))

Answer

((2, 1), (1, 2))

Question 21

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung, die jeden Vektor auf die x-Achse projiziert?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[0, 0], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [1, 0]]

Question 22

Welcher der folgenden Vektoren liegt im Nullraum der linearen Abbildung f(x) = Ax, wobei A = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

[-1, 1]

Answer

[1, -1]

Answer

[2, 1]

Answer

[0, 2]

Question 23

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf lineare Abbildungen zu?

Accepted Answer

Sie bewahren die Addition und die Multiplikation mit Skalaren.

Answer

Sie sind immer invertierbar.

Answer

Ihr Bildraum ist immer der gesamte Zielraum.

Answer

Ihr Kernraum ist immer der Nullvektor.

Question 24

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 25

Berechne die Matrixdarstellung der linearen Abbildung, die einen Vektor (x, y) auf (-y, x) abbildet, bezüglich der Standardbasen.

Accepted Answer

[[0, -1], [-1, 0]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Question 26

Welcher der folgenden Vektoren gehört zum Kern der linearen Abbildung f(x) = (2x + 1, x - 3)?

Accepted Answer

(2, 0)

Answer

(1, 1)

Answer

(0, 3)

Answer

(1, 0)

Question 27

Welche der folgenden Abbildungen ist bijektiv?

Accepted Answer

h(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

g(x) = |x|

Answer

j(x) = sin(x)

Question 28

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung, die jeden Vektor auf seinen zweiten Koordinatenvektor abbildet?

Accepted Answer

[0 1]

Answer

[1 0]

Answer

[0 0]

Answer

[1 1]

Question 29

Die Definition des Ranges einer linearen Abbildung lautet:

Accepted Answer

Die Dimension ihres Bildraums

Answer

Die Anzahl der Zeilen ihrer Matrixdarstellung

Answer

Die Anzahl der Spalten ihrer Matrixdarstellung

Answer

Die Dimension ihres Nullraums

Question 30

Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist:

Accepted Answer

Immer eine lineare Abbildung

Answer

Eine lineare Abbildung, wenn mindestens eine der Abbildungen invertierbar ist.

Answer

Nur eine lineare Abbildung, wenn beide Abbildungen invertierbar sind.

Answer

Nie eine lineare Abbildung.

Question 31

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist weder injektiv noch surjektiv?

Accepted Answer

y = x^2

Answer

y = 2x

Answer

y = x + 1

Answer

y = 1/x

Question 32

Was ist der Nullraum einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge der Vektoren, die auf einen Einheitsvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge der Vektoren, die außerhalb des Bildraums liegen.

Question 33

Welche Eigenschaft hat der Bildraum einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Er ist ein Untervektorraum des Zielraums.

Answer

Er ist immer ein zweidimensionaler Raum.

Answer

Er ist die Menge aller Lösungen der Gleichung Ax = 0.

Question 34

Welche der folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung impliziert, dass sie nicht bijektiv ist?

Accepted Answer

Der Rang ist kleiner als die Dimension des Eingangsraums.

Answer

Der Nullraum ist trivial.

Answer

Die Matrixdarstellung ist invertierbar.

Question 35

Welche Matrixdarstellung entspricht einer linearen Abbildung f: R² → R², die eine Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn ausführt?

Accepted Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Question 36

Welche der aufgeführten Mengen bildet einen Untervektorraum des Vektorraums V = {f: R → R | f(0) = 0}?

Accepted Answer

{f: R → R | f(x) = ax, a ∈ R}

Answer

{f: R → R | f(x) = sin(x)}

Answer

{f: R → R | f(x) = eˣ}

Answer

{f: R → R | f(x) = x²}

Question 37

Wie viele lineare Abbildungen sind von V = {f: R → R | f(x) = ax + b, a, b ∈ R} nach W = {f: R → R | f(0) = 0} möglich?

Accepted Answer

Unendlich viele

Answer

Zwei

Answer

Genau eine

Question 38

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f: R² → R, f(x) = x₁ - x₂

Answer

h: R → R, h(x) = |x|

Answer

k: R³ → R, k(x) = max{x₁, x₂, x₃}

Answer

g: R² → R, g(x) = sin(x₁ + x₂)

Question 39

Welche der folgenden Aussagen beschreibt **korrekt** eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Eine Abbildung, die die Summe und das Produkt einer Zahl mit einem Vektor auf die entsprechenden Summen- und Produktvektoren abbildet.

Answer

Eine Abbildung, die einen Vektor auf einen beliebigen anderen Vektor abbildet.

Question 40

Welche der folgenden Eigenschaften trifft **nicht** auf lineare Abbildungen zu?

Accepted Answer

f(u + v) = f(u) + f(v) + 1 für alle u, v ∈ V

Answer

f(0_V) = 0_W

Answer

f(λu) = λf(u) für alle u ∈ V und λ ∈ ℝ

Answer

f(u + v) = f(u) + f(v) für alle u, v ∈ V

Question 41

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung f: ℝ² -> ℝ², die eine Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn und anschließend eine Streckung um den Faktor 2 durchführt?

Accepted Answer

[0  -2]
[2   0]

Answer

[2  0]
[0  2]

Answer

[0 1]
[1  0]

Answer

[0   2]
[-2  0]

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über den Nullraum einer linearen Abbildung f: V -> W ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Nullraum von f ist immer ein leerer Raum.

Answer

Der Nullraum von f ist ein Untervektorraum von V.

Answer

Der Nullraum von f enthält alle Vektoren in V, die auf den Nullvektor in W abgebildet werden.

Question 43

Gegeben sei die lineare Abbildung f: ℝ² -> ℝ³ mit f(1, 0) = (2, 1, 0) und f(0, 1) = (0, 1, 1). Welchen Wert hat f(3, 2)?

Accepted Answer

(6, 5, 2)

Answer

(6, 3, 2)

Answer

(3, 2, 1)

Answer

(2, 1, 1)

Question 44

Welche Aussage über eine bijektive lineare Abbildung f: V -> W ist **richtig**?

Accepted Answer

f ist invertierbar, und die inverse Abbildung f⁻¹ ist ebenfalls linear.

Answer

f ist immer eine Streckung oder Stauchung des Vektorraums.

Answer

f ist immer eine Drehung um einen bestimmten Winkel.

Question 45

Sei f: ℝ³ -> ℝ² eine lineare Abbildung mit der Matrixdarstellung A = [1  2  3]
[0  1  2]. Welcher der folgenden Vektoren liegt im Nullraum von f?

Accepted Answer

(-4, 2, 1)

Answer

(1, 0, 0)

Answer

(0, 0, 1)

Answer

(0, 1, 0)

Question 46

Gegeben sei eine lineare Abbildung f: V -> W und eine Basis B = {v₁, v₂, ..., vₙ} von V. Welche Aussage ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Bilder f(v₁) bis f(vₙ) bilden immer eine Basis von W.

Answer

Die Dimension des Bildraums von f ist höchstens n.

Answer

Die Bilder f(v₁) bis f(vₙ) spannen den Bildraum von f auf.

Question 47

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf jede lineare Abbildung f: V → W zu?

Accepted Answer

f(0_V) = 0_W

Answer

f(v_1 - v_2) = f(v_1) + f(v_2)

Answer

f(r · v) = f(r) · f(v)

Answer

f(v_1 + v_2) = f(v_1) - f(v_2)

Question 48

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f: R² → R, (x, y) ↦ x - y

Answer

k: R² → R³, (x, y) ↦ (x, y, x + y)

Answer

g: R² → R, (x, y) ↦ x² - y²

Answer

h: R³ → R, (x, y, z) ↦ xy + z

Question 49

Welche Matrix stellt die lineare Abbildung f: R² → R³, (x, y) ↦ (x + y, x - y, 2x + y) dar?

Accepted Answer

[1 1; 1 -1; 2 1]

Answer

[1 1 2; 1 1 1; 2 1 1]

Answer

[1 1 0; 1 -1 0; 2 1 1]

Answer

[1 1 0; 1 -1 1; 2 1 1]

Question 50

Was ist der Rang der linearen Abbildung f: R³ → R², (x, y, z) ↦ (x + y, z - x)?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

4

Answer

3

Question 51

Welcher Vektor ist ein Eigenvektor der linearen Abbildung f: R² → R², (x, y) ↦ (x + y, x - y)?

Accepted Answer

(1, 1)

Answer

(1, -1)

Answer

(0, 1)

Answer

(1, 0)

Question 52

Was ist der Nullraum der linearen Abbildung f: R³ → R², (x, y, z) ↦ (x + y, z - x)?

Accepted Answer

{λ(0, 1, -1) | λ ∈ R}

Answer

{λ(0, 0, 1) | λ ∈ R}

Answer

{λ(1, 1, 0) | λ ∈ R}

Answer

{λ(1, 0, 1) | λ ∈ R}

Question 53

Welche Aussage trifft auf die inverse lineare Abbildung f⁻¹: W → V einer linearen Abbildung f: V → W zu?

Accepted Answer

Die Matrixdarstellung von f⁻¹ ist die Inverse der Matrixdarstellung von f.

Answer

Der Rang von f⁻¹ ist der gleiche wie der Rang von f.

Answer

Der Nullraum von f⁻¹ ist der gleiche wie der Nullraum von f.

Question 54

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Isomorphismus?

Accepted Answer

f: R² → R³, (x, y) ↦ (x, y, x + y)

Answer

g: R² → R³, (x, y) ↦ (x, y, 0)

Answer

k: R² → R², (x, y) ↦ (x², y²)

Answer

h: R³ → R², (x, y, z) ↦ (x + y, z - x)

Question 55

Wie groß ist die Dimension des Bildraums der linearen Abbildung f: R⁴ → R³, (x, y, z, t) ↦ (x + y, z - x, t)?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

4

Question 56

Welche Aussage gilt für lineare Abbildungen?

Accepted Answer

Die Summe zweier linearer Abbildungen ist ebenfalls eine lineare Abbildung.

Answer

Das Produkt zweier linearer Abbildungen ist eine lineare Abbildung.

Answer

Die Inverse einer linearen Abbildung ist eine lineare Abbildung.

Question 57

Welche der folgenden Eigenschaften kennzeichnet eine lineare Abbildung f: V → W?

Accepted Answer

f(u + v) = f(u) + f(v) für alle u, v ∈ V und f(λu) = λf(u) für alle λ ∈ ℝ und u ∈ V

Answer

f(λu) = f(λ) ⋅ f(u) für alle λ ∈ ℝ und u ∈ V

Answer

f(u + v) = f(u) ⋅ f(v) für alle u, v ∈ V

Question 58

Gegeben sei die lineare Abbildung f: ℝ² → ℝ² mit f(x, y) = (x + y, 2x - y). Welche Matrix repräsentiert f?

Accepted Answer

[[1, 1], [2, -1]]

Answer

[[1, -1], [2, 1]]

Answer

[[2, 1], [1, -1]]

Answer

[[1, 2], [1, -1]]

Question 59

Sei f: ℝ³ → ℝ² eine lineare Abbildung mit der Matrixdarstellung [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]. Welchen Rang hat f?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

0

Question 60

Welcher Vektor gehört zum Nullraum der linearen Abbildung f: ℝ² → ℝ² mit f(x, y) = (x - y, x + y)?

Accepted Answer

(0, 0)

Answer

(1, -1)

Answer

(2, 1)

Answer

(1, 1)

Question 61

Welche der folgenden Aussagen über den Nullraum einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Der Nullraum ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Der Nullraum ist ein Untervektorraum des Bildbereichs.

Answer

Der Nullraum enthält nur den Nullvektor, wenn die Abbildung injektiv ist.

Question 62

Sei f: V → W eine lineare Abbildung. Welches der folgenden Kriterien charakterisiert eine injektive lineare Abbildung?

Accepted Answer

Der Nullraum von f enthält nur den Nullvektor.

Answer

Der Rang von f ist gleich der Dimension von V.

Answer

Der Bildraum von f ist gleich W.

Question 63

Sei f: ℝ² → ℝ² eine lineare Abbildung mit der Matrixdarstellung [[2, 1], [4, 2]]. Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

Accepted Answer

f ist nicht injektiv, aber surjektiv.

Answer

f ist injektiv, aber nicht surjektiv.

Answer

f ist sowohl injektiv als auch surjektiv.

Answer

f ist weder injektiv noch surjektiv.

Question 64

Sei f: ℝ³ → ℝ³ eine lineare Abbildung, die eine Drehung um die z-Achse um 90° beschreibt. Wie lautet die Matrixdarstellung von f?

Accepted Answer

[[0, -1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[0, 1, 0], [-1, 0, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, -1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, -1]]