Vektoren in der Mathematik: Interaktive Übungen für Klasse 10

Question 1

Welches geometrische Objekt beschreibt das Kreuzprodukt der Vektoren **a**=(2, -1, 3) und **b**=(4, 5, -2)?

Accepted Answer

Ein Vektor, dessen Länge der Fläche des Parallelogramms entspricht, das von **a** und **b** aufgespannt wird.

Answer

Ein Vektor, der die Richtung von **a** angibt.

Answer

Ein Vektor, dessen Länge der Länge von **a** entspricht.

Answer

Ein Vektor, dessen Richtung die Richtung von **b** angibt.

Question 2

Welcher der folgenden Vektoren verläuft parallel zur $x$-Achse?

Accepted Answer

$\vec{a} = (3, 0, 2)$

Answer

$\vec{b} = (0, -4, 5)$

Answer

$\vec{c} = (1, 1, 1)$

Answer

$\vec{d} = (-2, 3, 0)$

Question 3

Welcher der folgenden Ausdrücke beschreibt das Skalarprodukt zweier Vektoren **a** und **b** nicht?

Accepted Answer

a · b = |a| |b| sin(α)

Answer

a · b = |a| |b| cos(α)

Answer

a · b = a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z

Answer

a · b ist eine skalare Größe.

Question 4

Ein Dreieck hat Eckpunkte A(1, 2), B(3, 5) und C(-2, 3). Berechne die Länge des Vektors AB.

Accepted Answer

2√5

Answer

5

Answer

2√2

Answer

10

Question 5

Ein Vektor hat die Komponenten (x, y). Wie lautet die Normalenform des Vektors?

Accepted Answer

(x/√(x²+y²), y/√(x²+y²))

Answer

((x²+y²)/x, (x²+y²)/y)

Answer

(y/x, x/y)

Answer

(-x/√(x²+y²), -y/√(x²+y²))

Question 6

Welcher Ausdruck berechnet das Skalarprodukt der Vektoren **a** und **b** mit den Komponenten (a₁, a₂) und (b₁, b₂)?

Accepted Answer

a₁ * b₁ + a₂ * b₂

Answer

a₁ * b₂ - a₂ * b₁

Answer

(a₁ + a₂) * (b₁ + b₂)

Answer

|a| * |b| * cos(α)

Question 7

Welche der folgenden Figuren lässt sich durch einen Vektor beschreiben?

Accepted Answer

Linie

Answer

Kreis

Answer

Ellipse

Answer

Parabel

Question 8

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen rechten Winkel zwischen zwei Vektoren?

Accepted Answer

a · b = 0

Answer

a x b = 0

Answer

a + b = 0

Answer

a - b = 0

Question 9

Welche der folgenden Vektoroperationen ist assoziativ?

Accepted Answer

Vektoraddition

Answer

Vektorsubtraktion

Answer

Skalarprodukt

Answer

Kreuzprodukt

Question 10

Welche der folgenden Formeln berechnet den Abstand zwischen zwei Punkten mit den Koordinaten (x1, y1) und (x2, y2)?

Accepted Answer

Abstand = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]

Answer

Abstand = |(x1 - x2) + (y1 - y2)|

Answer

Abstand = |(x1 - x2) * (y1 - y2)|

Answer

Abstand = √[(x1 - x2) - (y1 - y2)]²

Question 11

Welche der folgenden Aussagen zur Basis eines Vektorraums ist richtig?

Accepted Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die sowohl den Vektorraum aufspannt als auch linear unabhängig ist.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannt.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig ist.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannt und orthogonal zueinander ist.

Question 12

Wie lautet die Koordinatendarstellung des Vektors $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 3 \end{pmatrix}$ in der Standardbasis?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 2, 1, 3 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1, 2, 3 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 3, 1, 2 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1, 3, 2 \end{pmatrix}$

Question 13

Welche Aussage über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren haben sowohl einen Betrag als auch eine Richtung.

Answer

Vektoren besitzen nur einen Betrag.

Answer

Vektoren können nur in einer Ebene liegen.

Answer

Vektoren stehen immer senkrecht aufeinander.

Question 14

Welche Operation ist bei Vektorfunktionen nicht zulässig?

Accepted Answer

Kreuzprodukt

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation mit einer Zahl

Question 15

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren ( vec{a} = (2, -1, 3) ) und ( vec{b} = (1, 2, -1) ).

Accepted Answer

5

Answer

10

Answer

15

Answer

-5

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren haben sowohl Betrag als auch Richtung.

Answer

Vektoren haben immer positive Komponenten.

Answer

Vektoren können nur zwei Koordinaten haben.

Answer

Vektoren sind immer parallel zueinander.

Question 17

Welche der folgenden Operationen kann mit Vektoren nicht durchgeführt werden?

Accepted Answer

Division

Answer

Multiplikation mit einem Skalar

Answer

Kreuzprodukt

Answer

Addition

Question 18

Welche der folgenden Vektormengen bildet die Spannweite des Raumes ( mathbb{R}^3 )?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}

Answer

{(1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)}

Answer

{(1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)}

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über das Skalarprodukt zweier Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Es kann negativ sein.

Answer

Es ist immer positiv.

Answer

Es ist immer null oder positiv.

Question 20

Wie lautet die Formel für das Skalarprodukt zweier Vektoren a = (a₁, a₂) und b = (b₁, b₂)?

Accepted Answer

a₁ ⋅ b₁ + a₂ ⋅ b₂

Answer

a₁ ⋅ b₂ + a₂ ⋅ b₁

Answer

(a₁ - b₁) ⋅ (a₂ - b₂)

Answer

(a₁ + b₁) ⋅ (a₂ + b₂)

Question 21

Welche der folgenden Anwendungen von Vektoren ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Berechnung der Fläche eines Kreises

Answer

Berechnung der Kraft auf ein Objekt

Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts

Answer

Darstellung von Bewegungen in der Physik

Question 22

Wie lautet die Formel für den Betrag des Vektors a = (a₁, a₂)?

Accepted Answer

√(a₁² + a₂²)

Answer

(a₁ + a₂)²

Answer

a₁ ⋅ a₂

Question 23

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf Vektoren nicht zu?

Accepted Answer

Vektoren sind kommutativ.

Answer

Vektoren können skaliert werden.

Answer

Vektoren sind assoziativ.

Question 24

Das Kreuzprodukt der Vektoren a = (2, 1) und b = (1, 3) ist:

Accepted Answer

(5, -5)

Answer

(5, 5)

Answer

(3, 1)

Answer

(1, 5)

Question 25

Ein Flugzeug fliegt mit 500 km/h in Richtung Norden. Der Wind weht mit 100 km/h in Richtung Osten. Wie groß ist die resultierende Geschwindigkeit des Flugzeugs?

Accepted Answer

√260000 km/h

Answer

600 km/h

Answer

500 km/h

Answer

400 km/h

Question 26

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren trifft **nicht** zu?

Accepted Answer

Vektoren können nur durch ihren Betrag dargestellt werden.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Vektoren besitzen sowohl eine Richtung als auch einen Betrag.

Question 27

Zwei Vektoren sind parallel, wenn ...

Accepted Answer

sie linear abhängig sind.

Answer

sie den gleichen Startpunkt haben.

Answer

sie die gleiche Länge besitzen.

Answer

ihr Skalarprodukt gleich null ist.

Question 28

Der Vektor a = (2, 3) wird mit dem Skalar 4 multipliziert. Welcher Vektor entsteht?

Accepted Answer

(8, 12)

Answer

(8, 3)

Answer

(2, 12)

Answer

(6, 7)

Question 29

Welche der aufgeführten Operationen ist **nicht** für Vektoren definiert?

Accepted Answer

Division durch einen Vektor.

Answer

Subtraktion von Vektoren.

Answer

Addition von Vektoren.

Question 30

Der Winkel zwischen den Vektoren a = (1, 0) und b = (0, 1) beträgt:

Accepted Answer

90°

Answer

0°

Answer

180°

Answer

45°

Question 31

Das Kreuzprodukt der Vektoren a = (1, 2, 0) und b = (0, 1, 1) ergibt:

Accepted Answer

(2, -1, 1)

Answer

(1, 0, 1)

Answer

(0, 1, 2)

Answer

(1, 1, 1)

Question 32

Welche der folgenden geometrischen Anwendungen ist **keine** Anwendung von Vektoren?

Accepted Answer

Die Berechnung der Fläche eines Kreises.

Answer

Die Bestimmung des Winkels zwischen zwei Geraden.

Answer

Die Berechnung der Länge einer Strecke.

Question 33

Ein Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 500 km/h nach Norden. Der Wind weht mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h nach Osten. Welche Vektoraddition beschreibt die resultierende Geschwindigkeit des Flugzeugs?

Accepted Answer

Die Vektoraddition der Geschwindigkeit des Flugzeugs und der Geschwindigkeit des Windes.

Answer

Die Multiplikation der Geschwindigkeit des Flugzeugs mit der Geschwindigkeit des Windes.

Answer

Die Vektorsubtraktion der Geschwindigkeit des Flugzeugs von der Geschwindigkeit des Windes.

Question 34

Welcher der folgenden Ausdrücke ist nicht ein Vektor?

Accepted Answer

|3cm|

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(2, 0)

Answer

5i - 2j

Question 35

Berechne den Betrag des Vektors v = (3, 4).

Accepted Answer

5

Answer

25

Answer

12

Answer

4

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Vektoren können beliebig miteinander multipliziert werden.

Answer

Vektoren haben einen Betrag und eine Richtung.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Question 37

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren v = (1, 2) und w = (3, 4).

Accepted Answer

11

Answer

-5

Answer

5

Answer

22

Question 38

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren v = (1, 0, 0) und w = (0, 1, 0).

Accepted Answer

(0, 0, 1)

Answer

(1, 0, 0)

Answer

(0, 1, 0)

Answer

(0, 0, -1)

Question 39

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im Raum?

Accepted Answer

r = (1, 2) + t(3, 4)

Answer

r = (1, 2) - t(3, 4)

Answer

r = (1, 2)t

Answer

r = (1, 2) x t(3, 4)

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über Ebenen im Raum ist falsch?

Accepted Answer

Ebenen können durch zwei parallele Vektoren beschrieben werden.

Answer

Ebenen haben eine Normalenform.

Answer

Ebenen können durch einen Punkt und eine Gerade definiert werden.

Question 41

Berechne den Abstand zwischen dem Punkt P(1, 2, 3) und der Ebene x + 2y - 3z = 6.

Accepted Answer

5

Answer

3

Answer

15

Answer

10