Integralrechnung lernen: Verstehe Stammfunktionen und ihre Anwendungen

Question 1

Welche Integralregel wird zur Berechnung des Integrals von f(x) = (x² + 1) * e^x dx verwendet?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 2

Welche Aussage beschreibt die Definition einer Stammfunktion am besten?

Accepted Answer

Eine Stammfunktion ist eine Funktion F(x), deren Ableitung f(x) ergibt.

Answer

Eine Stammfunktion ist eine Funktion F(x), deren Integral f(x) ergibt.

Answer

Eine Stammfunktion ist eine Funktion F(x), deren zweite Ableitung f(x) ergibt.

Answer

Eine Stammfunktion ist eine Funktion F(x), die immer eine Stammfunktion von f(x) ist.

Question 3

Welche Aussage beschreibt eine Stammfunktion?

Accepted Answer

Die Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt

Answer

Die mathematische Operation, die eine Funktion in ihre Ableitung umwandelt

Answer

Die Fläche unter dem Graphen einer Funktion

Answer

Das Volumen eines von einer Funktion begrenzten Körpers

Question 4

Wie berechnet man die Fläche unter dem Graphen von f(x) = x^2 im Intervall [0, 2]?

Accepted Answer

∫[0, 2] x^2 dx

Answer

∫[-2, 0] x^2 dx

Answer

∫[0, 2] 2x dx

Answer

∫[-2, 0] 2x dx

Question 5

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^-x + C

Answer

x * e^x + C

Answer

-x * e^x + C

Question 6

Was beschreibt die partielle Integration?

Accepted Answer

Eine Integrationstechnik zur Integration des Produkts zweier Funktionen

Answer

Eine Integrationstechnik zur Integration von Brüchen

Answer

Eine Integrationstechnik zur Integration von Funktionen durch Ersetzen durch andere Funktionen

Answer

Eine Integrationstechnik zur Integration von Funktionen durch Aufteilen in Teilfunktionen

Question 7

Welche Aussage über Stammfunktionen ist nicht zutreffend?

Accepted Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion kann mehrere verschiedene Ableitungen haben.

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion ist eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion ergibt.

Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ist immer die ursprüngliche Funktion.

Answer

Die Stammfunktion einer konstanten Funktion ist eine konstante Funktion.

Question 8

Ermittle das Integral von f(x) = x² + 2x - 1 über das Intervall [0, 2].

Accepted Answer

14/3

Answer

10/3

Answer

7/3

Answer

4/3

Question 9

Welches Integral ergibt das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Graphen von f(x) = x² über das Intervall [0, 1] um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

π/5

Answer

π/3

Answer

2π/5

Answer

2π/3

Question 10

Welche Substitution eignet sich zur Lösung des Integrals ∫(x² + 1)^(1/2) dx?

Accepted Answer

u = (x² + 1)^(1/2)

Answer

u = x² + 1

Answer

u = x

Answer

u = 1

Question 11

Welche Aussage über uneigentliche Integrale trifft zu?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral kann sowohl konvergieren als auch divergieren.

Answer

Ein uneigentliches Integral kann nur konvergieren, wenn der Integrand an einer oder beiden Grenzen unendlich ist.

Answer

Ein uneigentliches Integral kann nur divergieren, wenn der Integrand an einer oder beiden Grenzen unendlich ist.

Answer

Uneigentliche Integrale haben keine praktische Bedeutung in der Mathematik.

Question 12

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion (Antiableitung) von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Answer

cos(x) - C

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion (Primitive) von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

xe^x + C

Answer

e^-x + C

Answer

ln(e^x) + C

Question 14

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

x² + 2x + C

Answer

x² + 1

Answer

x² + x

Answer

2x² + C

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über Stammfunktionen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Stammfunktion ist bis auf eine Konstante eindeutig.

Answer

Eine Stammfunktion ist immer eindeutig.

Answer

Eine Stammfunktion kann mehrere Extrempunkte haben.

Answer

Eine Stammfunktion ist immer eine Gerade.

Question 16

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^x - 1

Answer

x * e^x

Answer

ln(e^x)

Question 17

Berechne das Integral ∫(1 / x²) dx:

Accepted Answer

-(1/x) + C

Answer

(1/x) + C

Answer

-x + C

Answer

x + C

Question 18

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

x² - C

Answer

2x² + C

Answer

2x - C

Question 19

Welche Aussage beschreibt die Substitutionsregel korrekt?

Accepted Answer

Man kann die Integrationsvariable durch eine andere Variable ersetzen.

Answer

Man kann das Integral einer Funktion durch ein anderes Integral ausdrücken.

Answer

Man kann das Integral einer Summe von Funktionen durch die Summe der Integrale ausdrücken.

Answer

Man kann das Integral einer Differenz von Funktionen durch die Differenz der Integrale ausdrücken.

Question 20

Welches Volumen besitzt ein Rotationskörper, der durch Rotation des Graphen von y = √(x) um die x-Achse für x ∈ [0, 4] entsteht?

Accepted Answer

π (16³ - 0³)

Answer

π/3 (16³ - 0³)

Answer

2π (16³ - 0³)

Answer

4π (16³ - 0³)

Question 21

Welche der folgenden Aussagen zur Integralrechnung ist korrekt?

Accepted Answer

Die Integralrechnung ist das Umkehrverfahren der Ableitungsrechnung.

Answer

Das Integral einer Funktion über ein Intervall ist gleich der Summe der Funktionswerte.

Answer

Der Integralsatz gilt nur für stetige Funktionen.

Answer

Das bestimmte Integral ist immer kleiner als das unbestimmte Integral.

Question 22

Was ist eine Riemannsche Summe?

Accepted Answer

Eine Näherung für das Integral einer Funktion.

Answer

Eine Ableitung höherer Ordnung.

Answer

Eine Funktion, die durch Integration entsteht.

Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion.

Question 23

Wie lautet die Integralregel für die Summe zweier Funktionen?

Accepted Answer

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

Answer

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) g(x) dx

Answer

∫(f(x) + g(x)) dx = f(x)g(x) + C

Answer

∫(f(x) + g(x)) dx = f'(x) + g'(x) + C

Question 24

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Fläche unterhalb des Graphen einer Funktion y = f(x) auf dem Intervall [a, b]?

Accepted Answer

Fläche = ∫[a, b] f(x) dx

Answer

Fläche = ∫[b, a] f(x) dx

Answer

Fläche = f(x) dx

Answer

Fläche = f'(x) dx

Question 25

Welche Rolle spielt die Integrationskonstante bei der Stammfunktion?

Accepted Answer

Ermöglicht die Bestimmung der Stammfunktion an beliebigen Stellen des Definitionsbereichs.

Answer

Legt die Stammfunktion eindeutig fest.

Answer

Beeinflusst die Steigung der Stammfunktion.

Answer

Kann bei der Bestimmung der Stammfunktion vernachlässigt werden.

Question 26

Wie lautet die korrekte Aussage zur Scheibenmethode bei der Volumenberechnung eines Rotationskörpers?

Accepted Answer

Das Volumen V ist das Integral der Querschnittsfläche A(x) über das Intervall [a, b].

Answer

Das Volumen V ist das Integral des Umfangs der Querschnittsfläche A(x) über das Intervall [a, b].

Answer

Das Volumen V ist das Integral des Radius der Querschnittsfläche A(x) über das Intervall [a, b].

Question 27

Bestimme die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) zwischen den Punkten a und b um die x-Achse rotiert wird.

Accepted Answer

$$V = pi int_{a}^{b} f(x)^2 dx$$

Answer

$$V = pi int_{a}^{b} f(y)^2 dy$$

Answer

$$V = int_{a}^{b} f(x)  dx$$

Answer

$$V = rac{1}{3} int_a^b pi r(x)^2  dx$$

Question 28

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

x⁴ + C

Answer

x³ + C

Answer

2x + C

Question 29

Berechne das Integral ∫(x² - 3x + 2) dx.

Accepted Answer

(x³/3) - (3x²/2) + 2x + C

Answer

(x³/4) - (3x²) + 2x + C

Answer

(x³/2) - (3x²) + 2x + C

Answer

(x³/2) - (3x²/4) + 2x + C

Question 30

Welches Integral berechnet die Fläche unter dem Graphen von f(x) = sin(x) im Intervall [0, π/2]?

Accepted Answer

-cos(x) |_[0, π/2]

Answer

cos(x) |_[0, π/2]

Answer

-sin(x) |_[0, π/2]

Answer

sin(x) |_[0, π/2]

Question 31

Welche der folgenden Substitutionen kann verwendet werden, um das Integral ∫√(1 + x²) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = 1 + x²

Answer

u = x

Answer

u = √(1 + x²)

Answer

u = x²

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über uneigentliche Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral kann einen endlichen Wert haben, auch wenn die Integrandfunktion keine obere oder untere Grenze hat.

Answer

Uneigentliche Integrale haben immer einen endlichen Wert.

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = eˣ?

Accepted Answer

eˣ + C

Answer

(1/e) * eˣ + C

Answer

x * eˣ + C

Answer

e⁻ˣ + C

Question 34

Berechne das Integral ∫(ln(x) + 1/x) dx.

Accepted Answer

x * ln(x) - ln(x) + C

Answer

(1/x) * ln(x) - ln(x) + C

Answer

x * ln(x) + ln(x) + C

Answer

(1/x) * ln(x) + ln(x) + C

Question 35

Welches Integral berechnet das Volumen des Körpers, der durch die Rotation des Graphen von f(x) = x³ von x = 0 bis x = 1 um die y-Achse entsteht?

Accepted Answer

π * ∫(x⁶) dx

Answer

(1/π) * ∫(x³) dx

Answer

π * ∫(x³) dx

Answer

(1/π) * ∫(x⁶) dx

Question 36

Bestimme die Stammfunktion von f(x) = x³.

Accepted Answer

1/4 * x^4 + C

Answer

3 * x^2 + C

Answer

x^2 + C

Answer

x^4 + C

Question 37

Berechne die Fläche unter der Kurve y = 2x + 1 zwischen x = 0 und x = 2.

Accepted Answer

6

Answer

9

Answer

12

Answer

3

Question 38

Welche Integrationsregel wird verwendet, um die Stammfunktion von (x - 1)² zu bestimmen?

Accepted Answer

Binomische Formel

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Answer

Quotientenregel

Question 39

Bestimme das Volumen des Körpers, der durch Drehung der Fläche unter der Kurve y = x² zwischen x = 0 und x = 1 um die x-Achse entsteht.

Accepted Answer

π/2

Answer

π/4

Answer

π

Answer

2π

Question 40

Welche Substitution ist bei der Integration von ∫(x³ + 2x²) dx sinnvoll?

Accepted Answer

u = x² + 1

Answer

u = x³

Answer

u = x

Answer

u = x + 2

Question 41

Berechne das Integral ∫(2x - 3) / (x²) dx.

Accepted Answer

ln|x| - 3/x + C

Answer

x² - 3x + C

Answer

ln|x²| - 3/x + C

Answer

2x - 3 + C

Question 42

Welche Aussage über das Integral ∫(e^x + sin(x)) dx trifft zu?

Accepted Answer

Es ist unbestimmt.

Answer

Es ist gleich sin(x) - e^x + C.

Answer

Es ist gleich e^x + cos(x) + C.

Answer

Es ist gleich e^x - cos(x) + C.

Question 43

Welche Eigenschaft der Integrale ermöglicht es, die Reihenfolge der Integration zu vertauschen?

Accepted Answer

Linearität

Answer

Differenzierbarkeit

Answer

Additivität

Answer

Kontinuität

Question 44

Berechne das Integral ∫(x * sqrt(x + 1)) dx.

Accepted Answer

2/15 * (x + 1)^(5/2) + C

Answer

x * sqrt(x + 1) + C

Answer

1/3 * (x + 1)^(3/2) + C

Answer

(x + 1)^(2) + C

Question 45

Welche der folgenden Funktionen hat eine positive Stammfunktion?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 5

Answer

f(x) = sin(x) - 2

Answer

f(x) = -x² + 3

Answer

f(x) = 1 / x

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x² + x + C

Answer

F(x) = 2x + C

Answer

F(x) = x² + 1 + C

Answer

F(x) = 2x² + x + C

Question 47

Die Fläche, die von der Kurve f(x) = x², der x-Achse und den Geraden x = 1 und x = 3 begrenzt wird, ist:

Accepted Answer

8/3

Answer

26/3

Answer

12

Answer

4/3

Question 48

Welches der folgenden Integrale berechnet das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Fläche unter der Kurve f(x) = sin(x) zwischen x = 0 und x = π um die x-Achse rotiert?

Accepted Answer

∫₀^π π(sin(x))² dx

Answer

∫₀^π 2π(sin(x))² dx

Answer

∫₀^π π(sin(x)) dx

Answer

∫₀^π sin(x) dx

Question 49

Was ist die Stammfunktion von f(x) = e^2x?

Accepted Answer

F(x) = 1/2 e^2x + C

Answer

F(x) = 2e^2x + C

Answer

F(x) = e^2x + C

Answer

F(x) = e^x + C

Question 50

Welche der folgenden Aussagen ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Stammfunktion einer konstanten Funktion ist eine lineare Funktion.

Answer

Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung.

Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ist die ursprüngliche Funktion.

Question 51

Das Integral ∫₁³ (x² + 2x) dx ergibt:

Accepted Answer

28/3

Answer

16/3

Answer

14/3

Answer

10

Question 52

Welche der folgenden Funktionen hat die Stammfunktion F(x) = 1/3 x³ - x² + 2x + C?

Accepted Answer

f(x) = x² - 2x + 2

Answer

f(x) = x³ - 2x² + 2x

Answer

f(x) = x³ - 2x² + 2

Answer

f(x) = x³ - x² + 2x

Question 53

Die Fläche, die von der Kurve f(x) = √x, der x-Achse und der Geraden x = 4 begrenzt wird, ist:

Accepted Answer

16/3

Answer

8/3

Answer

4

Question 54

Welche der folgenden Substitutionen ist geeignet, um das Integral ∫ (x² + 1)³ · 2x dx zu lösen?

Accepted Answer

u = x² + 1

Answer

u = 2x

Answer

u = x²

Answer

u = x

Question 55

Die Stammfunktion von f(x) = 1/(x + 2) ist:

Accepted Answer

F(x) = ln|x + 2| + C

Answer

F(x) = ln(x + 2) + C

Answer

F(x) = (x + 2) + C

Answer

F(x) = 1/(x + 2)² + C