Differenzierbarkeit: Online-Quizze und Übungen für Wirtschaftsinformatik-Studierende

Question 1

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

e^(2x)

Answer

e^x

Answer

-e^(2x)

Question 2

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 1 einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x^3 - 2x^2 + 1

Answer

f(x) = x^4

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = x

Question 3

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = 1 / √x

Answer

f(x) = x^2 + sin(x)

Answer

f(x) = √(x^2 + 1)

Answer

f(x) = ln(x^2)

Question 4

Welche Aussage über höhere Ableitungen ist korrekt?

Accepted Answer

Die n-te Ableitung einer Funktion ist die Ableitung der (n-1)-ten Ableitung.

Answer

Die n-te Ableitung einer Funktion ist die n-fache Ableitung der Funktion selbst.

Answer

Die n-te Ableitung einer Funktion ist immer kleiner als die (n-1)-te Ableitung.

Answer

Die n-te Ableitung einer Funktion kann existieren, auch wenn alle vorherigen Ableitungen nicht existieren.

Question 5

Welche der folgenden Funktionen hat für alle x eine negative zweite Ableitung?

Accepted Answer

f(x) = -x^2 + 2x - 1

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = x^2 - 2x + 1

Answer

f(x) = x^4 + x^2

Question 6

Welche der folgenden Funktionen stellt die Ableitung von f(x) = ln(x^2) dar?

Accepted Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = ln(2x)

Answer

f'(x) = 2

Answer

f'(x) = x^2

Question 7

Was ist die korrekte Definition der Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Der Grenzwert des Differenzquotienten, wenn der Abstand zwischen den beiden Stellen gegen null geht.

Answer

Der Wert der Funktion an einer bestimmten Stelle.

Answer

Der Definitionsbereich der Funktion.

Question 8

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Question 9

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1.

Accepted Answer

3x² + 4x - 5

Answer

x² + 4x - 5

Answer

3x² + 2x - 5

Answer

x² + 2x - 5

Question 10

Die Funktion f(x) = sin(x) ist für alle x differenzierbar.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 11

Welche Aussage des Mittelwertsatzes trifft zu?

Accepted Answer

Für alle x im Intervall [a, b] existiert ein c im Intervall [a, b], sodass f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

Answer

Der Graph einer Funktion f(x) ist zwischen a und b eine Gerade.

Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (a, f(a)) ist gleich der Steigung der Sekante durch (a, f(a)) und (b, f(b)).

Answer

Für alle x im Intervall [a, b] gilt f'(x) = (f(b) - f(a))/(b - a).

Question 12

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 13

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x).

Accepted Answer

1/x

Answer

x

Answer

1

Answer

ln(x)

Question 14

Welche Ableitungsregel wird benötigt, um die Ableitung der Funktion f(x) = x * e^x zu berechnen?

Accepted Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Answer

Potenzregel

Question 15

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 1)^(-1).

Accepted Answer

-2x/(x² + 1)²

Answer

-1/(x² + 1)

Answer

2x/(x² + 1)²

Answer

(x² + 1)/x

Question 16

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + x + 1.

Accepted Answer

3x² - 4x + 1

Answer

x³ - 4x + 1

Answer

3x² - 2

Answer

x³ - 2x

Question 17

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 18

Wie lautet die geometrische Interpretation der Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Steigung der Tangente im Graph der Funktion

Answer

Flächeninhalt unter dem Graph der Funktion

Answer

Höhe des Graphen an der Stelle x

Answer

Tiefpunkt der Funktion

Question 19

Welche der folgenden Aussagen zur Differenzierbarkeit der Funktion f(x) = g(h(x)) ist korrekt?

Accepted Answer

g(x) und h(x) müssen differenzierbar sein.

Answer

Nur g(x) muss differenzierbar sein.

Answer

Nur h(x) muss differenzierbar sein.

Answer

Keine der Funktionen muss differenzierbar sein.

Question 20

Welche der folgenden Anwendungen der Differenzierbarkeit ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Berechnung von Integralen

Answer

Optimierung von Funktionen

Answer

Analyse von Kurven

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Question 21

Warum impliziert die Differenzierbarkeit einer Funktion auf einem Intervall, dass sie entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist?

Accepted Answer

Weil die Ableitung einer differenzierbaren Funktion auf dem Intervall entweder positiv oder negativ ist.

Answer

Weil der Graph einer differenzierbaren Funktion stetig ist.

Answer

Weil der Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen gilt.

Question 22

Welche Aussage impliziert eindeutig, dass die Funktion f(x) konkav nach oben gekrümmt ist?

Accepted Answer

f''(x) ist größer als 0

Answer

f'(x) ist größer als 0

Answer

f'''(x) ist kleiner als 0

Answer

f'(x) ist kleiner als 0

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Question 24

Wie bestimmt man anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung, ob eine Funktion konvex oder konkav ist?

Accepted Answer

Positive zweite Ableitung: konvex

Accepted Answer

Negative zweite Ableitung: konkav

Answer

Positive zweite Ableitung: konkav

Answer

Negative zweite Ableitung: konvex

Question 25

Welche der folgenden Aussagen zur Differenzierbarkeit einer Funktion f(x) ist zutreffend?

Accepted Answer

f(x) ist an einer Stelle x₀ differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert: lim_(h->0) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h

Answer

f(x) ist an einer Stelle x₀ differenzierbar, wenn der Graph der Funktion an dieser Stelle eine Tangente hat.

Answer

f(x) ist an einer Stelle x₀ differenzierbar, wenn die Funktion an dieser Stelle stetig ist.

Question 26

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x - 5

Answer

f'(x) = 3x³ + 4x² - 5

Answer

f'(x) = x² + 4x - 5

Answer

f'(x) = 3x² + 2x - 5

Question 27

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = |x| nicht differenzierbar?

Accepted Answer

x = 0

Answer

Die Funktion ist überall differenzierbar.

Answer

x = -1

Answer

x = 1

Question 28

Welcher der folgenden Sätze ist eine korrekte Konsequenz des Mittelwertsatzes?

Accepted Answer

Wenn f(x) auf dem Intervall [a, b] stetig ist und eine Ableitung besitzt, dann existiert eine Zahl c in (a, b), sodass f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Answer

Die Ableitung einer Funktion ist auf dem gesamten Intervall konstant.

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x| + |x - 1|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x² + sin(x)

Answer

f(x) = ln(x)

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** differenzierbar an der Stelle x=0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^3

Question 31

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^2 + 3x - 5.

Accepted Answer

f'(x) = 2x + 3

Answer

f'(x) = 3x - 5

Answer

f'(x) = x^2 + 3

Question 32

Sei f(x) eine differenzierbare Funktion mit f'(x) > 0 für alle x. Was kann über die Funktion f(x) gesagt werden?

Accepted Answer

f(x) ist streng monoton wachsend.

Answer

f(x) hat ein absolutes Maximum.

Answer

f(x) ist streng monoton abnehmend.

Answer

f(x) hat kein lokales Extremum.

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über den Mittelwertsatz ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Mittelwertsatz liefert eine Schätzung für den Wert der Ableitung einer Funktion an einer Stelle innerhalb eines Intervalls.

Answer

Der Mittelwertsatz gilt nur für konstante Funktionen.

Answer

Der Mittelwertsatz kann verwendet werden, um die Konvexität einer Funktion zu überprüfen.

Question 34

Welche der folgenden Aussagen entspricht der Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion **f** an einem Punkt **a**?

Accepted Answer

Die Funktion hat an dem Punkt **a** eine Ableitung **f'(a)**.

Answer

Die Funktion hat an dem Punkt **a** einen Extremwert.

Answer

Die Funktion ist an dem Punkt **a** monoton.

Answer

Die Funktion ist an dem Punkt **a** stetig.

Question 35

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^x + ln(x):

Accepted Answer

f'(x) = e^x + 1 / x

Answer

f'(x) = e^x - 1 / x

Answer

f'(x) = 2e^x

Question 36

Was ist die geometrische Interpretation der Ableitung einer Funktion **f** an einem Punkt **a**?

Accepted Answer

Steigung der Tangente an den Graphen von **f** im Punkt (a, f(a))

Answer

Höchstwert der Funktion **f** im Punkt **a**

Answer

Integralkonstante der Funktion **f** im Punkt **a**

Answer

Flächeninhalt unter dem Graphen von **f** zwischen **a** und **a + h**

Question 37

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** differenzierbar an **x = 0**?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer differenzierbaren Funktion **f** ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Ableitung **f'(x)** ist selbst wieder differenzierbar.

Answer

Die Ableitung **f'(x)** ist immer eine lineare Funktion.

Answer

Die Ableitung **f'(x)** ist immer gleich der Funktion **f(x)** selbst.

Answer

Die Ableitung **f'(x)** ist immer positiv.

Question 39

Kann eine differenzierbare Funktion an einem Punkt einen Wendepunkt haben?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur, wenn die Funktion eine gerade Anzahl von Ableitungen an diesem Punkt besitzt.

Answer

Nein

Answer

Nur, wenn die Funktion eine ungerade Anzahl von Ableitungen an diesem Punkt besitzt.

Question 40

Welche der folgenden Anwendungen der Differenzierbarkeit ist **relevant für die Wirtschaftsinformatik**?

Accepted Answer

Optimierung von Unternehmensfunktionen

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Answer

Analyse von Schwingungsproblemen

Answer

Berechnung von Stromfluss in elektrischen Schaltungen

Question 41

Welche der folgenden Bedingungen ist **notwendig, aber nicht hinreichend** für die Differenzierbarkeit einer Funktion **f** an einem Punkt **a**?

Accepted Answer

Stetigkeit der Funktion **f** an dem Punkt **a**

Answer

Existenz der Ableitung **f'(a)** der Funktion **f** an dem Punkt **a**

Answer

Symmetrie der Funktion **f** um den Punkt **a**

Answer

Konkavität der Funktion **f** an dem Punkt **a**

Question 42

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x):

Accepted Answer

f'(x) = 2e^(2x)

Answer

f'(x) = x * e^(2x)

Answer

f'(x) = e^(2x)

Answer

f'(x) = 1 / e^(2x)

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über den Mittelwertsatz ist richtig?

Accepted Answer

Der Mittelwertsatz besagt, dass es zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Graphen einer differenzierbaren Funktion einen Punkt gibt, an dem die Steigung der Tangente gleich der durchschnittlichen Änderungsrate ist.

Answer

Der Mittelwertsatz gilt nur für lineare Funktionen.

Answer

Der Mittelwertsatz besagt, dass die Ableitung einer differenzierbaren Funktion konstant ist.

Question 44

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 1 eine nicht differenzierbare Spitze?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 45

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = √(x² + 4):

Accepted Answer

f'(x) = x / √(x² + 4)

Answer

f'(x) = 2x / (x² + 4)

Answer

f'(x) = 1 / (2√(x² + 4))

Answer

f'(x) = √(x² + 4)

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall [-1, 1] nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung der Funktion f(x) = 1/x² ist richtig?

Accepted Answer

f'(x) = -2/x³

Answer

f'(x) ist nicht definiert.

Answer

f'(x) = x²

Answer

f'(x) = 1/x

Question 48

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

g(x) = x² + 1

Answer

h(x) = sin(x)

Answer

k(x) = e^x

Question 49

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = x³ - 4x + 5

Question 50

Welche der folgenden Aussagen ist **falsch**?

Accepted Answer

Für jede differenzierbare Funktion f(x) existiert ein Punkt x0, an dem f'(x0) = 0.

Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist gleich Null.

Answer

Die Differenzierbarkeit impliziert die Stetigkeit.

Question 51

Welches der folgenden Aussagen ist der Mittelwertsatz?

Accepted Answer

Für alle a, b ∈ R mit a < b existiert ein c ∈ (a, b) mit f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Answer

Für alle f(x) ∈ C²(R) ist f''(x) = f'(x²).

Answer

Für alle f(x) ∈ C¹(R) existiert ein x0 ∈ R, sodass f'(x0) = 0.

Question 52

Berechnen Sie den Wert von c ∈ (0, 1), für den die folgende Gleichung gilt:

Accepted Answer

c = 1/2

Answer

c = 1

Answer

c = 2

Answer

c = 0

Question 53

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x² + 1).

Accepted Answer

f'(x) = 2x / (x² + 1)

Answer

f'(x) = 1 / (x² + 1)

Answer

f'(x) = 2x² / (x² + 1)

Answer

f'(x) = x / (x² + 1)

Question 54

Welche der folgenden Aussagen ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Differenzierbarkeit impliziert die Monotonie.

Answer

Die Konvexität impliziert die Differenzierbarkeit.

Answer

Die Monotonie impliziert die Differenzierbarkeit.

Answer

Die Differenzierbarkeit impliziert die Konkavität.

Question 55

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 0 eine **nicht-differenzierbare** Singularität?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

g(x) = x²

Answer

h(x) = e^x

Answer

k(x) = sin(x)

Question 56

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall (-∞, ∞) **nicht** differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x² - 1|

Answer

k(x) = e^x - x

Answer

g(x) = x³ - 2x

Answer

h(x) = sin(x) + cos(x)

Question 57

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 **nicht** differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 58

Was ist die Ableitung der Funktion  f(x) = 3x² + 2x - 1?

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 3x + 2

Answer

f'(x) = 6x² + 2

Question 59

Welche Steigung hat die Tangente an die Funktion f(x) = x³ im Punkt x = 2?

Accepted Answer

12

Answer

6

Answer

24

Answer

8

Question 60

Der Mittelwertsatz besagt, dass für jede stetige und differenzierbare Funktion f(x) auf einem Intervall [a, b]...

Accepted Answer

...mindestens ein Punkt c in (a, b) existiert, für den gilt: f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Answer

...die Funktion f(x) im Punkt c einen Wendepunkt hat.

Answer

...die Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) gleich der Steigung der Tangente im Punkt c ist.

Question 61

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = x

Question 62

Welche Ableitung hat die Funktion f(x) = e^(2x)?

Accepted Answer

f'(x) = 2e^(2x)

Answer

f'(x) = 2x * e^(2x)

Answer

f'(x) = e^(2x)

Answer

f'(x) = e^(x²)

Question 63

Welche Funktion ist die Ableitung von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = cos(2x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = sin(2x)

Question 64

Eine Funktion f(x) hat an der Stelle x = a ein lokales Maximum, wenn...

Accepted Answer

...f'(a) = 0 und f''(a) < 0.

Answer

...f'(a) < 0 und f''(a) < 0.

Answer

...f'(a) > 0 und f''(a) > 0.

Answer

...f'(a) = 0 und f''(a) > 0.