Eigenwerte und Eigenvektoren: Online-Quiz für Bauingenieure

Question 1

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt einen Eigenwert?

Accepted Answer

Ein Skalar, für den es einen Eigenvektor gibt, der von diesem Wert skaliert wird.

Answer

Ein Vektor, der senkrecht zu einem Eigenwert steht.

Answer

Eine Matrix, die in Bezug auf einen Eigenvektor invertierbar ist.

Answer

Eine Zahl, die die Determinante einer Matrix transformiert.

Question 2

Welche geometrische Interpretation lässt sich für Eigenvektoren angeben?

Accepted Answer

Richtungen, in denen eine lineare Transformation eine skalare Streckung bewirkt.

Answer

Punkte, die bei einer linearen Transformation auf sich selbst abgebildet werden.

Answer

Geraden, die bei einer linearen Transformation parallel verschoben werden.

Answer

Ebenen, die bei einer linearen Transformation gedreht werden.

Question 3

Wie lautet die charakteristische Gleichung einer Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(A - Iλ) = 0

Answer

λdet(A - I) = 0

Answer

λdet(A - Iλ) = 0

Question 4

Welche Aussage beschreibt die geometrische Bedeutung der Eigenvektoren einer Rotationsmatrix?

Accepted Answer

Sie geben die Richtungen an, in denen die Rotation erfolgt.

Answer

Sie geben die Winkel an, um die rotiert wird.

Answer

Sie geben die Punkte an, die bei der Rotation auf sich selbst abgebildet werden.

Answer

Sie geben die Ebenen an, die bei der Rotation invariant bleiben.

Question 5

Welche der folgenden Aussagen trifft NICHT auf Eigenwerte zu?

Accepted Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind Lösungen der charakteristischen Gleichung einer quadratischen Matrix.

Answer

Sie beschreiben die Streckung oder Stauchung einer linearen Abbildung.

Answer

Sie sind stets eindeutig bestimmt.

Question 6

Welche geometrische Bedeutung hat ein Eigenvektor?

Accepted Answer

Richtung der Streckung oder Stauchung.

Answer

Länge der Streckung oder Stauchung.

Answer

Koordinaten des Ursprungs.

Answer

Determinante der Matrix.

Question 7

Was beschreibt die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Summe der Elemente auf der Hauptdiagonale.

Answer

Summe der Elemente auf der Nebendiagonale.

Answer

Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale.

Answer

Determinante der Matrix.

Question 8

Welche der folgenden Transformationen ist eine Affinität?

Accepted Answer

Streckung

Answer

Drehung

Answer

Spiegelung

Answer

Verschiebung

Question 9

Welche der folgenden Aussagen trifft auf Eigenwerte zu?

Accepted Answer

Sie sind skalare Größen, die einem Vektor zugeordnet werden.

Answer

Sie sind Vektoren, die parallel zu ihrem zugehörigen Eigenwert verlaufen.

Answer

Sie sind die Determinante einer Matrix.

Answer

Sie sind nur vorhanden, wenn die Matrix komplex ist.

Question 10

Ist die Matrix A = [[2, 1], [1, 2]] diagonalisierbar?

Accepted Answer

Ja, mit einer orthogonalen Basis.

Answer

Ja, mit einer nicht-orthogonalen Basis.

Answer

Nein, sie ist nicht diagonalisierbar.

Answer

Nein, sie ist nur diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen zur Diagonalisierung von Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Die Dimension der Diagonalmatrix kann kleiner sein als die Anzahl der Eigenwerte der ursprünglichen Matrix.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie reelle Eigenwerte hat.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie eine orthogonale Basis von Eigenvektoren besitzt.

Answer

Die Eigenwerte einer diagonalisierbaren Matrix stehen auf der Diagonalmatrix.

Question 12

Welche der folgenden Aussagen trifft auf diagonalisierbare Matrizen zu?

Accepted Answer

Alle der genannten Aussagen

Answer

Sie besitzen eine vollständige Basis aus Eigenvektoren.

Answer

Ihre Determinante ist gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte.

Answer

Ihre Spur ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte.

Question 13

Welche der folgenden Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren ist in der Bauingenieurkunst relevant?

Accepted Answer

Alle der genannten Anwendungen

Answer

Berechnung der natürlichen Schwingungsfrequenzen von Tragwerken

Answer

Bestimmung der optimalen Fundamente für Hochhäuser

Answer

Analyse der Stabilität von Brücken

Question 14

Welche der folgenden Software kann für die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren verwendet werden?

Accepted Answer

Alle der genannten Software

Answer

MATLAB

Answer

Python mit NumPy

Answer

Excel

Question 15

Welches geometrische Objekt beschreibt die Richtung, in die ein Eigenvektor zeigt?

Accepted Answer

Eine Gerade

Answer

Eine Ebene

Answer

Ein Würfel

Answer

Eine Kugel

Question 16

Wann ist eine Matrix singulär?

Accepted Answer

Wenn die Determinante null ist

Answer

Wenn die Matrix symmetrisch ist

Answer

Wenn die Matrix invertierbar ist

Answer

Wenn die Matrix quadratisch ist

Question 17

Was ist die geometrische Interpretation des Eigenvektors zu einem Eigenwert kleiner als 1?

Accepted Answer

Skalierung zum Ursprung hin

Answer

Drehung

Answer

Shear

Answer

Skalierung vom Ursprung weg

Question 18

Was versteht man unter der Jordan-Normalform einer Matrix?

Accepted Answer

Darstellung einer Matrix als Summe von Blöcken, die jeweils Eigenwerten entsprechen

Answer

Darstellung einer Matrix als Summe von Eigenvektoren

Answer

Darstellung einer Matrix als Produkt von Eigenwerten und Eigenvektoren

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal

Answer

Eigenvektoren sind charakteristisch für eine Matrix

Answer

Eigenvektoren können normiert werden

Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig

Question 20

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix A = [[1, 2], [-2, 1]] zum Eigenwert λ = 1? Eigenvektoren sind Vektoren v ≠ 0, für die Av = λv gilt.

Accepted Answer

v = [1, 1]

Answer

v = [-2, 1]

Answer

v = [2, -1]

Answer

v = [-1, 2]

Question 21

Welche der folgenden Matrizen ist orthogonal? Eine Matrix A heißt orthogonal, wenn A⁻¹ = Aᵀ gilt, wobei A⁻¹ die Inverse von A ist.

Accepted Answer

A = [[1/√2, 1/√2], [-1/√2, 1/√2]]

Answer

A = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

A = [[1, 2], [2, 1]]

Answer

A = [[2, 1], [-1, 2]]

Question 22

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalform einer Matrix ist richtig? Die Diagonalform einer Matrix A ist eine Matrix D, sodass A = PDP⁻¹ gilt, wobei P eine invertierbare Matrix und D eine Diagonalmatrix ist.

Accepted Answer

Die Diagonalform enthält die Eigenwerte auf der Diagonalen

Answer

Die Diagonalform ist stets symmetrisch

Answer

Die Diagonalform ist stets orthogonal

Question 23

Was ist die Definition eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Ein nicht-trivialer Vektor, der bei einer linearen Transformation ein Vielfaches seiner selbst bleibt.

Answer

Ein Vektor parallel zur x-Achse.

Question 24

Gegeben ist die Matrix A mit den Eigenwerten λ₁ = 2 und λ₂ = 3. Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor zu λ₁?

Accepted Answer

(2, 1)

Answer

(1, 3)

Answer

(1, 2)

Answer

(3, 1)

Question 25

Welche geometrische Interpretation eines Eigenvektors trifft zu?

Accepted Answer

Er zeigt die Richtung maximalen Wachstums oder Schrumpfens bei einer linearen Transformation an.

Answer

Er steht senkrecht zum Eigenwert.

Answer

Er ist parallel zur y-Achse.

Question 26

Gegeben ist die Matrix A mit dem Eigenwert λ = 3. Welcher der folgenden Vektoren ist mit Sicherheit kein Eigenvektor zu λ?

Accepted Answer

(1, 0)

Answer

(2, 1)

Answer

(3, 1)

Answer

(1, 3)

Question 27

Welche Aussage über die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind immer komplex.

Answer

Sie sind immer negativ.

Question 28

Welche der folgenden Matrizen ist nicht symmetrisch?

Accepted Answer

A = | 1 2 | | 3 4 |

Answer

D = | 1 0 0 | | 0 1 0 | | 0 0 1 |

Answer

C = | 3 0 | | 0 3 |

Answer

B = | 2 1 | | 1 2 |

Question 29

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung der Matrix.

Answer

Eigenwerte können nur für symmetrische Matrizen berechnet werden.

Answer

Eigenwerte sind immer positive reelle Zahlen.

Question 30

Was ist ein Eigenvektor einer Matrix?

Accepted Answer

Ein von Null verschiedener Vektor, der bei Multiplikation mit der Matrix ein Vielfaches seiner selbst ergibt.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zu allen anderen Eigenvektoren ist.

Answer

Ein Vektor, dessen Komponenten die Eigenwerte der Matrix sind.

Question 31

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

Eine Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten, wobei n die Dimension der Matrix ist.

Answer

Eine Matrix mit nur einem Eigenwert.

Answer

Eine Matrix mit einem mehrfachen Eigenwert.

Answer

Eine Matrix mit einer Nullzeile.

Question 32

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Eine Gerade durch den Ursprung in Richtung des Eigenvektors.

Answer

Ein Kreis um den Ursprung.

Answer

Ein Punkt auf der x-Achse.

Question 33

Wie berechnet man die Eigenwerte einer Matrix?

Accepted Answer

Durch Lösen der charakteristischen Gleichung det(A - λI) = 0.

Answer

Durch die Determinante der Matrix.

Answer

Durch die Adjunkte der Matrix

Answer

Durch die Spur der Matrix

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind immer linear abhängig.

Answer

Eigenvektoren sind immer normiert.

Answer

Eigenvektoren können nicht für jede Matrix bestimmt werden.

Question 35

Was ist der Eigenraum einer Matrix?

Accepted Answer

Der von den Eigenvektoren der Matrix aufgespannte Vektorraum.

Answer

Der Nullraum der Matrix.

Answer

Der Spaltenraum der Matrix.

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über Diagonalisierbarkeit ist wahr?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar genau dann, wenn sie normal ist.

Answer

Eine Matrix ist immer diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie keine Eigenwerte hat.

Question 37

Was ist eine symmetrische Matrix?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix, die gleich ihrer Transponierten ist.

Answer

Eine Matrix mit nur reellen Einträgen.

Answer

Eine Matrix mit nur positiven diagonalen Elementen.

Answer

Eine Matrix mit nur nicht-negativen diagonalen Elementen.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte einer symmetrischen Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind immer reell.

Answer

Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix können nur negativ sein.

Answer

Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix können nur positiv sein.

Answer

Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix können komplex sein.

Question 39

Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]

Accepted Answer

λ₁ = 3, λ₂ = 1

Answer

λ₁ = 2, λ₂ = 0

Answer

λ₁ = 0, λ₂ = 2

Answer

λ₁ = 1, λ₂ = 3

Question 40

Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Matrix A = [[3, -2], [2, 1]]

Accepted Answer

v₁ = [1, 2], v₂ = [2, 1]

Answer

v₁ = [1, -2], v₂ = [2, 1]

Answer

v₁ = [2, -1], v₂ = [1, 2]

Answer

v₁ = [2, 1], v₂ = [1, 2]

Question 41

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Question 42

Zu welchem Eigenwert gehört der Eigenvektor [1, -1] in Bezug auf die Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]?

Accepted Answer

λ = 1

Answer

λ = 3

Answer

λ = 2

Answer

λ = 0

Question 43

Berechnen Sie die Spur der Matrix A = [[3, 2], [-1, 4]]

Accepted Answer

7

Answer

11

Answer

5

Answer

9

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist falsch?

Accepted Answer

Eigenwerte sind immer reell.

Answer

Eigenwerte sind charakteristisch für eine Matrix.

Answer

Eigenwerte können mehrfach auftreten.

Answer

Eigenwerte stehen in Beziehung zu Eigenvektoren.

Question 45

Bestimmen Sie den Rang der Matrix A = [[2, 1, 0], [4, 2, 0], [6, 3, 0]]

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

3

Answer

2

Question 46

Welche der folgenden Matrizen ist symmetrisch?

Accepted Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[2, 3], [1, 5]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 47

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [[3, 1], [-2, 2]]

Accepted Answer

8

Answer

6

Answer

10

Answer

4

Question 48

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

[[2, 1], [-1, 2]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 49

Was ist ein Eigenvektor einer Matrix A?

Accepted Answer

Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor x, der nach Multiplikation mit A ein Vielfaches von sich selbst ergibt.

Answer

Ein beliebiger Vektor, der nach Multiplikation mit A den Nullvektor ergibt.

Question 50

Wie berechnet man die Eigenwerte einer Matrix A?

Accepted Answer

Man löst die Gleichung det(A - λI) = 0, wobei I die Einheitsmatrix ist.

Answer

Man berechnet die Inverse von A.

Answer

Man berechnet die Determinante von A.

Question 51

Eine 2x2 Matrix A hat die Eigenwerte λ1 = 2 und λ2 = -1. Was lässt sich über die Diagonalisierbarkeit von A aussagen?

Accepted Answer

A ist diagonalisierbar, da sie zwei verschiedene Eigenwerte besitzt.

Answer

A ist nicht diagonalisierbar, da die Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen haben.

Answer

A ist diagonalisierbar, da die Summe der Eigenwerte ungleich Null ist.

Question 52

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors im zweidimensionalen Raum?

Accepted Answer

Ein Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung mit der zugehörigen Matrix nicht verändert wird.

Answer

Ein Vektor, der senkrecht zu allen anderen Eigenvektoren steht.

Answer

Ein Vektor, der auf der Diagonalen der Matrix liegt.

Question 53

Eine Matrix A hat den Eigenwert λ = 3 mit der algebraischen Vielfachheit 2. Was bedeutet das für die geometrische Vielfachheit von λ?

Accepted Answer

Die geometrische Vielfachheit von λ ist kleiner oder gleich 2.

Answer

Die geometrische Vielfachheit von λ ist größer oder gleich 2.

Answer

Die geometrische Vielfachheit von λ ist gleich 2.

Question 54

Welche Aussage über die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.

Answer

Alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind positiv.

Answer

Alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind paarweise verschieden.

Question 55

Eine Matrix A hat den Eigenvektor v = [1, 2]. Welcher Vektor ist ebenfalls ein Eigenvektor von A zum gleichen Eigenwert?

Accepted Answer

[2, 4]

Answer

[1, -2]

Answer

[2, 1]

Answer

[-1, -2]

Question 56

Die Eigenwerte einer 3x3 Matrix A sind λ1 = 1, λ2 = 2 und λ3 = 3. Was ist die Determinante von A?

Accepted Answer

6

Answer

3

Answer

2

Answer

1

Question 57

In welchen Anwendungen der Bauingenieurwissenschaften spielen Eigenwerte und Eigenvektoren eine wichtige Rolle?

Accepted Answer

Alle genannten Anwendungen

Answer

Schwingungsanalyse von Gebäuden

Answer

Stabilitätsanalyse von Tragwerken

Answer

Berechnung von Hauptrichtungen bei der Analyse von Spannungen und Dehnungen

Question 58

Was versteht man unter der Diagonalisierung einer Matrix?

Accepted Answer

Die Darstellung der Matrix als Produkt aus einer invertierbaren Matrix, einer Diagonalmatrix und der Inversen der ersten Matrix.

Answer

Die Berechnung der Determinante der Matrix.