Vektorräume: Grundlagen und lineare Abbildungen für die Qualifikationsphase 1

Question 1

Ist die Menge der Vektoren (a, b, c) mit a + b + c = 0 ein Untervektorraum von R³?

Accepted Answer

Ja, denn sie erfüllt die Axiome eines Untervektorraums.

Answer

Nein, denn sie erfüllt nicht das Axiom der Additivität.

Question 2

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung, die Vektoren auf Vektoren abbildet und dabei die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar erhält.

Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung, die Vektoren auf Skalare abbildet.

Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung, die Skalare auf Vektoren abbildet.

Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung, die Matrizen auf Vektoren abbildet.

Question 3

Wie lautet die Matrixdarstellung der linearen Abbildung f: R² -> R², die durch die Abbildungsmatrix A = [[2, 1], [3, 4]] gegeben ist?

Accepted Answer

[[2, 1], [3, 4]]

Answer

[[2, 3], [1, 4]]

Answer

[[4, 3], [1, 2]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 4

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihre Länge gleich ist.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie in dieselbe Richtung zeigen.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie entgegengesetzte Richtung haben.

Question 5

Welche der folgenden Aussagen zur Definition eines Vektorraums ist falsch?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss mindestens einen Vektor enthalten.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen: Addition und Skalarmultiplikation.

Answer

In einem Vektorraum muss die Addition zweier Vektoren wieder ein Vektor desselben Vektorraums sein.

Answer

Im Vektorraum müssen für alle Skalare und Vektoren die Assoziativgesetze für Addition und Skalarmultiplikation gelten.

Question 6

Welche der folgenden Mengen ist kein Vektorraum über den rationalen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge der komplexen Zahlen

Answer

Die Menge der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2

Answer

Die Menge der Vektoren mit drei Komponenten

Answer

Die Menge der rationalen Zahlen

Question 7

Welcher der folgenden Räume ist ein endlichdimensionaler Vektorraum?

Accepted Answer

Der Raum aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3

Answer

Der Raum aller Funktionen von R nach R

Answer

Der Raum aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]

Answer

Der Raum aller unendlichdimensionalen Matrizen

Question 8

Was versteht man unter einem Vektorraum?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Punkten, die durch Strecken miteinander verbunden sind.

Answer

Eine Menge von Zahlen, die algebraische Operationen zulassen.

Answer

Eine Menge von Funktionen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen.

Question 9

Welche Aussage über lineare Abbildungen ist falsch?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen sind immer umkehrbar.

Answer

Lineare Abbildungen sind Abbildungen zwischen Vektorräumen.

Answer

Lineare Abbildungen erhalten die Addition und Skalarmultiplikation.

Answer

Lineare Abbildungen sind immer stetig.

Question 10

Was versteht man unter der Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Anzahl der Vektoren in einer Basis des Vektorraums.

Answer

Anzahl der Komponenten der Vektoren im Vektorraum.

Answer

Dimension des zugehörigen Koordinatenraums.

Question 11

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x, y) = x + y

Answer

f(x, y) = xy

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 12

Der Kern einer linearen Abbildung ist

Accepted Answer

die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden

Answer

die Menge aller Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden

Answer

die Menge aller Vektoren, die auf einen beliebigen Vektor abgebildet werden

Answer

die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden

Question 13

Die Dimension des Vektorraums der Lösungen des Gleichungssystems x + y = 0, x - y = 0 ist:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 14

Welcher der folgenden Sätze ist eine Basis des Vektorraums R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}

Answer

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}

Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)}

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über lineare Unabhängigkeit ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn kein Vektor eine Linearkombination der anderen Vektoren ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn jeder Vektor eine Linearkombination der anderen Vektoren ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn jeder Vektor eine Linearkombination der anderen Vektoren ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn kein Vektor eine Linearkombination der anderen Vektoren ist.

Question 16

Was ist die korrekte Definition einer Basis eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannt.

Answer

Eine Menge linear abhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannt.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum nicht aufspannt.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die nicht linear unabhängig ist.

Question 17

Welche Gleichung beschreibt einen Untervektorraum des ℝ²?

Accepted Answer

2x + 3y = 0

Answer

x² + y² = 1

Answer

y = mx

Answer

x + 2y = 3

Question 18

Welche der folgenden Matrizen stellt die lineare Abbildung dar, die einen Vektor im ℝ² um den Vektor (1, 2) verschiebt?

Accepted Answer

[[1, 2], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [2, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 2]]

Question 19

Welche Definition beschreibt korrekt einen Vektorraum über einem Körper K?

Accepted Answer

Eine Menge V mit zwei Verknüpfungen (Vektoraddition und Skalierung), die bestimmte Axiome erfüllen

Answer

Eine Menge linear unabhängiger Vektoren aus K^n

Answer

Eine Menge von Matrizen mit der Dimension m x n

Answer

Eine Menge von Punktmengen im n-dimensionalen Raum

Question 20

Welche Abbildung ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = x + y

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 21

Welche Abbildung ist ein Isomorphismus?

Accepted Answer

f: R^2 -> R^2, definiert durch f(x, y) = (2x, y)

Answer

f: R^3 -> R^2, definiert durch f(x, y, z) = (x, y + z)

Answer

f: R^2 -> R, definiert durch f(x, y) = x^2 + y^2

Answer

f: R -> R, definiert durch f(x) = |x|

Question 22

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = x + y

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x, y) = x * y

Question 23

Welche Aussage über Vektorräume ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind Mengen, die unter bestimmten Rechenoperationen abgeschlossen sind.

Answer

Sie können unendlich viele Dimensionen haben.

Answer

Sie haben keine neutraleindeutigen Elemente.

Answer

Sie sind nur über die rationalen Zahlen definiert.

Question 24

Welche Aussage über die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn sie nur aus dem Nullvektor besteht.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn sie mehr Vektoren enthält, als der Vektorraum Dimension hat.

Question 25

Gegeben sei der Vektorraum R³ über dem Körper R. Welche der folgenden Teilmengen ist **kein** Untervektorraum?

Accepted Answer

{ (x, y, z) ∈ R³ | x + y = 1 }

Answer

{ (x, y, z) ∈ R³ | z = 0 }

Answer

{ (x, y, z) ∈ R³ | x = y = z }

Answer

{ (x, y, z) ∈ R³ | x = 0 }

Question 26

Sei f: R² → R³ eine lineare Abbildung mit f(1, 0) = (2, 1, 0) und f(0, 1) = (1, 0, 1). Was ist das Bild von (3, 2) unter f?

Accepted Answer

(8, 3, 2)

Answer

(2, 3, 1)

Answer

(6, 1, 2)

Answer

(3, 2, 1)

Question 27

Welche der folgenden Aussagen ist **wahr** bezüglich des Kerns einer linearen Abbildung f: V → W?

Accepted Answer

Der Kern von f ist ein Untervektorraum von V.

Answer

Der Kern von f ist ein Untervektorraum von W.

Answer

Der Kern von f ist immer leer.

Answer

Der Kern von f ist immer gleich V.

Question 28

Welches der folgenden Vektoren ist **linear abhängig** von den Vektoren (1, 2, 3) und (2, 1, 0)?

Accepted Answer

(5, 5, 6)

Answer

(0, 0, 1)

Answer

(1, 0, 0)

Answer

(0, 1, 0)

Question 29

Sei f: V → W eine lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen ist **wahr**?

Accepted Answer

Das Bild von f ist ein Untervektorraum von W.

Answer

Das Bild von f ist ein Untervektorraum von V.

Answer

Das Bild von f ist immer leer.

Answer

Das Bild von f ist immer gleich W.

Question 30

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und L eine lineare Abbildung von V in V. Was gilt für die Abbildungsmatrix von L?

Accepted Answer

Sie ist eine quadratische Matrix.

Answer

Sie ist eine invertierbare Matrix.

Answer

Sie ist eine symmetrische Matrix.

Answer

Sie ist eine rechteckige Matrix.

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist falsch?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann höchstens eine Lösung haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann unendlich viele Lösungen haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann keine Lösung haben.

Question 32

Welches der folgenden Verfahren kann verwendet werden, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Integration

Answer

Differentiation

Answer

Crout-Algorithmus

Question 33

Welcher der folgenden Ausdrücke definiert einen Vektorraum?

Accepted Answer

(V, +, 0, ·)

Answer

(V, 0, ·)

Answer

(V, +, ·)

Answer

(V, +, 0)

Question 34

Welche der folgenden Aussagen ist eine Eigenschaft eines Untervektorraums?

Accepted Answer

Er ist bezüglich der Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Answer

Er enthält den Nullvektor.

Answer

Er hat die gleiche Dimension wie der umgebende Vektorraum.

Question 35

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = |x|

Question 36

Welches der folgenden Kriterien ist notwendig und hinreichend, damit eine Abbildung eine lineare Abbildung ist?

Accepted Answer

Sie ist additiv und homogen.

Answer

Sie ist injektiv.

Answer

Sie ist surjektiv.

Answer

Sie ist bijektiv.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Er ist einlinear unabhängig von allen anderen Untervektorräumen des Definitionsbereichs.

Answer

Er ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über das Bild einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Es ist ein Untervektorraum des Zielbereichs.

Answer

Seine Dimension ist die Summe der Dimensionen des Definitions- und des Zielbereichs.

Answer

Es ist die Menge aller Vektoren, die vom Nullvektor des Definitionsbereichs abgebildet werden.

Answer

Es ist ein linear unabhängig von allen anderen Untervektorräumen des Zielbereichs.

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis.

Answer

Sie ist gleich der Anzahl aller Vektoren im Vektorraum.

Answer

Sie ist gleich der Anzahl der Untervektorräume des Vektorraums.

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über Basen in Vektorräumen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist genau dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig und ihr Spann die gesamte Menge aufspannt.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist genau dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig ist.

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über die Koordinatendarstellung von Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Die Koordinaten eines Vektors sind eindeutig bestimmt durch seine Basis.

Answer

Die Koordinaten eines Vektors sind gleich seinen Komponenten.

Answer

Die Koordinaten eines Vektors sind unabhängig von der gewählten Basis.

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn seine Koeffizientenmatrix vollen Rang hat.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn seine Koeffizientenmatrix invertierbar ist.

Question 43

Welches der folgenden Tupel ist ein Vektor im Vektorraum ( mathbb{R}^3 )?

Accepted Answer

(2, -1, 5)

Answer

(2, -1, 5, 0)

Answer

(2, -1)

Answer

2

Question 44

Die Summe der Vektoren ( vec{u} = (2, -3) ) und ( vec{v} = (1, 5) ) ist:

Accepted Answer

(3, 2)

Answer

(1, -2)

Answer

(-1, -2)

Answer

(1, 8)

Question 45

Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein Skalar?

Accepted Answer

3

Answer

x + y

Answer

f(x)

Answer

(2, 1)

Question 46

Der Nullvektor im Vektorraum ( mathbb{R}^n ) ist:

Accepted Answer

(0, 0, ..., 0)

Answer

(1, 0, ..., 0)

Answer

0

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über Untervektorräume ist falsch?

Accepted Answer

Ein Untervektorraum muss ein leerer Vektorraum sein.

Answer

Ein Untervektorraum muss die Nullvektor enthalten.

Answer

Ein Untervektorraum muss unter Vektoraddition abgeschlossen sein.

Question 48

Die Dimension eines Vektorraums mit 5 linear unabhängigen Vektoren ist:

Accepted Answer

5

Answer

Unendlich

Answer

10

Answer

3

Question 49

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 50

Der Kern einer linearen Abbildung ist:

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf einen Skalar abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist falsch?

Accepted Answer

Die Summe zweier linearer Abbildungen ist immer eine lineare Abbildung.

Answer

Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist eine lineare Abbildung.

Answer

Die Multiplikation einer linearen Abbildung mit einem Skalar ergibt eine lineare Abbildung.

Question 52

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ( f : mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^3 ) ist:

Accepted Answer

Eine 3x2-Matrix

Answer

Eine 2x3-Matrix

Answer

Eine 3x3-Matrix

Answer

Eine 2x2-Matrix