Lineare Algebra lernen: Online-Quizze und Übungen für die Qualifikationsphase 1

Question 1

Welche geometrische Bedeutung hat die Determinante einer 2x2-Matrix?

Accepted Answer

Sie gibt die Fläche des Parallelogramms an, das von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt wird.

Answer

Sie gibt den Abstand des Punktes (0,0) zur durch die Matrix dargestellten Geraden an.

Answer

Sie gibt die Anzahl der Lösungen des durch die Matrix dargestellten linearen Gleichungssystems an.

Answer

Sie gibt den Rang der Matrix an.

Question 2

Beschreibe den Prozess der Diagonalisierung einer Matrix. Nenne ein Beispiel für eine diagonalisierbare Matrix und erläutere, wie sie diagonalisiert wird.

Accepted Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix beinhaltet die Suche nach einer orthogonalen Basis von Eigenvektoren, die die Matrix in eine Diagonalmatrix transformiert.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix ist nur möglich, wenn alle ihre Eigenwerte verschieden sind.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix dient hauptsächlich dazu, ihre Determinante zu berechnen.

Answer

Eine Matrix kann nicht diagonalisiert werden, wenn sie komplexe Eigenwerte besitzt.

Question 3

Überprüfe die lineare Unabhängigkeit der Vektoren v1 = (1, 2, -1), v2 = (2, 1, 0) und v3 = (0, 3, -1) im dreidimensionalen Raum ℝ³.

Accepted Answer

Linear unabhängig

Answer

Linear abhängig

Answer

Nicht bestimmbar

Question 4

Löse die Matrixgleichung $AX = B$ nach der unbekannten Matrix $X$. Dabei ist $A$ eine invertierbare Matrix und $B$ eine gegebene Matrix.

Accepted Answer

$X = A^{-1}B$

Answer

$X = BA^{-1}$

Answer

$X = B^{-1}A$

Answer

$X = AB^{-1}$

Question 5

Frage: Überprüfe, ob die Menge der Vektoren {(1, 2, 3), (3, 4, 5), (2, 4, 6)} eine Basis des $mathbb{R}^3$ bildet.

Accepted Answer

Ja, denn die Vektoren sind linear unabhängig.

Answer

Nein, denn die Vektoren sind linear abhängig.

Answer

Ja, aber nur, wenn der dritte Vektor durch (0, 2, 4) ersetzt wird.

Answer

Nein, denn die Menge enthält nicht genug Vektoren.

Question 6

Was versteht man unter einer linearen Transformation? Erläutere ihre Anwendung in endlichdimensionalen Vektorräumen anhand eines Beispiels.

Accepted Answer

Eine lineare Transformation ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die Vektoraddition und skalare Multiplikation erhält.

Answer

Eine lineare Transformation ist eine Matrix, die einen Vektor auf einen anderen Vektor abbildet.

Answer

Eine lineare Transformation ist eine Gleichung, die zwei Vektorräume miteinander verbindet.

Answer

Eine lineare Transformation ist ein Vektor, der zwischen zwei Vektorräumen liegt.

Question 7

Frage: Löse die Matrixgleichung $AX = B$ nach der Unbekannten $X$. Dabei ist $A$ eine invertierbare Matrix und $B$ eine gegebene Matrix.

Accepted Answer

$X = A^{-1}B$

Answer

$X = BA^{-1}$

Answer

$X = A - B$

Answer

$X = B/A$

Question 8

Die Matrix $A$ ist invertierbar. Wie lautet die Matrix $X$, die die Gleichung $AX=B$ erfüllt, wobei $B$ eine gegebene Matrix ist?

Accepted Answer

$X = A^{-1} B$

Answer

$X = B A^{-1}$

Answer

$X = BA^{-1}$

Answer

$X = (A^{-1})^{-1} B$

Question 9

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass ein System linearer Gleichungen eine eindeutige Lösung hat?

Accepted Answer

Die Koeffizientenmatrix hat den gleichen Rang wie die erweiterte Koeffizientenmatrix.

Answer

Die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der Gleichungen.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist invertierbar.

Answer

Das System ist homogen.

Question 10

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$

Question 11

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix $egin{pmatrix} 2 & 3 \ -1 & 2 end{pmatrix}$ zum Eigenwert $lambda = 1$?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 \ -1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 3 \ 2 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} -2 \ 3 end{pmatrix}$

Question 12

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt eine lineare Abbildung, die injektiv und surjektiv ist?

Accepted Answer

Bijektion

Answer

Injektion

Answer

Surjektion

Answer

Homöomorphismus

Question 13

Identifizieren Sie den Vektor im dreidimensionalen Raum aus den folgenden Ausdrücken:

Accepted Answer

(3, -1, 5)

Answer

x^2 + y^2 (quadratische Gleichung)

Answer

sin(x) (trigonometrische Funktion)

Answer

3x - 2y + 1 (lineare Gleichung)

Question 14

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems x + 2y = 5 und 3x - y = 1.

Accepted Answer

{(1, 2)}

Answer

{(2, 1)} (falsche Lösung)

Answer

{(3, -1)} (falsche Lösung)

Answer

{(0, 5)} (falsche Lösung)

Question 15

Berechnen Sie die Determinante der Matrix [[2, 3], [5, 7]]!

Accepted Answer

11

Answer

-11 (falsches Vorzeichen)

Answer

22 (doppelt so groß wie das richtige Ergebnis)

Answer

10 (falsche Berechnung)

Question 16

Identifizieren Sie aus den folgenden Ausdrücken die lineare Abbildung:

Accepted Answer

f(x) = 2x + 5

Answer

f(x) = |x| (nichtlinear)

Answer

f(x) = sin(x) (nichtlinear)

Answer

f(x) = x^2 (nichtlinear)

Question 17

Bestimmen Sie die Basis des Vektorraums R^2.

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 0), (2, 0)} (linear abhängig)

Answer

{(2, 3), (-1, 5)} (linear abhängig)

Answer

{(1, 1), (0, 0)} (nichtlinear unabhängig)

Question 18

Welche der folgenden Werte ist eine Lösung des Gleichungssystems x + 2y = 5 und x - y = 1?

Accepted Answer

(2, 1)

Answer

(5, 0)

Answer

(0, 5)

Answer

(1, 2)

Question 19

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x, y) = 2x + 3y

Answer

f(x, y) = max(x, y)

Answer

f(x, y) = |x - y|

Answer

f(x, y) = x^2 + y^2

Question 20

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix [[2, 1], [-1, 2]] mit dem zugehörigen Eigenwert λ = 3?

Accepted Answer

(1, 1)

Answer

(0, 1)

Answer

(2, 1)

Answer

(1, 0)

Question 21

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 22

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = (2x - y, x + 2y)

Answer

f(x, y) = (x, 0)

Answer

f(x, y) = (|x|, |y|)

Answer

f(x, y) = (x^2, y^2)

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist wahr?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten hat genau eine Lösung, wenn die Matrix der Koeffizienten regulär ist.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten hat immer eine eindeutige Lösung.

Question 24

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

Eine Matrix mit einer Nullzeile oder -spalte.

Answer

Eine Diagonalmatrix mit lauter Einsen.

Answer

Eine Einheitsmatrix.

Answer

Eine Matrix mit einem von Null verschiedenen Determinanten.

Question 25

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat keine Lösung?

Accepted Answer

x + y = 1, x + y = 2

Answer

x - y = 1, y - z = 1, z - x = 2

Answer

x + 2y = 3, 2x + 4y = 6

Answer

x + y = 1, x - y = 1

Question 26

Welche der folgenden Funktionen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor kann ein Nullvektor sein.

Answer

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der unter einer linearen Transformation ein Vielfaches seiner selbst bleibt.

Answer

Die Menge der Eigenwerte einer Matrix bildet ihr charakteristisches Polynom.