Integralrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für die Qualifikationsphase 1 im Fachgymnasium

Question 1

Wie kann die Integralrechnung eingesetzt werden, um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen?

Accepted Answer

Durch Integration der Funktion, die die Kurve des Rotationskörpers beschreibt

Answer

Durch Aufteilung der Querschnittsfläche in Rechtecke und Berechnung des Volumens jedes Rechtecks

Answer

Durch Multiplikation von Grundfläche und Höhe

Answer

Die Integralrechnung kann nicht zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers verwendet werden

Question 2

Welchen geometrischen Zusammenhang gibt es zwischen dem bestimmten Integral ∫[a,b] f(x) dx und dem Graphen der Funktion y = f(x) im Intervall [a,b]?

Accepted Answer

Das Integral ∫[a,b] f(x) dx entspricht der Fläche, die von der Kurve y = f(x) über dem Intervall [a, b] eingeschlossen wird.

Answer

Das Integral ∫[a,b] f(x) dx entspricht der Länge der Kurve y = f(x) zwischen den Punkten a und b.

Answer

Das Integral ∫[a,b] f(x) dx entspricht dem Volumen des Körpers, der durch Drehen der Kurve y = f(x) um die x-Achse entsteht.

Answer

Das Integral ∫[a,b] f(x) dx entspricht dem Schwerpunkt der Fläche unter der Kurve y = f(x) zwischen den Grenzen a und b.

Question 3

Welche Bedingung muss eine Funktion f(x) auf dem Intervall [a, b] erfüllen, um Riemann-integrierbar zu sein?

Accepted Answer

f(x) ist auf [a, b] stückweise stetig.

Answer

f(x) ist auf [a, b] stetig.

Answer

f(x) ist auf [a, b] differenzierbar.

Question 4

Wie lässt sich zeigen, dass das bestimmte Integral ∫[a, b] f(x) dx die Fläche des Trapezes angibt, das von den Geraden y = f(x), y = 0, x = a und x = b begrenzt wird?

Accepted Answer

Zerlege das Trapez in unendlich viele schmale Rechtecke und addiere deren Flächeninhalte.

Answer

Berechne den Umfang des Trapezes und multipliziere ihn mit der Höhe.

Answer

Addiere die Flächeninhalte der beiden Dreiecke, aus denen das Trapez besteht.

Answer

Subtrahiere den Flächeninhalt des unteren Rechtecks vom Flächeninhalt des oberen Rechtecks.

Question 5

Zeigen Sie, dass die Ableitung der n-ten Stammfunktion von f(x) = sin(x) gleich f(x) ist.

Accepted Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = n*cos(x)

Answer

f'(x) = 1/n*sin(x)

Answer

f'(x) = (1/n)*cos(x)

Question 6

Berechne das Integral ∫x * e^(2x) dx mit der Methode der partiellen Integration.

Accepted Answer

1/2 * x^2 * e^(2x) + 1/4 * e^(2x) + C

Answer

1/2 * x^2 * e^(2x) - 1/4 * e^(2x) + C

Answer

x * e^(2x) + C

Answer

x^2 * e^(2x) + C

Question 7

Wie wird die Integralrechnung genutzt, um in der Statistik Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte zu berechnen?

Accepted Answer

Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch Bestimmung der Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Answer

Mit Hilfe der Integralrechnung können keine Erwartungswerte berechnet werden.

Answer

Die Integralrechnung dient ausschließlich zur Bestimmung des Mittelwerts einer Zufallsvariablen.

Question 8

Wie kann die Integralrechnung zur Untersuchung von Wachstums- und Zerfallsprozessen eingesetzt werden?

Accepted Answer

Sie ermöglicht die Berechnung der Änderungsrate eines sich verändernden Prozesses.

Answer

Sie gilt nur für Prozesse mit gleichmäßigem Wachstum oder Zerfall.

Answer

Sie liefert immer exakte Lösungen für alle Wachstumskurven.

Answer

Sie ist nur anwendbar, wenn die Wachstumsraten stetig sind.

Question 9

Welche Anwendung der Integralrechnung ermöglicht es uns, die Arbeit zu berechnen, die von einer Kraft über einen Weg geleistet wird?

Accepted Answer

Berechnung der Arbeit

Answer

Flächenberechnung

Answer

Volumenberechnung

Question 10

Wie wird die Integration in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik eingesetzt, insbesondere bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Zufallsvariablen

Answer

Zur Berechnung des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen

Answer

Zur Berechnung der Varianz einer Zufallsvariablen

Answer

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Question 11

Welche Integrationsregel wird verwendet, um das folgende Integral zu berechnen?:
∫(2x + 3) dx

Accepted Answer

Lineare Integration

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Integration durch Teile

Question 12

Die Stammfunktion von f(x) = e^x lautet:

Accepted Answer

F(x) = e^x + C

Answer

F(x) = ln(x) + C

Answer

F(x) = -e^x + C

Answer

F(x) = x*e^x + C

Question 13

Mit welcher Integrationsregel kann das Integral ∫ (x^2 + 2x - 1) dx gelöst werden?

Accepted Answer

Summenregel

Answer

Substitutionsregel

Answer

Partialbruchzerlegung

Answer

Partielle Integration

Question 14

Welche Anwendung der Integralrechnung dient der Flächenberechnung unter einer Kurve?

Accepted Answer

Bestimmtes Integral

Answer

Unbestimmtes Integral

Answer

Differentialrechnung

Answer

Lineare Algebra

Question 15

Welche Beziehung besteht zwischen der Stammfunktion F(x) und der Ableitung f(x)?

Accepted Answer

F'(x) = f(x)

Answer

f'(x) = F(x)

Answer

F'(x) = -f(x)

Question 16

Welche Integrationsmethode ist zur Lösung des Integrals ∫ cos(2x) dx geeignet?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Integration durch Teile

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Partielle Integration

Question 17

Welche Integrationsmethode kann zur Lösung des Integrals ∫ (x^2 - 1)/(x-1) dx herangezogen werden?

Accepted Answer

Partialbruchzerlegung

Answer

Integration durch trigonometrische Substitution

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Integration durch Teile