Ableitungen in der Differentialrechnung: Online-Quiz für Mechatronikerinnen

Question 1

Welche Aussage über die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5 ist falsch?

Accepted Answer

Die Ableitung ist eine lineare Funktion.

Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(0) = -5

Question 2

Welche der folgenden Aussagen zur Differentialrechnung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie beschäftigt sich mit der Untersuchung von Änderungen von Funktionen.

Answer

Sie findet nur Anwendung in begrenzten Fachbereichen.

Answer

Sie ist eine Erweiterung der Integralrechnung, aber unabhängig anwendbar.

Answer

Sie hat keine praktische Relevanz.

Question 3

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1 ?

Accepted Answer

3x² + 4x - 5

Answer

x² + 4x - 5

Answer

3x² + 2x - 5

Answer

x³ + 4x² - 5x

Question 4

Was ist die Tangente an die Funktion f(x) = sin(x) im Punkt x = π/2 ?

Accepted Answer

y = 0

Answer

y = x - π/2

Answer

y = x + π/2

Answer

y = 1

Question 5

Welche der folgenden Aussagen zur zweiten Ableitung ist falsch?

Accepted Answer

Sie ist immer die Ableitung der zweiten Ableitung.

Answer

Sie gibt Auskunft über die Krümmung des Graphen.

Answer

Sie kann sowohl positiv als auch negativ sein.

Answer

Sie kann zur Untersuchung von Konvexität und Konkavität verwendet werden.

Question 6

Was ist die Kettenregel der Differentialrechnung?

Accepted Answer

Wenn f(g(x)) eine zusammengesetzte Funktion ist, dann ist f'(g(x)) = f'(x) * g'(x).

Answer

Wenn f(g(x)) eine zusammengesetzte Funktion ist, dann ist f'(g(x)) = g'(x) * f(x).

Answer

Wenn f(g(x)) eine zusammengesetzte Funktion ist, dann ist f'(g(x)) = f(x) / g(x).

Answer

Wenn f(g(x)) eine zusammengesetzte Funktion ist, dann ist f'(g(x)) = g(x) / f(x).

Question 7

Welche Aussage zur Funktion f(x) = e^(x² + 1) ist richtig?

Accepted Answer

Die Funktion ist an allen Stellen konvex.

Answer

Die Funktion ist an allen Stellen konkav.

Answer

Die Funktion besitzt einen Wendepunkt.

Answer

Die Funktion besitzt keinen Extrempunkt.

Question 8

Welche lineare Näherung gilt für die Funktion f(x) = sin(x) im Punkt x = 0?

Accepted Answer

y = x

Answer

y = x^2

Answer

y = sin(0)

Answer

y = cos(x)

Question 9

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5:

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = 2x - 4

Answer

f'(x) = 3x - 2

Question 10

Welcher der folgenden Ausdrücke ist die Ableitung von f(x) = e^x?

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = e^(x-1)

Answer

f'(x) = e^(x+1)

Answer

f'(x) = x*e^x

Question 11

Welche der folgenden Aussagen ist richtig bezüglich der ersten Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Sie gibt alle drei genannten Informationen an.

Answer

Sie gibt die Änderungsrate der Funktion an einer bestimmten Stelle an.

Answer

Sie gibt den Anstieg der Tangente an einer bestimmten Stelle an.

Answer

Sie gibt die Steigung der Funktion an einer bestimmten Stelle an.

Question 12

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung wird in der Elektrotechnik verwendet?

Accepted Answer

Alle genannten Anwendungen

Answer

Berechnung der Spannung an einem Kondensator

Answer

Berechnung des Stroms in einem Stromkreis

Answer

Berechnung der Leistung einer Antenne

Question 13

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt die Ableitung von f(x) = x³ - 2x² + 5x dar?

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = x² - 4x + 10

Answer

f'(x) = x² + 4x + 5

Answer

f'(x) = 3x² + 4x + 5

Question 14

Berechne die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) = 2x² - 3x + 1 im Punkt (1, 0).

Accepted Answer

3

Answer

-3

Answer

1

Answer

5

Question 15

Berechne das bestimmte Integral von f(x) = 2x + 1 über das Intervall [0, 2].

Accepted Answer

6

Answer

10

Answer

4

Answer

8

Question 16

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Beziehung zwischen der Steigung einer Tangente und dem Differenzialquotienten?

Accepted Answer

Die Steigung einer Tangente ist gleich dem Differenzialquotienten im entsprechenden Punkt.

Answer

Der Differenzialquotient ist gleich der Steigung einer Tangente an den Ursprung.

Answer

Die Steigung einer Tangente ist gleich dem Differenzialquotienten an einem beliebigen Punkt der Funktion.

Question 17

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5x - 3.

Accepted Answer

3x² - 4x + 5

Answer

x² - 2x + 5

Answer

x³ - 4x² - 5x + 3

Answer

3x - 4

Question 18

Berechne das Differential von f(x) = ln(x).

Accepted Answer

(1/x)dx

Answer

xdx

Answer

(1/x<sup>2</sup>)dx

Answer

(x<sup>2</sup>)dx

Question 19

Welche der folgenden Funktionen ist eine implizite Funktion?

Accepted Answer

x² + y² = 4

Answer

y = 2x + 1

Answer

g(x, y) = x + y

Answer

f(x) = sin(x)

Question 20

Was beschreibt der Satz von Rolle?

Accepted Answer

Wenn eine Funktion auf einem geschlossenen Intervall stetig und auf einem offenen Intervall differenzierbar ist, dann gibt es mindestens einen Punkt im Inneren des Intervalls, an dem die Ableitung gleich dem Differenzenquotienten ist.

Answer

Wenn eine Funktion auf einem Intervall monoton ist, dann ist sie differenzierbar.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Ableitung einer konstanten Funktion f(x) = c korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = 0

Answer

f'(x) = 1

Answer

f'(x) = c

Question 22

Welche der folgenden Ableitungsregeln ist für die Ableitung der Funktion f(x) = e^(3x) anzuwenden?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Question 23

Welche der folgenden Ableitungsregeln ist für die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) anzuwenden?

Accepted Answer

Ableitung der Winkelfunktionen

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Answer

Quotientenregel

Question 24

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an die Funktion an einem gegebenen Punkt an.

Answer

Die Ableitung gibt das Volumen des Körpers an, der durch die Funktion begrenzt wird.

Answer

Die Ableitung gibt die Fläche unter der Funktion an einem gegebenen Punkt an.

Question 25

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Rolle der Differentialrechnung in der Praxis?

Accepted Answer

Differentialrechnung ermöglicht die Optimierung von Prozessen und die Lösung von Problemen aus verschiedenen Bereichen.

Answer

Differentialrechnung dient nur der akademischen Forschung.

Question 26

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1.

Accepted Answer

3x² + 4x - 5

Answer

9x² + 4x - 5

Answer

3x² + 2x - 5

Answer

x³ + 4x - 5

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = √x

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Question 28

Welche der folgenden Aussagen über Ableitungen ist falsch?

Accepted Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer 1.

Answer

Die Ableitung einer linearen Funktion ist immer die Steigung der Geraden.

Answer

Die Ableitung einer Funktion ist immer eine andere Funktion.

Answer

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt gibt die Änderungsrate der Funktion an diesem Punkt an.

Question 29

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = |x|.

Accepted Answer

f'(x) = { 1 für x > 0, -1 für x < 0, 0 für x = 0 }

Answer

f'(x) = -1 für alle x

Answer

f'(x) = { 0 für x > 0, 1 für x < 0, 0 für x = 0 }

Answer

f'(x) = 1 für alle x

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Question 31

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung wird verwendet, um die Steigung einer Kurve zu finden?

Accepted Answer

Ableitung

Answer

Differentialgleichung

Answer

Taylor-Reihe

Answer

Integration

Question 32

Was ist die Bedeutung der zweiten Ableitung?

Accepted Answer

Sie gibt Aufschluss über die Krümmung des Graphen.

Answer

Sie gibt den Anstieg der Ableitung an.

Answer

Sie gibt das Maximum oder Minimum der Funktion an.

Answer

Sie gibt die Nullstellen der Funktion an.

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über die Differentialrechnung ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Die Differentialrechnung kann verwendet werden, um lineare Gleichungen zu lösen.

Answer

Die Differentialrechnung kann verwendet werden, um Differentialgleichungen zu lösen.

Answer

Die Differentialrechnung kann verwendet werden, um Integrale zu berechnen.

Answer

Die Differentialrechnung ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit Änderungsraten beschäftigt.

Question 34

Welche der folgenden Funktionen hat die Ableitung f'(x) = 2x?

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Question 35

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 3x³ - 2x² + 5x - 7.

Accepted Answer

f'(x) = 9x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = 3x² - 2x + 5

Answer

f'(x) = 9x³ - 2x² + 5x

Answer

f'(x) = 9x - 4

Question 36

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 6x² + 12x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = x² - 4x + 3

Question 37

Welcher der folgenden Werte ist ein kritischer Punkt der Funktion f(x) = |x|?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Question 38

Berechne das Minimum der Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1.

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Question 39

Berechne das Integral von f(x) = 2x + 3.

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

x³ + 3x² + C

Answer

2x² + 3x + C

Question 40

Welche der folgenden Substitutionen kann verwendet werden, um das Integral von f(x) = e^(2x) dx zu berechnen?

Accepted Answer

u = 2x

Answer

u = sin(x)

Answer

u = eˣ

Question 41

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung wird in der Physik verwendet?

Accepted Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts

Answer

Berechnung der Fläche eines Kreises

Answer

Berechnung des Volumens einer Kugel

Answer

Berechnung des Zinssatzes einer Investition

Question 42

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² + 2x - 1?

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 6x² + 2x

Question 43

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt bezüglich der Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt?

Accepted Answer

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an der Funktion an diesem Punkt an.

Answer

Die Ableitung gibt die Fläche unter dem Funktionsgraphen bis zu diesem Punkt an.

Answer

Die Ableitung gibt den Funktionswert an diesem Punkt an.

Question 44

Welche Stammfunktion hat die Ableitung f'(x) = 4x³ - 6x?

Accepted Answer

f(x) = x⁴ - 3x² + C (C ist eine Konstante)

Answer

f(x) = 4x⁴ - 6x² + C (C ist eine Konstante)

Answer

f(x) = x⁴ - 3x + C (C ist eine Konstante)

Answer

f(x) = 12x² - 6

Question 45

Bestimmen Sie die Extremstelle der Funktion f(x) = x² - 4x + 3.

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 3

Answer

x = -2

Answer

x = 1

Question 46

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x² + 2

Answer

f(x) = 5x - 1

Answer

f(x) = 2x² + 1

Answer

f(x) = x⁴ - 2

Question 47

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Question 48

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = x * e^(x-1)

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = 1 / e^x

Question 49

Die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = 1/ln(x)

Answer

f'(x) = ln(1/x)

Answer

f'(x) = x

Question 50

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 1) * sin(x).

Accepted Answer

f'(x) = 2x * sin(x) + (x² + 1) * cos(x)

Answer

f'(x) = 2x * sin(x) - (x² + 1) * cos(x)

Answer

f'(x) = (x² + 1) * sin(x) + 2x * cos(x)

Answer

f'(x) = 2x * cos(x)

Question 51

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x² - 3x + 2.

Accepted Answer

f'(x) = 2x - 3

Answer

f'(x) = x² - 3

Answer

f'(x) = 2

Answer

f'(x) = -3x + 2

Question 52

Bestimme die Tangente an die Funktion f(x) = sin(x) im Punkt x = π/2.

Accepted Answer

y = 1 + π/2 * (x - π/2)

Answer

y = 1 + cos(x) * (x - π/2)

Answer

y = sin(x) + π/2 * (x - π/2)

Question 53

Berechne das Minimum der Funktion f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2.

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = 3

Question 54

Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar. Warum?

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) an der Stelle x = 0 existiert nicht, da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Steigung ungleich sind.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 unstetig.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Knick.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine vertikale Tangente.

Question 55

Was ist die Stammfunktion der Funktion f(x) = e^x + sin(x)?

Accepted Answer

F(x) = e^x - cos(x) + C

Answer

F(x) = e^x + sin(x)

Answer

F(x) = e^x + cos(x) + C

Answer

F(x) = e^x - sin(x) + C

Question 56

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = x^2?

Accepted Answer

F(x) = (1/3)x^3 + C

Answer

F(x) = (1/2)x^2 + C

Answer

F(x) = 2x + C

Answer

F(x) = x^3 + C

Question 57

Welche partielle Ableitung ergibt sich, wenn man die Funktion z = f(x, y) = x^2y + y^3 nach y ableitet?

Accepted Answer

∂z/∂y = x^2 + 3y^2

Answer

∂z/∂y = x^2y

Answer

∂z/∂y = 2xy

Question 58

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2y = x

Answer

y'''' = x

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y'y'' = x

Question 59

Welche Anwendung der Differentialrechnung wird in der Physik zur Berechnung der Geschwindigkeit eines fallenden Körpers eingesetzt?

Accepted Answer

Die Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit liefert die Geschwindigkeitsfunktion.

Answer

Die zweite Ableitung der Ortsfunktion liefert die Beschleunigungsfunktion.

Answer

Die Integration der Beschleunigungsfunktion liefert die Geschwindigkeitsfunktion.

Question 60

Welche Aussage über die Differentialrechnung ist korrekt?

Accepted Answer

Die Differentialrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis, das sich mit der Änderung von Funktionen beschäftigt.

Answer

Die Differentialrechnung ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit dem Lösen von Gleichungen beschäftigt.

Answer

Die Differentialrechnung ist ein Teilgebiet der Geometrie, das sich mit der Berechnung von Flächeninhalten und Volumina beschäftigt.